Potencial delta

En mecánica cuántica, el potencial delta es un pozo de potencial descrito matemáticamente por la función delta de Dirac , una función generalizada . Cualitativamente, corresponde a un potencial que es cero en todas partes, excepto en un punto donde adquiere un valor infinito. Esto se puede utilizar para simular situaciones en las que una partícula puede moverse libremente en dos regiones del espacio con una barrera entre ellas. Por ejemplo, un electrón puede moverse casi libremente en un material conductor, pero si dos superficies conductoras se colocan muy cerca, la interfaz entre ellas actúa como una barrera para el electrón, la cual puede aproximarse mediante un potencial delta.

El pozo de potencial delta es un caso límite del pozo de potencial finito , que se obtiene si se mantiene constante el producto del ancho del pozo y el potencial, mientras se disminuye el ancho del pozo y se aumenta el potencial.

Este artículo, por simplicidad, solo considera un pozo de potencial unidimensional, pero el análisis podría ampliarse a más dimensiones.

Potencial delta único

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda $ψ (x)$ de una partícula en una dimensión en un potencial $V (x)$ es $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$ donde $ħ$ es la constante de Planck reducida y $E$ es la energía de la partícula.

El potencial delta es el potencial $V(x)=\lambda \delta (x),$ donde $δ (x)$ es la función delta de Dirac .

Se denomina pozo de potencial delta si $λ$ es negativo y barrera de potencial delta si $λ$ es positivo. Para simplificar, se ha definido que el delta se produce en el origen; un cambio en el argumento de la función delta no modifica ninguno de los resultados siguientes.

Resolver la ecuación de Schrödinger

Fuente: ^{[ 1 ]}

El potencial divide el espacio en dos partes ( $x < 0$ y $x > 0$ ). En cada una de estas partes el potencial es cero, y la ecuación de Schrödinger se reduce a ${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi$ Esta es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes , cuyas soluciones son combinaciones lineales de $e ikx$ y $e - ikx$ , donde el número de onda $k$ está relacionado con la energía por $k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.$

En general, debido a la presencia del potencial delta en el origen, los coeficientes de la solución no tienen por qué ser los mismos en ambos semiplanos: $\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ si }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ si }}x>0,\end{cases}}$ donde, en el caso de energías positivas ( $k$ real ), $e ikx$ representa una onda que viaja hacia la derecha, y $e - ikx$ una que viaja hacia la izquierda.

Se obtiene una relación entre los coeficientes imponiendo que la función de onda sea continua en el origen: $\psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},$

Una segunda relación se puede encontrar estudiando la derivada de la función de onda. Normalmente, también podríamos imponer la diferenciabilidad en el origen, pero esto no es posible debido al potencial delta. Sin embargo, si integramos la ecuación de Schrödinger alrededor de $x = 0$ , sobre un intervalo $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$ : $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.$

En el límite como $\varepsilon \to 0$ , el lado derecho de esta ecuación se desvanece; el lado izquierdo se convierte en $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),$ porque $\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].$ Sustituyendo la definición de $ψ$ en esta expresión se obtiene $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.$

Las condiciones de contorno imponen, por lo tanto, las siguientes restricciones sobre los coeficientes: ${\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}$

Estado ligado ( E < 0)

La gráfica de la solución de la función de onda del estado ligado al potencial de la función delta es continua en todas partes, pero su derivada no está definida en $x = 0$ .

En cualquier potencial atractivo unidimensional habrá un estado ligado . Para hallar su energía, observe que para $E < 0$ , $k = i \sqrt 2 m | E | / ħ = iκ$ es imaginario, y las funciones de onda que oscilaban para energías positivas en el cálculo anterior son ahora funciones exponencialmente crecientes o decrecientes de x (véase más arriba). Exigir que las funciones de onda no diverjan en el infinito elimina la mitad de los términos: $A r = B l = 0.$ La función de onda es entonces $\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}$

De las condiciones de contorno y las condiciones de normalización se deduce que ${\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}$ de lo cual se deduce que $λ$ debe ser negativo, es decir, el estado ligado solo existe para el pozo, y no para la barrera. La transformada de Fourier de esta función de onda es una función lorentziana .

La energía del estado ligado es entonces $E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.$

Dispersión ( E > 0)

Probabilidad de transmisión ( T ) y reflexión ( R ) de un pozo de potencial delta. La energía $E > 0$ está en unidades de ${\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}$ Línea discontinua: resultado clásico. Línea continua: mecánica cuántica.

{\displaystyle {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}} — Probabilidad de transmisión ( T ) y reflexión ( R ) de un pozo de potencial delta. La energía $E > 0$ está en unidades de ${\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}$ Línea discontinua: resultado clásico. Línea continua: mecánica cuántica.

Para energías positivas, la partícula puede moverse libremente en cualquiera de los dos semiplanos: $x < 0$ o $x > 0.$ Puede dispersarse en el potencial de la función delta.

El caso cuántico se puede estudiar en la siguiente situación: una partícula incide sobre la barrera desde la izquierda $(A r)$ . Puede reflejarse $(A l)$ o transmitirse $(B r)$ . Para hallar las amplitudes de reflexión y transmisión para la incidencia desde la izquierda, sustituimos en las ecuaciones anteriores $A r = 1$ (partícula incidente), $A l = r$ (reflexión), $B l = 0$ (no hay partícula incidente desde la derecha) y $B r = t$ (transmisión), y resolvemos para $r$ y $t$ aunque no tengamos ninguna ecuación en $t$ . El resultado es $t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes para la incidencia desde la derecha son las mismas que las de la izquierda. El resultado es que existe una probabilidad distinta de cero. $R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}$ para que la partícula se refleje. Esto no depende del signo de $λ$ , es decir, una barrera tiene la misma probabilidad de reflejar la partícula que un pozo. Esta es una diferencia significativa con respecto a la mecánica clásica , donde la probabilidad de reflexión sería 1 para la barrera (la partícula simplemente rebota) y 0 para el pozo (la partícula lo atraviesa sin perturbarse).

La probabilidad de transmisión es $T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.$

Observaciones y aplicación

El cálculo presentado anteriormente puede parecer, en un principio, poco realista y de escasa utilidad. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para diversos sistemas de la vida real.

Un ejemplo de esto se refiere a las interfaces entre dos materiales conductores . En el interior de los materiales, el movimiento de los electrones es prácticamente libre y puede describirse mediante el término cinético del hamiltoniano anterior, con una masa efectiva $m$ . A menudo, las superficies de estos materiales están cubiertas por capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada no conductora puede modelarse mediante un potencial de función delta local, como se describió anteriormente. Los electrones pueden entonces atravesar por efecto túnel un material y, por consiguiente, generar una corriente.

El funcionamiento de un microscopio de efecto túnel (STM) se basa en este efecto túnel. En este caso, la barrera se debe al aire entre la punta del STM y el objeto subyacente. La intensidad de la barrera está relacionada con la separación, siendo mayor cuanto mayor sea la distancia entre ambos. Para un modelo más general de esta situación, véase Barrera de potencial finita (QM) . La barrera de potencial de función delta es el caso límite del modelo considerado allí para barreras muy altas y estrechas.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio que nos rodea es tridimensional. Por lo tanto, de hecho, se debería resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas solo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son invariantes traslacionalmente a lo largo de las demás. La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí mediante un Ansatz para la función de onda del tipo $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ .

Alternativamente, es posible generalizar la función delta para que exista en la superficie de algún dominio D (véase Laplaciano del indicador ). ^{[ 2 ]}

El modelo de función delta es en realidad una versión unidimensional del átomo de hidrógeno según el método de escalamiento dimensional desarrollado por el grupo de Dudley R. Herschbach ^{[ 3 ]} El modelo de función delta se vuelve particularmente útil con el modelo de función delta de Dirac de doble pozo que representa una versión unidimensional del ion molécula de hidrógeno , como se muestra en la siguiente sección.

Potencial delta doble

Las funciones de onda simétricas y antisimétricas para el modelo de función delta de Dirac de doble pozo con distancia "internuclear" $R = 2$

La función delta de Dirac de doble pozo modela una molécula de hidrógeno diatómico mediante la ecuación de Schrödinger correspondiente: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$ donde reside el potencial ahora $V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],$ dónde $0<R<\infty$ es la distancia "internuclear" con picos de la función delta de Dirac (negativos) ubicados en $x = \pm R /2$ (mostrados en marrón en el diagrama). Teniendo en cuenta la relación de este modelo con su contraparte molecular tridimensional, usamos unidades atómicas y establecemos $\hbar =m=1$ . Aquí $0<\lambda <1$ es un parámetro formalmente ajustable. Del caso de un solo pozo, podemos inferir el " ansatz " para que la solución sea $\psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.$ La coincidencia de la función de onda en los picos de la función delta de Dirac produce el determinante. ${\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.$ De este modo, $d$ Se ha descubierto que se rige por la ecuación pseudocuadrática. $d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},$ que tiene dos soluciones $d=d_{\pm }$ . Para el caso de cargas iguales (caso homonuclear simétrico), $λ = 1$ , y la pseudocuadrática se reduce a $d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].$ El caso "+" corresponde a una función de onda simétrica respecto al punto medio (mostrada en rojo en el diagrama), donde $A = B$ , y se denomina gerade . Correspondientemente, el caso "−" es la función de onda antisimétrica respecto al punto medio, donde $A = - B$ , y se denomina ungerade (mostrada en verde en el diagrama). Representan una aproximación de los dos estados de energía discretos más bajos de la estructura tridimensional. ${\ce {H2^+}}$ y son útiles en su análisis. Las soluciones analíticas para los autovalores de energía para el caso de cargas simétricas se dan en ^{[ 4 ].} $d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,$ donde W es la función W de Lambert estándar . Nótese que la energía más baja corresponde a la solución simétrica. $d_{+}$ . En el caso de cargas desiguales , y por ende el problema molecular tridimensional, las soluciones vienen dadas por una generalización de la función W de Lambert (véase Función W de Lambert § Generalizaciones ).

Uno de los casos más interesantes es cuando qR ≤ 1, lo que resulta en $d_{-}=0$ Por lo tanto, se obtiene una solución de estado ligado no trivial con $E = 0.$ Para estos parámetros específicos, se presentan muchas propiedades interesantes, una de las cuales es el efecto inusual de que el coeficiente de transmisión sea unitario a energía cero. ^{[ 5 ]}

Véase también

Referencias

↑ "mecánica cuántica - Función de onda con un potencial delta" . Physics Stack Exchange . Consultado el 29 de marzo de 2021 .
↑ Lange, Rutger-Jan (2012), "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador", Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 1–49 , arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP...11..032L , doi : 10.1007/JHEP11(2012)032 , S2CID 56188533
↑ DR Herschbach , JS Avery y O. Goscinski (eds.), Escalamiento dimensional en física química , Springer, (1992).
↑ T. C. Scott, J. F. Babb, A. Dalgarno y John D. Morgan III, "El cálculo de las fuerzas de intercambio: resultados generales y modelos específicos" , J. Chem. Phys. , 99, págs. 2841–2854, (1993).
↑ van Dijk, W.; Kiers, KA (1992). "Retraso temporal en sistemas unidimensionales simples". American Journal of Physics . 60 (6). American Association of Physics Teachers (AAPT): 520– 527. Bibcode : 1992AmJPh..60..520V . doi : 10.1119/1.16866 . ISSN 0002-9505 .

Bibliografía

Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Prentice Hall. págs. 68–78 . ISBN 978-0-13-111892-8.
Para el caso tridimensional, busque el "potencial de capa delta"; consulte también K. Gottfried (1966), Mecánica cuántica Volumen I: Fundamentos , cap. III, sec. 15.

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con el potencial delta en Wikimedia Commons.

[1] "mecánica cuántica - Función de onda con un potencial delta" . Physics Stack Exchange . Consultado el 29 de marzo de 2021 .

[Lange_2012-2] Lange, Rutger-Jan (2012), "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador", Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 1–49 , arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP...11..032L , doi : 10.1007/JHEP11(2012)032 , S2CID 56188533

[3] DR Herschbach , JS Avery y O. Goscinski (eds.), Escalamiento dimensional en física química , Springer, (1992).

[4] T. C. Scott, J. F. Babb, A. Dalgarno y John D. Morgan III, "El cálculo de las fuerzas de intercambio: resultados generales y modelos específicos" , J. Chem. Phys. , 99, págs. 2841–2854, (1993).

[5] van Dijk, W.; Kiers, KA (1992). "Retraso temporal en sistemas unidimensionales simples". American Journal of Physics . 60 (6). American Association of Physics Teachers (AAPT): 520– 527. Bibcode : 1992AmJPh..60..520V . doi : 10.1119/1.16866 . ISSN 0002-9505 .

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