Fórmulas explícitas para funciones L

En matemáticas , las fórmulas explícitas para las funciones L son relaciones entre sumas sobre los ceros de números complejos de una función L y sumas sobre potencias de números primos , introducidas por Riemann (1859) para la función zeta de Riemann . Dichas fórmulas explícitas también se han aplicado a cuestiones sobre la acotación del discriminante de un cuerpo numérico algebraico y del conductor de un cuerpo numérico .

En su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", Riemann esbozó una fórmula explícita (que no fue demostrada completamente hasta 1895 por von Mangoldt , ver más abajo) para la función de conteo de primos normalizada π ₀ ( x ) que está relacionada con la función de conteo de primos π ( x ) por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,}$

que toma la media aritmética del límite por la izquierda y el límite por la derecha en las discontinuidades. ^{[ a ]} ​​Su fórmula se dio en términos de la función relacionada.

${\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

en la que una potencia prima p ⁿ cuenta como 1 ⁄ n de un primo. La función de conteo de primos normalizada se puede recuperar a partir de esta función mediante

^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

Se trata de una suma sobre los ceros no triviales ρ de la función zeta de Riemann. La suma no es absolutamente convergente , pero puede evaluarse tomando los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin desplazamiento) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta requieren cierta atención en su definición, ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen mediante continuación analítica en la variable compleja ρ en la región x > 1 y Re( ρ ) > 0 . Los demás términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s = 1 , considerado como un cero de multiplicidad − 1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Esta fórmula indica que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los números primos alrededor de sus posiciones "esperadas". (Para gráficas de las sumas de los primeros términos de esta serie, véase Zagier 1977 ).

La primera demostración rigurosa de la fórmula antes mencionada fue dada por von Mangoldt en 1895: comenzó con una demostración de la siguiente fórmula para la función de Chebyshev ψ ^{[ 3 ].} 

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

donde el lado izquierdo es una transformada inversa de Mellin con

${\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{y}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (xh))}$

y el lado derecho se obtiene del teorema de los residuos , y luego se convierte en la fórmula que el propio Riemann esbozó.

Esta serie también es condicionalmente convergente y la suma sobre los ceros debe tomarse nuevamente en orden creciente de la parte imaginaria: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}$ dónde ${\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho$ :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}

El error que implica truncar la suma a S ( x , T ) siempre es menor que ln( x ) en valor absoluto, y cuando se divide por el logaritmo natural de x , tiene un valor absoluto menor que x ⁄ T dividido por la distancia de x a la potencia prima más cercana. ^{[ 5 ]}

Hay varias formas ligeramente diferentes de enunciar la fórmula explícita. ^{[ 6 ]} La forma de André Weil de la fórmula explícita establece

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

dónde

• ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta.
• p recorre los números primos positivos
• m recorre los números enteros positivos
• F es una función suave cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes.
• ${\displaystyle \varphi }$es una transformada de Fourier de F :$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$$
• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$, dónde${\displaystyle \psi }$es la función digamma Γ ′ /Γ .

En términos generales, la fórmula explícita indica que la transformada de Fourier de los ceros de la función zeta es el conjunto de potencias primas más algunos factores elementales. Dicho esto, la fórmula se deriva del hecho de que la transformada de Fourier es un operador unitario , de modo que un producto escalar en el dominio del tiempo es igual al producto escalar de las transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia.

Los términos de la fórmula surgen de la siguiente manera.

• Los términos del lado derecho provienen de la derivada logarítmica de$${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$$con los términos correspondientes al primo p provenientes del factor de Euler de p , y el término al final que involucra a Ψ proveniente del factor gamma (el factor de Euler en el infinito).
• El lado izquierdo es una suma sobre todos los ceros de ζ  ^* contados con multiplicidades, por lo que los polos en 0 y 1 se cuentan como ceros de orden − 1.

La fórmula explícita de Weil puede entenderse de esta manera. El objetivo es poder escribir lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}$

donde Λ es la función de von Mangoldt .

De modo que la transformada de Fourier de los ceros no triviales es igual a la potencia de los números primos simetrizada más un término menor. Por supuesto, la suma involucrada no es convergente, pero el truco consiste en usar la propiedad unitaria de la transformada de Fourier, que consiste en que preserva el producto escalar:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

dónde${\displaystyle F,G}$son las transformadas de Fourier de${\displaystyle f,g}$A primera vista, parece ser una fórmula solo para funciones, pero de hecho en muchos casos también funciona cuando${\displaystyle g}$ es una distribución. Por lo tanto, al establecer$${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}$$dónde${\displaystyle \delta (u)}$es el delta de Dirac y elegir cuidadosamente una función${\displaystyle f}$y su transformada de Fourier, obtenemos la fórmula anterior.

La fórmula de Riemann-Weil ^{[ 7 ]} puede generalizarse a funciones aritméticas distintas de la función de von Mangoldt . Por ejemplo, para la función de Möbius tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}$

También para la función de Liouville tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}$

Para la función Euler-Phi, la fórmula explícita es:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}$

Suponiendo que la función zeta de Riemann solo tiene ceros simples. En todos los casos, la suma está relacionada con la parte imaginaria de los ceros de Riemann.${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$y la función h está relacionada con la función de prueba g mediante una transformada de Fourier,${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$.

Para la función divisora ​​de orden cero${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}$.

Utilizando una función de prueba de la forma${\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}$Para algún valor positivo de a, la fórmula de suma de Poisson se transforma en una fórmula que involucra la transformada de Mellin. Aquí, y es un parámetro real.

La función zeta de Riemann puede ser reemplazada por una función L de Dirichlet de carácter χ. La suma sobre potencias primas obtiene entonces factores adicionales de χ ( p ^m ), y los términos Φ(1) y Φ(0) desaparecen porque la serie L no tiene polos. 

En términos más generales, la función zeta de Riemann y la serie L pueden reemplazarse por la función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico algebraico o una serie L de Hecke . La suma sobre números primos se reemplaza entonces por una suma sobre ideales primos.

El uso original que Riemann le dio a la fórmula explícita fue para proporcionar una fórmula exacta para la cantidad de primos menores que un número dado. Para ello, se define F (log( y )) como y¹ ^/² /log( y ) para 0  ≤ y ≤ x y 0 en cualquier otro caso. Entonces, el término principal de la suma de la derecha es la cantidad de primos menores que x . El término principal de la izquierda es Φ (1), que resulta ser el término dominante del teorema de los números primos , y la corrección principal es la suma sobre los ceros no triviales de la función zeta. (Existe un pequeño problema técnico al usar este caso, ya que la función F no satisface la condición de suavidad).   

Según la conjetura de Hilbert-Pólya , los ceros complejos ρ deben ser los autovalores de algún operador lineal T. La suma sobre los ceros de la fórmula explícita viene dada entonces (al menos formalmente) por una traza:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

El desarrollo de fórmulas explícitas para una amplia clase de funciones L fue presentado por Weil (1952) , quien extendió la idea a funciones zeta locales y formuló una versión de una hipótesis de Riemann generalizada en este contexto, como una afirmación de positividad para una función generalizada en un grupo topológico . Trabajos más recientes de Alain Connes profundizaron considerablemente en el trasfondo funcional-analítico, proporcionando una fórmula de traza cuya validez es equivalente a dicha hipótesis de Riemann generalizada. Meyer (2005) ofreció un punto de vista ligeramente diferente , al derivar la fórmula explícita de Weil mediante análisis armónico en espacios adélicos .

• Fórmula de trazas de Selberg
• Función zeta de Selberg

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• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  110 (2.ª  ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4, Zbl 0811.11001 
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" , Monatsberichte der Berliner Akademie
• Weil, André (1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [ Sobre las "fórmulas explícitas" en la teoría de los números primos ] , Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] (en francés), Tomo Supplémentaire: 252– 265, MR 0053152 , Zbl 0049.03205  
• von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [ Sobre el artículo de Riemann "El número de números primos menores que una magnitud determinada" ] , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 114 : 255– 305, ISSN 0075-4102 , JFM 26.0215.03 , MR 1580379   
• Meyer, Ralf (2005), "Sobre una representación del grupo de clases idele relacionado con primos y ceros de funciones L ", Duke Math. J. , 127 (3): 519– 595, arXiv : math/0311468 , doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4 , ISSN 0012-7094 , MR 2132868 , S2CID 119176169 , Zbl 1079.11044    
• Zagier, Don (1977), "Los primeros 50 millones de números primos", The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7–19 , doi : 10.1007/bf03351556 , S2CID 37866599 
• https://www.gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers/View/9990 Moreta, Jose Javier Garcia: "Sobre la evaluación de ciertas funciones aritméticas de la teoría de números y sus sumas y una generalización de la fórmula de Riemann-Weil"

• Edwards, HM (1974), Función zeta de Riemann , Matemáticas Puras y Aplicadas, vol.  58, Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035 
• Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para la factorización , Progress in Mathematics, vol.  126 (2.ª  ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl 0821.11001