Función zeta de Selberg

La función zeta de Selberg fue introducida por Atle Selberg ( 1956 ) . Es análoga a la famosa función zeta de Riemann. 

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

dónde${\displaystyle \mathbb {P} }$es el conjunto de números primos. La función zeta de Selberg utiliza las longitudes de geodésicas cerradas simples en lugar de los números primos. Si${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo de SL(2, R ) , la función zeta de Selberg asociada se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

o

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-sn}),}$

donde p recorre las clases de conjugación de geodésicas primas (equivalentemente, clases de conjugación de elementos hiperbólicos primitivos de${\displaystyle \Gamma }$), y N ( p ) denota${\displaystyle \exp({\text{length of }}p)}$(equivalentemente, el cuadrado del mayor valor propio de p ).

Para cualquier superficie hiperbólica de área finita, existe una función zeta de Selberg asociada ; esta función es una función meromorfa definida en el plano complejo . La función zeta se define en términos de las geodésicas cerradas de la superficie.

Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z ( s ), pueden describirse en términos de datos espectrales de la superficie.

Los ceros se encuentran en los siguientes puntos:

1. Para cada forma de cúspide con valor propio${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$Existe un cero en el punto${\displaystyle s_{0}}$El orden del cero es igual a la dimensión del espacio propio correspondiente. (Una forma de cúspide es una autofunción del operador de Laplace-Beltrami que tiene una expansión de Fourier con término constante cero ).
2. La función zeta también tiene un cero en cada polo del determinante de la matriz de dispersión,${\displaystyle \phi (s)}$El orden del cero es igual al orden del polo correspondiente de la matriz de dispersión.

La función zeta también tiene polos en${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$y pueden tener ceros o polos en los puntos${\displaystyle -\mathbb {N} }$.

La función zeta de Ihara se considera un análogo p -ádico (y en teoría de grafos) de la función zeta de Selberg.

Para el caso en que la superficie sea${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$, dónde${\displaystyle \Gamma }$es el grupo modular , la función zeta de Selberg es de especial interés. Para este caso particular, la función zeta de Selberg está íntimamente conectada con la función zeta de Riemann .

En este caso, el determinante de la matriz de dispersión viene dado por:

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$

En particular, vemos que si la función zeta de Riemann tiene un cero en${\displaystyle s_{0}}$, entonces el determinante de la matriz de dispersión tiene un polo en${\displaystyle s_{0}/2}$y por lo tanto la función zeta de Selberg tiene un cero en${\displaystyle s_{0}/2}$.

• Fórmula de trazas de Selberg

• Fischer, Jürgen (1987), Un enfoque a la fórmula de la traza de Selberg mediante la función zeta de Selberg , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1253, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0077696 , ISBN 978-3-540-15208-8, SR 0892317 
• Hejhal, Dennis A. (1976), La fórmula de traza de Selberg para PSL(2,R). Vol. I , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548, vol.  548, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079608 , ISBN 978-3-540-07988-0, MR 0439755 
• Hejhal, Dennis A. (1983), La fórmula de la traza de Selberg para PSL(2,ℝ) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1001, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0061302 , ISBN 978-3-540-12323-1, MR 0711197 
• Iwaniec, H. Métodos espectrales de formas automórficas, Sociedad Matemática Americana, segunda edición, 2002.
• Selberg, Atle (1956), "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios riemannianos débilmente simétricos con aplicaciones a series de Dirichlet", J. Indian Math. Soc. , Nueva Serie, 20 : 47–87 , MR 0088511 
• Venkov, AB. Teoría espectral de funciones automorfas. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
• Sunada, T. , Funciones L en geometría y algunas aplicaciones, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvatura y topología de variedades riemannianas", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.