barrera de potencial rectangular

En mecánica cuántica , la barrera de potencial rectangular (o, a veces, cuadrada ) es un problema unidimensional estándar que demuestra los fenómenos de tunelización ondulatoria (también llamada "tunelización cuántica") y reflexión ondulatoria. El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo para una partícula que encuentra una barrera de energía potencial rectangular . Generalmente se supone, como en este caso, que una partícula libre incide sobre la barrera desde la izquierda.

Aunque clásicamente una partícula que se comporta como una masa puntual se reflejaría si su energía es menor que${\displaystyle V_{0}}$Una partícula que se comporta como una onda de materia tiene una probabilidad no nula de atravesar la barrera y continuar su trayectoria como onda al otro lado. En la física ondulatoria clásica, este efecto se conoce como acoplamiento de onda evanescente . La probabilidad de que la partícula atraviese la barrera viene dada por el coeficiente de transmisión , mientras que la probabilidad de que se refleje viene dada por el coeficiente de reflexión . La ecuación de onda de Schrödinger permite calcular estos coeficientes.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda${\displaystyle \psi (x)}$lecturas $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$ dónde${\displaystyle {\hat {H}}}$es el hamiltoniano ,${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck (reducida) ,${\displaystyle m}$es la masa ,${\displaystyle E}$ la energía de la partícula y $${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]}$$ es el potencial de barrera con altura${\displaystyle V_{0}>0}$y ancho${\displaystyle a}$.${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ es la función escalón de Heaviside , es decir, $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<0\\V_{0}&{\text{si }}0<x<a\\0&{\text{si }}a<x\end{cases}}}$$

La barrera está situada entre${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=a}$La barrera se puede desplazar a cualquier${\displaystyle x}$posición sin cambiar los resultados. El primer término en el hamiltoniano,${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$es la energía cinética .

La barrera divide el espacio en tres partes (${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$). En cualquiera de estas partes, el potencial es constante, lo que significa que la partícula es cuasi-libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha (véase partícula libre ). Si${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$ donde los números de onda están relacionados con la energía a través de $${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

El índice${\displaystyle r/l}$sobre los coeficientes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$denota la dirección del vector de velocidad. Nótese que, si la energía de la partícula está por debajo de la altura de la barrera,${\displaystyle k_{1}}$se vuelve imaginario y la función de onda decae exponencialmente dentro de la barrera. Sin embargo, mantenemos la notación${\displaystyle r/l}$aunque las ondas ya no se propagan en este caso. Aquí asumimos${\displaystyle E\neq V_{0}}$El caso${\displaystyle E=V_{0}}$Se trata a continuación.

Los coeficientes${\displaystyle A,B,C}$deben encontrarse a partir de las condiciones de contorno de la función de onda en${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=a}$La función de onda y su derivada deben ser continuas en todas partes, por lo que $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

Al insertar las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes:

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$$${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$$${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$$${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

En este punto, resulta instructivo comparar la situación con el caso clásico. En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de barrera. Una partícula clásica con energía${\displaystyle E}$mayor que la altura de la barrera${\displaystyle V_{0}}$siempre pasaría la barrera, y una partícula clásica con${\displaystyle E<V_{0}}$Cualquier incidente en la barrera siempre se vería reflejado.

Para estudiar el caso cuántico, consideremos la siguiente situación: una partícula incidente sobre la barrera desde el lado izquierdo (${\displaystyle A_{r}}$). Puede reflejarse (${\displaystyle A_{l}}$) o transmitido (${\displaystyle C_{r}}$).

Para hallar las amplitudes de reflexión y transmisión para incidencia desde la izquierda, sustituimos en las ecuaciones anteriores${\displaystyle A_{r}=1}$(partícula entrante),${\displaystyle A_{l}=r}$(reflexión),${\displaystyle C_{l}=0}$(sin partículas entrantes desde la derecha), y${\displaystyle C_{r}=t}$(transmisión). Luego eliminamos los coeficientes${\displaystyle B_{l},B_{r}}$a partir de la ecuación y resolver para${\displaystyle r}$y${\displaystyle t}$.

El resultado es:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$$${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes para la incidencia desde la derecha son las mismas que las de la izquierda. Nótese que estas expresiones son válidas para cualquier energía.${\displaystyle E>0}$,${\displaystyle E\neq V_{0}}$. Si${\displaystyle E=V_{0}}$, entonces${\displaystyle k_{1}=0}$, por lo tanto, existe una singularidad en ambas expresiones.

El cálculo presentado anteriormente puede parecer a primera vista poco realista y de escasa utilidad. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para diversos sistemas de la vida real. Un ejemplo de ello son las interfaces entre dos materiales conductores . En el interior de los materiales, el movimiento de los electrones es prácticamente libre y puede describirse mediante el término cinético del hamiltoniano anterior con una masa efectiva.${\displaystyle m}$A menudo, las superficies de estos materiales están cubiertas de capas de óxido o no son ideales por otros motivos. Esta fina capa no conductora puede modelarse mediante un potencial de barrera, como se describió anteriormente. Los electrones pueden entonces atravesar por efecto túnel un material y generar una corriente eléctrica.

El funcionamiento de un microscopio de efecto túnel (STM) se basa en este efecto túnel. En este caso, la barrera se debe al espacio entre la punta del STM y el objeto subyacente. Dado que la corriente de túnel depende exponencialmente del ancho de la barrera, este dispositivo es extremadamente sensible a las variaciones de altura en la muestra examinada.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio es tridimensional. Se debe resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas solo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son invariantes traslacionalmente a lo largo de las demás; son separables . La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí mediante una hipótesis para la función de onda del tipo:${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$.

Para otro modelo relacionado de barrera, véase la barrera de potencial delta (QM) , que puede considerarse un caso especial de la barrera de potencial finita. Todos los resultados de este artículo se aplican inmediatamente a la barrera de potencial delta tomando los límites.${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$mientras se mantiene${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$constante.

• Morse/Potencial de largo alcance
• Potencial de paso
• pozo de potencial finito

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck; et  al. (1996). Mecánica cuántica . trad. del francés por Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. págs. 231 –233. ISBN  978-0-471-56952-7.