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Partícula en un anillo

En mecánica cuántica , el caso de una partícula en un anillo unidimensional es similar al de una partícula en una caja . La ecuación de Schrödinger para una partícula libre que ...

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En mecánica cuántica , el caso de una partícula en un anillo unidimensional es similar al de una partícula en una caja . La ecuación de Schrödinger para una partícula libre que está restringida a un anillo (técnicamente, cuyo espacio de configuración es el círculo ) es S 1 Estilo de visualización S1

− ℏ 2 2 metro ∇ 2 ψ = mi ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }

Función de onda

Función de onda animada de un estado “coherente” que consta de estados propios n=1 y n=2.

Usando coordenadas polares en el anillo unidimensional de radio R, la función de onda depende solo de la coordenada angular , y por lo tanto [1]

∇ 2 = 1 R 2 ∂ 2 ∂ θ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}

Exigir que la función de onda sea periódica con un período (a partir de la exigencia de que las funciones de onda sean funciones de un solo valor en el círculo ) y que estén normalizadas conduce a las condiciones   θ {\displaystyle \\theta} 2 π {\estilo de visualización 2\pi}

∫ 0 2 π | ψ ( θ ) | 2 d θ = 1   {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\izquierda|\psi (\theta )\derecha|^{2}\,d\theta =1\ } ,

y

  ψ ( θ ) =   ψ ( θ + 2 π ) {\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}

En estas condiciones, la solución de la ecuación de Schrödinger viene dada por

ψ ± ( θ ) = 1 2 π mi ± i R ℏ 2 metro mi θ {\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}

Valores propios de la energía

Los valores propios de energía se cuantifican debido a las condiciones de contorno periódicas y se requiere que satisfagan mi {\estilo de visualización E}

mi ± i R ℏ 2 metro mi θ = mi ± i R ℏ 2 metro mi ( θ + 2 π ) {\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}} , o
mi ± i 2 π R ℏ 2 metro mi = 1 = mi i 2 π norte {\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}

La función propia y las energías propias son

ψ ( θ ) = 1 2 π mi ± i norte θ {\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm en\theta }}
mi norte = norte 2 ℏ 2 2 metro R 2 {\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}} dónde norte = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , … {\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots}

Por lo tanto, existen dos estados cuánticos degenerados para cada valor de (que corresponde a ). Por lo tanto, existen 2 estados n +1 con energías hasta una energía indexada por el número n . norte > 0 {\estilo de visualización n>0}   mi ± i norte θ {\displaystyle \ e^{\pm en\theta}}

El caso de una partícula en un anillo unidimensional es un ejemplo ilustrativo para estudiar la cuantificación del momento angular de, por ejemplo, un electrón que orbita alrededor del núcleo . Las funciones de onda azimutales en ese caso son idénticas a las funciones propias de energía de la partícula en un anillo.

La afirmación de que cualquier función de onda de la partícula en un anillo puede escribirse como una superposición de funciones propias de energía es exactamente idéntica al teorema de Fourier sobre el desarrollo de cualquier función periódica en una serie de Fourier .

Este modelo simple se puede utilizar para encontrar niveles de energía aproximados de algunas moléculas de anillo, como el benceno.

Solicitud

En química orgánica , los compuestos aromáticos contienen anillos atómicos, como los anillos de benceno ( estructura de Kekulé ) que constan de cinco o seis átomos , generalmente de carbono . Lo mismo ocurre con la superficie de las " buckybolas " (buckminsterfullereno). Este anillo se comporta como una guía de ondas circular , con los electrones de valencia orbitando en ambas direcciones. Para llenar todos los niveles de energía hasta n se necesitan electrones, ya que los electrones tienen además dos posibles orientaciones de sus espines. Esto le da una estabilidad excepcional ("aromático"), y se conoce como la regla de Hückel . 2 × ( 2 norte + 1 ) = 4 norte + 2 {\displaystyle 2\veces (2n+1)=4n+2}

Además, en espectroscopia rotacional, este modelo puede utilizarse como una aproximación de los niveles de energía rotacional.

Véase también

Referencias

  1. ^ Cox, Heater. Problemas y soluciones para acompañar la química física: un enfoque molecular . University Science Books. pág. 141. ISBN 978-0935702439.
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