Función zeta de Ihara

En matemáticas , la función zeta de Ihara es una función zeta asociada a un grafo finito . Se asemeja mucho a la función zeta de Selberg y se utiliza para relacionar los caminos cerrados con el espectro de la matriz de adyacencia . La función zeta de Ihara fue definida por primera vez por Yasutaka Ihara en la década de 1960 en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos . Jean-Pierre Serre sugirió en su libro Árboles que la definición original de Ihara puede reinterpretarse desde una perspectiva de teoría de grafos. Fue Toshikazu Sunada quien puso en práctica esta sugerencia en 1985. Como observó Sunada, un grafo regular es un grafo de Ramanujan si y solo si su función zeta de Ihara satisface un análogo de la hipótesis de Riemann . ^{[ 1 ]}

La función zeta de Ihara se define como la continuación analítica del producto infinito.

${\displaystyle \zeta _{G}(u)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{{L}(p)}}},}$

donde L ( p ) es la longitud${\displaystyle L(p)}$de${\displaystyle p}$El producto en la definición se toma sobre todas las geodésicas cerradas primas.${\displaystyle p}$del gráfico${\displaystyle G=(V,E)}$donde las geodésicas que difieren por una rotación cíclica se consideran iguales. Una geodésica cerrada${\displaystyle p}$en${\displaystyle G}$(conocido en teoría de grafos como un " recorrido cerrado reducido "; no es una geodésica de grafos) es una secuencia finita de vértices${\displaystyle p=(v_{0},\ldots,v_{k-1})}$ de tal manera que

${\displaystyle (v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\en E,}$

${\displaystyle v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.}$

El entero${\displaystyle k}$es la longitud${\displaystyle L(p)}$. La geodésica cerrada${\displaystyle p}$es primo si no se puede obtener repitiendo una geodésica cerrada.${\displaystyle m}$veces, para un número entero${\displaystyle m>1}$.

Esta formulación basada en la teoría de grafos se debe a Sunada.

Ihara (y Sunada en el contexto de la teoría de grafos) demostraron que para grafos regulares la función zeta es una función racional. Si${\displaystyle G}$es un${\displaystyle q+1}$-grafo regular con matriz de adyacencia${\displaystyle A}$entonces ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}},}$

dónde${\displaystyle r(G)}$es el rango del circuito de${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle G}$está conectado y tiene${\displaystyle n}$vértices,${\displaystyle r(G)-1=(q-1)n/2}$.

La función zeta de Ihara es, de hecho, siempre la recíproca de un polinomio de grafos :

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,}$

dónde${\displaystyle T}$es el operador de adyacencia de aristas de Ki-ichiro Hashimoto. Hyman Bass proporcionó una fórmula determinante que involucra el operador de adyacencia.

La función zeta de Ihara juega un papel importante en el estudio de grupos libres , teoría espectral de grafos y sistemas dinámicos , especialmente dinámica simbólica , donde la función zeta de Ihara es un ejemplo de una función zeta de Ruelle . ^{[ 3 ]}

• Ihara, Yasutaka (1966). "Sobre subgrupos discretos del grupo lineal proyectivo de dos por dos sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Campos -ádicos" . Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 18 : 219–235 . doi : 10.2969/jmsj/01830219 . MR 0223463. Zbl 0158.27702 .  
• Sunada, Toshikazu (1986). «Funciones L en geometría y algunas aplicaciones». Curvatura y topología de variedades riemannianas . Lecture Notes in Mathematics . Vol.  1201. pp. 266–284 . doi : 10.1007/BFb0075662 . ISBN  978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046 . 
• Bass, Hyman (1992). "La función zeta de Ihara-Selberg de una red de árboles". Revista Internacional de Matemáticas . 3 (6): 717– 797. doi : 10.1142/S0129167X92000357 . MR 1194071 . Zbl 0767.11025 .  
• Stark, Harold M. (1999). "Funciones zeta de trayectorias múltiples de grafos". En Hejhal, Dennis A .; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C .; et  al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Math. Appl. Vol.  109. Springer . pp. 601–615 . ISBN  0-387-98824-6. Zbl 0988.11040 . 
• Terras, Audrey (1999). «Un estudio de fórmulas de traza discreta». En Hejhal, Dennis A .; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C .; et  al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Math. Appl. Vol.  109. Springer. pp. 643–681 . ISBN  0-387-98824-6. Zbl 0982.11031 . 
• Terras, Audrey (2010). Funciones zeta de grafos: Un paseo por el jardín . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  128. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11367-0. Zbl 1206.05003 .