Calmante

Definición 1. Sea${\displaystyle \varphi }$ser una función fluida en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle n\geq 1}$y poner${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$para${\displaystyle \epsilon >0\in \mathbb {R} }$. Entonces${\displaystyle \varphi }$Se considera un calmante si cumple los siguientes tres requisitos:

(1)   está soportado de forma compacta , ^{[ 8 ]}

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$,

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$,

dónde${\displaystyle \delta (x)}$es la función delta de Dirac , y el límite debe entenderse como que tiene lugar en el espacio de las distribuciones de Schwartz . La función${\displaystyle \varphi }$También puede satisfacer otras condiciones de interés; ^{[ 9 ]} por ejemplo, si satisface

(4)  ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$,

entonces se le llama un suavizador positivo , y si satisface

(5)  ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$para alguna función infinitamente diferenciable${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } ,

entonces se le llama un suavizante simétrico .

Nota 1. Cuando la teoría de las distribuciones aún no era ampliamente conocida ni utilizada, ^{[ 10 ]} la propiedad (3) anterior se formuló diciendo que la convolución de la función${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$con una función dada perteneciente a un espacio de Hilbert o Banach propio converge s cuando ε → 0 a esa función: ^{[ 11 ]} esto es exactamente lo que hizo Friedrichs . ^{[ 12 ]} Esto también aclara por qué los suavizadores están relacionados con identidades aproximadas . ^{[ 13 ]}

Nota 2. Como se señaló brevemente en la sección " Notas históricas " de esta entrada, originalmente, el término "mollifier" identificaba el siguiente operador de convolución : ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

dónde${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$y${\displaystyle \varphi }$es una función suave que satisface las tres primeras condiciones mencionadas anteriormente y una o más condiciones suplementarias como positividad y simetría.

Para cualquier distribución${\displaystyle T}$, la siguiente familia de convoluciones indexada por el número real${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

dónde${\displaystyle \ast }$denota convolución , es una familia de funciones suaves .

Para cualquier distribución${\displaystyle T}$, la siguiente familia de convoluciones indexada por el número real${\displaystyle \epsilon }$converge a${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Para cualquier distribución${\displaystyle T}$,

${\displaystyle \operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {supp} }$indica el soporte en el sentido de las distribuciones, y${\displaystyle +}$indica su adición de Minkowski .

En algunas teorías de funciones generalizadas , se utilizan suavizadores para definir la multiplicación de distribuciones . Dadas dos distribuciones${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$, el límite del producto de la función suave obtenida a partir de un operando mediante mollificación, con el otro operando define, cuando existe, su producto en diversas teorías de funciones generalizadas :

${\displaystyle S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }}$.

Los suavizadores se utilizan para demostrar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y la extensión débil . El artículo de Friedrichs que introduce los suavizadores ( Friedrichs, 1944 ) ilustra este enfoque.

Mediante convolución de la función característica de la bola unitaria${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$con la función suave${\displaystyle \varphi _{1/2}}$(definido como en (3) con${\displaystyle \epsilon =1/2}$), se obtiene la función

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}}$

que es una función suave igual a${\displaystyle 1}$en${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$, con soporte contenido en${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$Esto se puede ver fácilmente observando que si${\displaystyle |x|\leq 1/2}$y${\displaystyle |y|\leq 1/2}$entonces${\displaystyle |x-y|\leq 1}$. Por lo tanto, para${\displaystyle |x|\leq 1/2}$,

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Se puede observar cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a una en un entorno de un conjunto compacto dado , e igual a cero en cada punto cuya distancia a este conjunto sea mayor que un valor dado.${\displaystyle \epsilon }$. ^{[ 17 ]} Dicha función se llama función de corte (suave) ; estas se utilizan para eliminar singularidades de una función ( generalizada ) dada mediante multiplicación . Dejan sin cambios el valor del multiplicando en un conjunto dado , pero modifican su soporte . Las funciones de corte se utilizan para construir particiones suaves de la unidad .