Conjunto de frente de onda

En el análisis matemático , más precisamente en el análisis microlocal , el frente de onda (conjunto) WF( f ) caracteriza las singularidades de una función generalizada f , no solo en el espacio , sino también con respecto a su transformada de Fourier en cada punto. El término "frente de onda" fue acuñado por Lars Hörmander alrededor de 1970.

En términos más familiares, WF( f ) no solo indica dónde la función f es singular (lo cual ya se describe mediante su soporte singular ), sino también cómo o por qué lo es, al ser más preciso sobre la dirección en la que se produce la singularidad. Este concepto es especialmente útil en dimensiones de al menos dos, ya que en una dimensión solo hay dos direcciones posibles. La noción complementaria de una función que no es singular en una dirección es la suavidad microlocal .

Intuitivamente, a modo de ejemplo, consideremos una función ƒ cuyo soporte singular se concentra en una curva suave en el plano donde la función presenta una discontinuidad de salto. En la dirección tangente a la curva, la función permanece suave. Por el contrario, en la dirección normal a la curva, la función presenta una singularidad. Para determinar si la función es suave en otra dirección v , se puede intentar suavizarla promediando en direcciones perpendiculares a v . Si la función resultante es suave, entonces consideramos que ƒ es suave en la dirección de v . De lo contrario, v pertenece al conjunto del frente de onda.

Formalmente, en el espacio euclidiano , el conjunto del frente de onda de ƒ se define como el complemento del conjunto de todos los pares ( x ₀ , v ) tales que existe una función de prueba${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }}$con${\displaystyle \phi }$( x ₀ )  ≠  0 y un cono abierto Γ que contiene v tal que la estimación

${\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\mbox{para todo }}\ \xi \in \Gamma }$

se cumple para todos los enteros positivos N. Aquí${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }}$denota la transformada de Fourier. Obsérvese que el conjunto de frentes de onda es cónico en el sentido de que si ( x , v )  ∈  Wf(ƒ), entonces ( x ,λ v )  ∈  Wf(ƒ) para todo λ  >  0. En el ejemplo analizado en el párrafo anterior, el conjunto de frentes de onda es el complemento conjuntista de la imagen del fibrado tangente de la curva dentro del fibrado tangente del plano.

Debido a que la definición implica un corte por una función con soporte compacto, la noción de conjunto de frente de onda puede trasladarse a cualquier variedad diferenciable X. En esta situación más general, el conjunto de frente de onda es un subconjunto cónico cerrado del fibrado cotangente T ^* ( X ), ya que la variable ξ se localiza naturalmente en un covector en lugar de un vector. El conjunto de frente de onda se define de tal manera que su proyección sobre X sea igual al soporte singular de la función.

En el espacio euclidiano, el conjunto de frentes de onda de una distribución ƒ se define como

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

dónde${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$es la fibra singular de ƒ en x . La fibra singular se define como el complemento de todas las direcciones.${\displaystyle \xi }$de tal manera que la transformada de Fourier de f , localizada en x , sea suficientemente regular cuando se restringe a un cono abierto que contiene${\displaystyle \xi }$. Más precisamente, una dirección v está en el complemento de${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$Si existe una función suave φ con soporte compacto tal que φ( x )  ≠  0 y un cono abierto Γ que contiene a v, se cumple la siguiente estimación para cada entero positivo N :

${\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {para todo}}\ \xi \in \Gamma .}$

Una vez que dicha estimación se cumple para una función de corte particular φ en x , también se cumple para todas las funciones de corte con un soporte menor, posiblemente para un cono abierto diferente que contenga v .

En una variedad diferenciable M , utilizando coordenadas locales${\displaystyle x,\xi }$En el fibrado cotangente , el conjunto de frentes de onda WF( f ) de una distribución ƒ se puede definir de la siguiente manera general:

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

donde la fibra singular${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$es nuevamente el complemento de todas las direcciones${\displaystyle \xi }$de tal manera que la transformada de Fourier de f , localizada en x , sea suficientemente regular cuando se restringe a un entorno cónico de${\displaystyle \xi }$El problema de la regularidad es local, por lo que puede verificarse en el sistema de coordenadas local mediante la transformada de Fourier aplicada a las variables x . La estimación de regularidad requerida se transforma adecuadamente bajo difeomorfismos , por lo que la noción de regularidad es independiente de la elección de las coordenadas locales.

• El FBI transforma
• espectro singular
• Apoyo esencial

• Lars Hörmander , Operadores integrales de Fourier I , Acta Math. 127 (1971), págs.  79–183.
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de ecuaciones diferenciales parciales lineales I: teoría de la distribución y análisis de Fourier , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.  256 (2ª  ed.), Springer, págs. 251-279 , ISBN  0-387-52345-6Capítulo VIII, Análisis espectral de singularidades