Pozo potencial semicircular

En mecánica cuántica , el caso de una partícula en un anillo unidimensional es similar al de una partícula en una caja . La partícula sigue la trayectoria de un semicírculo desde${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \pi }$donde no puede escapar, porque el potencial de${\displaystyle \pi }$a${\displaystyle 2\pi }$es infinito. En cambio, hay reflexión total, lo que significa que la partícula rebota de un lado a otro entre${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \pi }$La ecuación de Schrödinger para una partícula libre que está restringida a un semicírculo (técnicamente, cuyo espacio de configuración es el círculo)${\displaystyle S^{1}}$) es

Utilizando coordenadas cilíndricas en el semicírculo unidimensional, la función de onda depende únicamente de la coordenada angular , y por lo tanto

Sustituyendo el laplaciano en coordenadas cilíndricas, la función de onda se expresa, por lo tanto, como

El momento de inercia de un semicírculo, que se expresa mejor en coordenadas cilíndricas, es${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _ {V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$Al resolver la integral, se encuentra que el momento de inercia de un semicírculo es${\displaystyle I=ms^{2}}$, exactamente lo mismo para un aro del mismo radio. La función de onda ahora se puede expresar como${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$, lo cual es fácilmente solucionable.

Dado que la partícula no puede escapar de la región de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \pi }$La solución general a esta ecuación diferencial es

Definición${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$, podemos calcular la energía como${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$. Luego aplicamos las condiciones de contorno, donde${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle {\frac {d\psi }{d\phi }}}$son continuas y la función de onda es normalizable:

Al igual que en el pozo cuadrado infinito, la primera condición de contorno exige que la función de onda sea igual a 0 en ambos puntos.${\displaystyle \phi =0}$y${\displaystyle \phi =\pi }$. Básicamente

Dado que la función de onda${\displaystyle \psi (0)=0}$, el coeficiente A debe ser igual a 0 porque${\displaystyle \cos(0)=1}$La función de onda también es igual a 0 en${\displaystyle \phi =\pi }$Por lo tanto, debemos aplicar esta condición de contorno. Descartando la solución trivial donde B = 0, la función de onda${\displaystyle \psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )}$solo cuando m es un número entero ya que${\displaystyle \sin(n\pi )=0}$. Esta condición de contorno cuantiza la energía donde la energía es igual a${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$donde m es cualquier número entero. La condición m = 0 queda descartada porque${\displaystyle \psi =0}$en todas partes, lo que significa que la partícula no está en el potencial en absoluto. Los números enteros negativos también quedan descartados, ya que pueden absorberse fácilmente en la condición de normalización.

Luego normalizamos la función de onda, obteniendo un resultado donde${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. La función de onda normalizada es

La energía del estado fundamental del sistema es${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}$. Al igual que la partícula en una caja, existen nodos en los estados excitados del sistema donde ambos${\displaystyle \psi (\phi )}$y${\displaystyle \psi (\phi )^{2}}$son ambos 0, lo que significa que la probabilidad de encontrar la partícula en estos nodos es 0.

Dado que la función de onda solo depende del ángulo azimutal${\displaystyle \phi }$Las cantidades medibles del sistema son la posición angular y el momento angular, expresadas con los operadores${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle L_{z}}$respectivamente.

Utilizando coordenadas cilíndricas, los operadores${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle L_{z}}$se expresan como${\displaystyle \phi }$y${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$respectivamente, donde estas observables desempeñan un papel similar al de la posición y el momento para la partícula en una caja. Las relaciones de conmutación e incertidumbre para la posición angular y el momento angular se dan de la siguiente manera:

Como ocurre con todos los problemas de mecánica cuántica, si se modifican las condiciones de contorno, también lo hace la función de onda. Si una partícula está confinada al movimiento de un anillo completo que va desde 0 hasta${\displaystyle 2\pi }$, la partícula está sujeta únicamente a una condición de contorno periódica (véase partícula en un anillo ). Si una partícula está confinada al movimiento de${\estilo de texto -{\frac {\pi }{2}}}$a${\estilo de texto {\frac {\pi }{2}}}$, la cuestión de la paridad par e impar cobra importancia.

La ecuación de onda para dicho potencial viene dada por:

dónde${\displaystyle \psi _{\rm {o}}(\phi )}$y${\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi )}$son para m impar y par respectivamente.

De manera similar, si el pozo de potencial semicircular es un pozo finito, la solución se asemejará a la del pozo de potencial finito donde los operadores angulares${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle L_{z}}$Reemplazar los operadores lineales x y p .

• Partícula en un anillo
• Partícula en una caja
• pozo de potencial finito
• Potencial de función delta
• Gas en una caja
• Partícula en un potencial de simetría esférica