Pozo de potencial finito

El pozo de potencial finito (también conocido como pozo cuadrado finito ) es un concepto de la mecánica cuántica . Es una extensión del pozo de potencial infinito , en el que una partícula está confinada en una "caja", pero que tiene "paredes" de potencial finito . A diferencia del pozo de potencial infinito, existe una probabilidad asociada con que la partícula se encuentre fuera de la caja. La interpretación de la mecánica cuántica es diferente de la interpretación clásica, donde si la energía total de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes, no se puede encontrar fuera de la caja. En la interpretación cuántica, existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula esté fuera de la caja incluso cuando la energía de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes (cf efecto túnel cuántico ).

Para el caso unidimensional en el eje x , la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como:

dónde

• ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$es la constante de Planck reducida,
• ${\estilo de visualización h}$es la constante de Planck ,
• ${\estilo de visualización m}$es la masa de la partícula,
• ${\estilo de visualización \psi}$es la función de onda (de valor complejo) que queremos encontrar,
• ${\estilo de visualización V(x)}$es una función que describe la energía potencial en cada punto x , y
• ${\estilo de visualización E}$es la energía , un número real, a veces llamado energía propia.

Para el caso de la partícula en una caja unidimensional de longitud L , el potencial está fuera de la caja y es cero para x entre y . Se considera que la función de onda está formada por diferentes funciones de onda en diferentes rangos de x , dependiendo de si x está dentro o fuera de la caja. Por lo tanto, la función de onda se define de manera que: ${\estilo de visualización V_{0}}$${\estilo de visualización -L/2}$${\estilo de visualización L/2}$$${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the well)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the well)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$

Para la región dentro de la caja, V ( x ) = 0 y la ecuación 1 se reduce a Dejando que la ecuación se convierta en $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.}$$$${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$$

Este es un problema de ecuación diferencial y valor propio bien estudiado con una solución general de Por lo tanto, $${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.}$$$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}$$

Aquí, A y B pueden ser cualquier número complejo y k puede ser cualquier número real.

Para la región fuera de la caja, dado que el potencial es constante, la ecuación 1 se convierte en: ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}}$$

Hay dos posibles familias de soluciones, dependiendo de si E es menor que (la partícula está ligada en el potencial) o E es mayor que (la partícula está libre). ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Para una partícula libre, , y dejando que se produzca con la misma forma de solución que el caso del pozo interior: ${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}$$$${\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)}$$

Este análisis se centrará en el estado límite, donde . Si se obtiene donde la solución general es exponencial: ${\displaystyle E<V_{0}}$$${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}$$$${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}}$$

De manera similar, para la otra región fuera de la caja: $${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}}$$

Ahora, para encontrar la solución específica para el problema en cuestión, debemos especificar las condiciones de contorno apropiadas y encontrar los valores para A , B , F , G , H e I que satisfagan esas condiciones.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger deben ser continuas y continuamente diferenciables. ^[1] Estos requisitos son condiciones de contorno de las ecuaciones diferenciales derivadas previamente, es decir, las condiciones de coincidencia entre las soluciones dentro y fuera del pozo.

En este caso, el pozo de potencial finito es simétrico, por lo que se puede aprovechar la simetría para reducir los cálculos necesarios.

Resumiendo las secciones anteriores: donde encontramos , , y ser: $${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the box)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}}$$

Vemos que cuando tiende a , el término tiende a infinito. Asimismo, cuando tiende a , el término tiende a infinito. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos establecer , y tenemos: y${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle I}$${\displaystyle F=I=0}$$${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}}$$$${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}}$$

A continuación, sabemos que la función global debe ser continua y diferenciable. En otras palabras, los valores de las funciones y sus derivadas deben coincidir en los puntos divisores: ${\displaystyle \psi }$

Estas ecuaciones tienen dos tipos de soluciones, simétricas, para las cuales y , y antisimétricas, para las cuales y . Para el caso simétrico obtenemos entonces tomando la razón obtenemos ${\displaystyle A=0}$${\displaystyle G=H}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle G=-H}$$${\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}$$ $${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}$$

$${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2).}$$ De manera similar para el caso antisimétrico obtenemos $${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2).}$$

Recordemos que tanto y dependen de la energía. Lo que hemos descubierto es que las condiciones de continuidad no se pueden satisfacer para un valor arbitrario de la energía, porque eso es resultado del caso del pozo de potencial infinito. Por lo tanto, solo se permiten ciertos valores de energía, que son soluciones a una o cualquiera de estas dos ecuaciones. Por lo tanto, encontramos que los niveles de energía del sistema a continuación son discretos; las funciones propias correspondientes son estados ligados . (Por el contrario, para los niveles de energía anteriores son continuos. ^[2] ) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Las ecuaciones de energía no se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, veremos que en el caso simétrico, siempre existe al menos un estado ligado, incluso si el pozo es muy poco profundo. ^[3] Las soluciones gráficas o numéricas de las ecuaciones de energía se ven facilitadas por reescribirlas un poco y cabe mencionar que Lima ha encontrado un buen método de aproximación que funciona para cualquier par de parámetros y . ^[4] Si introducimos las variables adimensionales y , y observamos de las definiciones de y que , donde , las ecuaciones maestras se leen ${\displaystyle L}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle u=\alpha L/2}$${\displaystyle v=kL/2}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$${\displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}$$${\displaystyle {\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetric case) }}\end{cases}}}$$

En el gráfico de la derecha, para , existen soluciones donde el semicírculo azul interseca las curvas violeta o gris ( y ). Cada curva violeta o gris representa una posible solución, dentro del rango . Por lo tanto, el número total de soluciones, , (es decir, el número de curvas violetas/grises que son intersectadas por el círculo azul) se determina dividiendo el radio del círculo azul, , por el rango de cada solución y utilizando las funciones de piso o techo: ^[5]${\displaystyle u_{0}^{2}=20}$${\displaystyle v\tan v}$${\displaystyle -v\cot v}$${\displaystyle v_{j}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(j-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}j}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil }$$

En este caso hay exactamente tres soluciones, ya que . ${\displaystyle N=\lceil 2{\sqrt {20}}/\pi \rceil =\lceil 2.85\rceil =3}$

${\displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$y , con las energías correspondientes Si queremos, podemos volver atrás y encontrar los valores de las constantes en las ecuaciones ahora (también necesitamos imponer la condición de normalización). A la derecha mostramos los niveles de energía y las funciones de onda en este caso (donde ). ${\displaystyle v_{3}=3.73}$$${\displaystyle E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.}$$${\displaystyle A,B,G,H}$${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$

Observamos que por muy pequeño que sea (por muy superficial o estrecho que sea el pozo), siempre hay al menos un estado ligado. ${\displaystyle u_{0}}$

Cabe destacar dos casos especiales. A medida que la altura del potencial se hace grande, , el radio del semicírculo se hace mayor y las raíces se acercan cada vez más a los valores , y recuperamos el caso del pozo cuadrado infinito . ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$${\displaystyle v_{n}=n\pi /2}$

El otro caso es el de un pozo muy estrecho y profundo, en concreto el caso de y con fijo. Como tenderá a cero, por lo que sólo habrá un estado ligado. La solución aproximada es entonces , y la energía tiende a . Pero esta es sólo la energía del estado ligado de un potencial de función delta de fuerza , como debería ser. ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$${\displaystyle L\to 0}$${\displaystyle V_{0}L}$${\displaystyle u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L}$${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$${\displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}$${\displaystyle V_{0}L}$

Se puede obtener una solución gráfica más simple para los niveles de energía al normalizar el potencial y la energía a través de la multiplicación por . Las cantidades normalizadas dan directamente la relación entre los pares permitidos como ^[6] para las funciones de onda de paridad par e impar, respectivamente. En las ecuaciones anteriores solo se deben considerar las partes derivadas positivas de las funciones. El gráfico que da directamente los pares permitidos se muestra en la figura. ${\displaystyle {8m}{L^{2}}/h^{2}}$$${\displaystyle {\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}}$$${\displaystyle (V_{0},E)}$ $${\displaystyle {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|}$$${\displaystyle (V_{0},E)}$

Si resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una energía , las soluciones serán oscilatorias tanto dentro como fuera del pozo. Por lo tanto, la solución nunca es integrable al cuadrado; es decir, siempre es un estado no normalizable. Sin embargo, esto no significa que sea imposible que una partícula cuántica tenga una energía mayor que , simplemente significa que el sistema tiene un espectro continuo por encima de . Los estados propios no normalizables están lo suficientemente cerca de ser integrables al cuadrado como para que aún contribuyan al espectro del hamiltoniano como un operador ilimitado. ^[7]${\displaystyle E>V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Consideremos un pozo de potencial asimétrico unidimensional dado por el potencial ^[8] con . La solución correspondiente para la función de onda con es y $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (the region outside the well)}}\\0,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (the region inside the well)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$${\displaystyle E<V_{1}}$$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.}$$

Los niveles de energía se determinan una vez que se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental donde la existencia de la raíz de la ecuación anterior no siempre está garantizada, por ejemplo, siempre se puede encontrar un valor de tan pequeño que, para valores dados de y , no existe ningún nivel de energía discreto. Los resultados del pozo simétrico se obtienen de la ecuación anterior estableciendo . ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\right)}$$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}$

Consideremos el siguiente pozo de potencial esférico donde es el radio desde el origen. La solución para la función de onda con momento angular cero ( ) y con una energía se da por ^[8] que satisface la condición $${\displaystyle U(r)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{if }}r<a{\text{ (the region inside the well)}}\\0,&{\text{if }}r>a{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle l=0}$${\displaystyle E<0}$ $${\displaystyle \psi (r)={\begin{cases}{\frac {A}{r}}\sin kr,&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(U_{0}-|E|)}}\\{\frac {B}{r}}e^{-\kappa r},&{\text{for }}r>a,{\text{where }}\kappa ={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}={\sqrt {2mU_{0}/\hbar ^{2}-k^{2}}}.\end{cases}}}$$

${\displaystyle k\cot ka=-\kappa .}$

Esta ecuación no siempre tiene una solución, lo que indica que en algunos casos no hay estados ligados. La profundidad mínima del pozo de potencial en el que aparece por primera vez el estado ligado está dada por ${\displaystyle E=0}$

${\displaystyle U_{0,\mathrm {min} }={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{8ma^{2}}}}$

que aumenta con la disminución del radio del pozo . Por lo tanto, los estados ligados no son posibles si el pozo es suficientemente superficial y angosto. Para una profundidad de pozo ligeramente superior al valor mínimo, es decir, para , la energía del estado fundamental (ya que estamos considerando el caso) está dada por ^[9]${\displaystyle a}$${\displaystyle U_{0}/U_{0,\mathrm {min} }-1\ll 1}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -E_{1}={\frac {\pi ^{2}}{16}}{\frac {(|U_{0}|-U_{0,\mathrm {min} })^{2}}{U_{0,\mathrm {min} }}}.}$

Los resultados anteriores se pueden utilizar para demostrar que, en el caso unidimensional, hay dos estados ligados en una cavidad esférica, ya que las coordenadas esféricas hacen equivalente el radio en cualquier dirección.

El estado fundamental ( n = 1) de un potencial simétrico esférico siempre tendrá un momento angular orbital cero (ℓ = n−1), y la función de onda reducida satisface la ecuación donde es la parte radial de la función de onda. Nótese que para ( n = 1) la parte angular es constante ( ℓ = 0). ${\displaystyle \chi (r)\equiv r\psi (r)}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+U(r)\chi (r)=E\chi (r)}$$${\displaystyle \psi (r)}$

Esta es idéntica a la ecuación unidimensional, excepto por las condiciones de contorno. Como antes, $${\displaystyle \chi (r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]c\sin({kr+\delta }),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$$

Los niveles de energía para se determinan una vez que se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental donde${\displaystyle a<r<b}$ $${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$${\displaystyle {\displaystyle k}}$$${\displaystyle k(b-a)=n\pi }$$${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

La existencia de la raíz de la ecuación anterior está siempre garantizada. Los resultados son siempre de simetría esférica. Se cumple la condición de que la onda no encuentre potencial dentro de la esfera: . ${\displaystyle \chi (a)=\chi (0)=0}$

La ecuación diferencial es diferente cuando ℓ ≠0, así que como en los títulos anteriores, aquí está:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\begin{Bmatrix}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\end{Bmatrix}}\chi (r)=0}$

La solución se puede racionalizar mediante algunos cambios de variable y función para dar lugar a una ecuación diferencial tipo Bessel, cuya solución es:

${\displaystyle {\frac {\chi (r)}{r}}={\begin{cases}Aj_{l}({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]Aj_{l}({kr})+By_{l}({kr}),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]B{\frac {e^{-k_{2}r}}{r}},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$

donde y son funciones esféricas de Bessel y Newman respectivamente, y podrían reescribirse como función de la función de Bessel estándar. ${\displaystyle j_{l}{(kr)}}$${\displaystyle y_{l}({kr})}$

Los niveles de energía para${\displaystyle a<r<b}$

$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$

se determinan una vez que se resuelve como raíz de la siguiente ecuación trascendental ${\displaystyle {\displaystyle k}}$

$${\displaystyle k(b-a)={\frac {4n\pi }{2\ell +1}}}$$

dónde${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

La existencia de la raíz de la ecuación anterior está siempre garantizada. Los resultados son siempre simétricos de forma esférica. Además, estas dos ecuaciones trascendentales son soluciones: y además, ${\displaystyle {\displaystyle k}}$$${\displaystyle kb={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$$${\displaystyle ka={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$

• Pozo potencial
• Potencial de función delta
• Pozo potencial infinito
• Pozo potencial de semicírculo
• Tunelaje cuántico
• Barrera de potencial rectangular

• Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer