Matriz S

La matriz de transferencia${\displaystyle M}$relaciona las ondas planas${\displaystyle Ce^{ikx}}$y${\displaystyle De^{-ikx}}$en el lado derecho del potencial de dispersión a las ondas planas${\displaystyle Ae^{ikx}}$y${\displaystyle Be^{-ikx}}$en el lado izquierdo : ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$y sus componentes se pueden derivar de los componentes de la matriz S mediante: ^{[ 6 ]}${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$y${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$, asumiendo simetría de inversión temporal.

En el caso de simetría de inversión temporal, la matriz de transferencia${\displaystyle \mathbf {M} }$puede expresarse mediante tres parámetros reales:

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$ con${\displaystyle \delta ,\varphi \en [0;2\pi ]}$y${\displaystyle r\in [0;1]}$(en caso de que r = 1 no habría conexión entre el lado izquierdo y el derecho)

El problema unidimensional no relativista con simetría de inversión temporal de una partícula con masa m que se aproxima a un pozo cuadrado finito (estático) tiene la función potencial V con $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{para}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{y}}\\[1ex]0&{\text{para}}~~|x|>a\end{cases}}}$$ La dispersión se puede resolver descomponiendo el paquete de ondas de la partícula libre en ondas planas.${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$con números de onda${\displaystyle k>0}$para una onda plana que viene (de lejos) del lado izquierdo o similar${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$(lejos) del lado derecho.

La matriz S para la onda plana con número de onda k tiene la solución: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$ y${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ; por eso${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$y por lo tanto ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$y${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$en este caso.

Por lo cual${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$es el número de onda (aumentado) de la onda plana dentro del pozo cuadrado, como el valor propio de energía${\displaystyle E_{k}}$La constante asociada a la onda plana debe permanecer constante:${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

La transmisión es${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

En el caso de${\displaystyle \sin(2la)=0}$entonces${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$y por lo tanto${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$y${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$es decir, una onda plana con número de onda k pasa por el pozo sin reflexión si${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$por un${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

La barrera cuadrada es similar al pozo cuadrado con la diferencia de que${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$para${\displaystyle |x|\leq a}$.

Existen tres casos diferentes dependiendo del valor propio de la energía.${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$de las ondas planas (con números de onda k o −k ) lejos de la barrera:

Si a ^† ( k ) es un operador de creación , su adjunto hermitiano es un operador de aniquilación y destruye el vacío, $${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

En notación de Dirac , definimos $${\displaystyle |*,0\rangle }$$ como un estado cuántico de vacío , es decir, un estado sin partículas reales. El asterisco significa que no todos los estados de vacío son necesariamente iguales, y ciertamente no son iguales al estado cero del espacio de Hilbert 0. Se supone que todos los estados de vacío son invariantes de Poincaré , invariancia bajo traslaciones, rotaciones y transformaciones de Lorentz, ^{[ 11 ]} formalmente, $${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$ donde P ^μ es el generador de traslación en el espacio y el tiempo, y M ^μν es el generador de transformaciones de Lorentz . Por lo tanto, la descripción del vacío es independiente del marco de referencia. Asociados a los estados de entrada y salida que se definirán están los operadores de campo de entrada y salida (también llamados campos ) Φ _i y Φ _o . Aquí la atención se centra en el caso más simple, el de una teoría escalar, para ejemplificar con la menor cantidad posible de notación. Los campos de entrada y salida satisfacen $${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$ la ecuación libre de Klein-Gordon . Se postula que estos campos tienen las mismas relaciones de conmutación de tiempo igual (ETCR) que los campos libres, $${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ donde π _{i , j} es el campo canónicamente conjugado a Φ _{i , j} . Asociados a los campos de entrada y salida hay dos conjuntos de operadores de creación y aniquilación, a ^† _i ( k ) y a ^† _f ( k ) , que actúan en el mismo espacio de Hilbert , ^{[ 12 ]} sobre dos conjuntos completos distintos ( espacios de Fock ; espacio inicial i , espacio final f ). Estos operadores satisfacen las reglas de conmutación usuales, $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

La acción de los operadores de creación sobre sus respectivos vacíos y estados con un número finito de partículas en los estados de entrada y salida viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$ donde se han ignorado los problemas de normalización. Consulte la siguiente sección para obtener una descripción detallada de cómo se normaliza un estado general de n partículas . Los espacios inicial y final se definen por$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

Se supone que los estados asintóticos tienen propiedades de transformación de Poincaré bien definidas, es decir, se supone que se transforman como un producto directo de estados de una partícula. ^{[ 13 ]} Esta es una característica de un campo no interactuante. De esto se deduce que los estados asintóticos son todos autoestados del operador de momento P ^μ , ^{[ 11 ]}$${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$ En particular, son autoestados del hamiltoniano completo, $${\displaystyle H=P^{0}.}$$

El vacío se suele postular como estable y único, ^{[ 11 ] [ nb 1 ]}$${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

Se supone que la interacción se activa y desactiva adiabáticamente.

De ahora en adelante se empleará la imagen de Heisenberg . En esta imagen, los estados son independientes del tiempo. Un vector de estado de Heisenberg representa así la historia espaciotemporal completa de un sistema de partículas. ^{[ 13 ]} La denominación de los estados de entrada y salida se refiere a la apariencia asintótica. Un estado Ψ _{α , in} se caracteriza porque cuando t → −∞ el contenido de partículas es el representado colectivamente por α . De igual modo, un estado Ψ _{β , out} tendrá el contenido de partículas representado por β para t → +∞ . Utilizando la suposición de que los estados de entrada y salida, así como los estados de interacción, habitan el mismo espacio de Hilbert y asumiendo la completitud de los estados de entrada y salida normalizados (postulado de completitud asintótica ^{[ 11 ]} ), los estados iniciales pueden expandirse en una base de estados finales (o viceversa). La expresión explícita se da más adelante después de que se haya introducido más notación y terminología. Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.

Si bien los vectores de estado son constantes en el tiempo en la representación de Heisenberg, los estados físicos que representan no lo son . Si se encuentra un sistema en un estado Ψ en el instante t = 0 , entonces se encontrará en el estado U ( τ )Ψ = e ^{− iHτΨ} en el instante t = τ . Este no es (necesariamente) el mismo vector de estado de Heisenberg, pero es un vector de estado equivalente , lo que significa que, al medirlo, se encontrará que es uno de los estados finales de la expansión con coeficiente distinto de cero. Al variar τ , se observa que el Ψ observado (no medido) es, de hecho, el vector de estado de la representación de Schrödinger . Al repetir la medición suficientes veces y promediar, se puede decir que el mismo vector de estado se encuentra en el instante t = τ que en el instante t = 0. Esto refleja la expansión anterior de un estado de entrada en estados de salida.

Para este punto de vista, conviene considerar cómo se realiza el experimento de dispersión arquetípico. Las partículas iniciales se preparan en estados bien definidos donde están tan separadas que no interactúan. De alguna manera, se las hace interactuar, y las partículas finales se registran cuando están tan separadas que han dejado de interactuar. La idea es buscar estados en la representación de Heisenberg que en el pasado lejano tenían la apariencia de estados de partículas libres. Estos serán los estados de entrada. Del mismo modo, un estado de salida será un estado que en el futuro lejano tenga la apariencia de un estado de partículas libres. ^{[ 13 ]}

Se utilizará la notación de la referencia general para esta sección, Weinberg (2002) . Un estado general de múltiples partículas no interactuantes viene dado por$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$ dónde

• p es el momento,
• σ es la componente z del espín o, en el caso sin masa, la helicidad ,
• n es la especie de partícula.

Estos estados se normalizan como $${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$ Las permutaciones funcionan de la siguiente manera: si s ∈ S _k es una permutación de k objetos (para un estado de k partículas ) tal que $${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$ Entonces resulta un término distinto de cero. El signo es positivo a menos que s involucre un número impar de transposiciones de fermiones, en cuyo caso es negativo. La notación se abrevia generalmente dejando que una letra griega represente toda la colección que describe el estado. En forma abreviada, la normalización se convierte en $${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$ Al integrar sobre estados de partículas libres se escribe en esta notación $${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$ donde la suma incluye solo términos tales que no hay dos términos iguales módulo una permutación de los índices de tipo de partícula. Se supone que los conjuntos de estados buscados son completos . Esto se expresa como $${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$ que podría parafrasearse como $${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$ donde para cada α fijo , el lado derecho es un operador de proyección sobre el estado α . Bajo una transformación de Lorentz no homogénea (Λ, a ) , el campo se transforma según la regla,

donde W (Λ, p ) es la rotación de Wigner y D ^{( j )} es la representación (2 j + 1) dimensional de SO(3) . Al sustituir Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , para lo cual U es exp( iHτ ) , en (1) , se deduce inmediatamente que $${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$ Por lo tanto, los estados de entrada y salida buscados son autoestados del hamiltoniano completo que necesariamente no interactúan debido a la ausencia de términos de energía de partículas mixtas. La discusión en la sección anterior sugiere que los estados de entrada Ψ ⁺ y los estados de salida Ψ ⁻ deben ser tales que $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$ Para valores grandes de τ positivos y negativos, tiene la apariencia del paquete correspondiente, representado por g , de estados de partículas libres, g se supone suave y adecuadamente localizado en el momento. Los paquetes de ondas son necesarios, de lo contrario la evolución temporal producirá solo un factor de fase que indica partículas libres, lo cual no puede ser el caso. El lado derecho se deduce de que los estados de entrada y salida son autoestados del hamiltoniano por encima de. Para formalizar este requisito, supongamos que el hamiltoniano completo H se puede dividir en dos términos, un hamiltoniano de partículas libres H ₀ y una interacción V , H = H ₀ + V tal que los autoestados Φ _γ de H ₀ tienen la misma apariencia que los estados de entrada y salida con respecto a las propiedades de normalización y transformación de Lorentz, $${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$$${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

Los estados de entrada y salida se definen como autoestados del hamiltoniano completo, $${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ satisfactorio $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$ para τ → −∞ o τ → +∞ respectivamente. Definir $${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$ entonces $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$ Esta última expresión funcionará solo utilizando paquetes wave. De estas definiciones se deduce que los estados de entrada y salida se normalizan de la misma manera que los estados de partículas libres, $${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$ y los tres conjuntos son unitariamente equivalentes. Ahora reescribe la ecuación de valores propios, $${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ donde se han añadido los términos ± iε para hacer invertible el operador en el LHS. Dado que los estados de entrada y salida se reducen a los estados de partícula libre para V → 0 , se coloca $${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$ en el lado derecho para obtener $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$ Luego, utilice la completitud de los estados de partículas libres, $${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$ para finalmente obtener $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$ Aquí H ₀ ha sido reemplazado por su autovalor en los estados de partículas libres. Esta es la ecuación de Lippmann-Schwinger .

Los estados iniciales pueden expandirse en una base de estados finales (o viceversa). Utilizando la relación de completitud, $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$ donde | C _m | ² es la probabilidad de que la interacción se transforme $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$ en $${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$ Según las reglas ordinarias de la mecánica cuántica, $${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$ y uno puede escribir $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$ Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.