Integración homológica

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y la teoría de la medida geométrica , la integración homológica o integración geométrica es un método para extender la noción de integral a variedades . En lugar de funciones o formas diferenciales , la integral se define sobre corrientes en una variedad.

La teoría es "homológica" porque las corrientes mismas se definen por dualidad con formas diferenciales. Es decir, el espacio D ^k de k -corrientes en una variedad M se define como el espacio dual , en el sentido de distribuciones , del espacio de k- formas Ω ^k en M . Por lo tanto, existe un emparejamiento entre k -corrientes T y k -formas α , denotado aquí por

${\displaystyle \langle T,\alpha \rangle .}$

Bajo este emparejamiento de dualidad, el derivado exterior

${\displaystyle d:\Omega ^{k-1}\to \Omega ^{k}}$

pasa a un operador de frontera

${\displaystyle \partial :D^{k}\to D^{k-1}}$

definido por

${\displaystyle \langle \partial T,\alpha \rangle =\langle T,d\alpha \rangle }$

para todo α  ∈  Ω ^k . Esta es una construcción homológica en lugar de cohomológica .

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.  153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs.  xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325 , Zbl 0176.00801  .
• Whitney, H. (1957), Teoría de la integración geométrica , Princeton Mathematical Series, vol.  21, Princeton, NJ y Londres: Princeton University Press y Oxford University Press , pp.  XV+387, MR 0087148 , Zbl 0083.28204  .