Partícula en un potencial de simetría esférica

En mecánica cuántica , una partícula en un potencial de simetría esférica es un sistema donde la energía potencial de una partícula depende únicamente de su distancia a un punto central, no de su dirección. Este modelo es fundamental para la física porque puede utilizarse para describir una amplia gama de fenómenos del mundo real, desde el comportamiento de un solo electrón en un átomo de hidrógeno hasta la estructura aproximada de los núcleos atómicos . ^{[ 1 ]}

El comportamiento de la partícula se describe mediante la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo . Debido a la simetría esférica, el problema se puede simplificar enormemente utilizando coordenadas esféricas ( $r$ , $\theta$ y $\phi$ ) y una técnica matemática llamada separación de variables . Esto permite dividir la solución (la función de onda ) en una parte radial, que depende únicamente de la distancia. $r$ y una parte angular. Las soluciones angulares son universales para todos los potenciales con simetría esférica y se conocen como armónicos esféricos . La parte radial de la solución es específica de la forma del potencial. $V(r)$ y determina los niveles de energía permitidos del sistema.

En el caso general independiente del tiempo, la dinámica de una partícula en un potencial con simetría esférica se rige por un hamiltoniano de la siguiente forma: ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({r})$ Aquí, $m_{0}$ es la masa de la partícula, ${\hat {p}}$ es el operador de momento y el potencial $V(r)$ depende únicamente de la distancia radial $r$ desde el origen. Esta configuración matemática conduce a una ecuación diferencial ordinaria para la parte radial de la función de onda, que puede resolverse para potenciales importantes como el potencial de Coulomb (para átomos) y el pozo cuadrado esférico (para núcleos).

Estructura de las funciones propias

Si se resuelve mediante separación de variables , los autoestados del sistema tendrán la forma: $\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ en el que los ángulos esféricos $\theta$ y $\phi$ representan el ángulo polar y el ángulo azimutal , respectivamente. Esos dos factores de $\psi$ A menudo se agrupan como armónicos esféricos , de modo que las funciones propias toman la forma: $\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$ La ecuación diferencial que caracteriza la función $R(r)$ se denomina ecuación radial .

Derivación de la ecuación radial

El operador de energía cinética en coordenadas polares esféricas es: ${\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].$ dónde ${\sombrero {L}}^{2}$ es el operador de momento angular (específicamente, su magnitud al cuadrado). Se define (adimensionalmente) en coordenadas esféricas como ${\hat {L}}^{2}\equiv -\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right).$ Los armónicos esféricos satisfacen ${\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$ Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger obtenemos una ecuación de valores propios unidimensional, ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(r)\right]R=0.$ Esta ecuación se puede reducir a una ecuación de Schrödinger unidimensional equivalente mediante la sustitución $R(r)=u(r)/r$ , dónde $u(r)$ Satisface ${d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0$ que es precisamente la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial efectivo dado por $V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}},$ dónde $r\in [0,\infty )$ . La corrección al potencial V ( r ) se denomina término de barrera centrífuga .

Si ${\textstyle \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0}$ , luego cerca del origen, $R\sim r^{\ell }$ .

Hamiltonianos con simetría esférica

Dado que el hamiltoniano es esféricamente simétrico, se dice que es invariante bajo rotación, es decir: ${U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)={\hat {H}}$ Dado que los operadores de momento angular son generadores de rotación, al aplicar el lema de Baker-Campbell-Hausdorff obtenemos: ${\begin{aligned}{U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)&=e^{{i{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} \theta }/{\hbar }}{\hat {H}}e^{{-i{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} \theta }/{\hbar }}\\&={\hat {H}}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,{\hat {H}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}\right)^{2}\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,{\hat {H}}\right]\right]+\cdots \\&={\hat {H}}\end{aligned}}$

Dado que esta ecuación se cumple para todos los valores de $\theta$ , lo entendemos $[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,{\hat {H}}]=0$ o que cada componente del momento angular conmuta con el hamiltoniano.

Desde $L_{z}$ y $L^{2}$ son operadores que conmutan mutuamente y que también conmutan con el hamiltoniano, las funciones de onda se pueden expresar como ${\displaystyle |\alpha$ o ${\displaystyle \psi _{\alpha$ donde $\alpha$ Se utiliza para etiquetar diferentes funciones de onda.

Desde ${\textstyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$ también conmuta con el hamiltoniano, los autovalores de energía en tales casos son siempre independientes de $m$ . ${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha$ Combinado con el hecho de que ${\textstyle L_{\pm }}$ Los operadores diferenciales solo actúan sobre las funciones de $\theta$ y $\phi$ , muestra que si se supone que las soluciones son separables como ${\textstyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$ , la función de onda radial $R(r)$ Siempre se puede elegir independientemente de $m$ valores. Por lo tanto, la función de onda se expresa como: ^{[ 2 ]} ${\displaystyle \psi _{\alpha$

Soluciones para potenciales de interés

Hay cinco casos de especial importancia:

$V(r)=0$ o resolver el vacío en la base de armónicos esféricos, que sirve de base para otros casos.
$V(r)=V_{0}$ (finito) para $r<r_{0}$ y cero en ningún otro lugar.
$V(r)=0$ para $r<r_{0}$ y en cualquier otro lugar infinito, el equivalente esférico del pozo cuadrado , útil para describir estados ligados en un núcleo o punto cuántico .
$V(r)\propto r^{2}$ para el oscilador armónico isotrópico tridimensional.
$V(r)\propto {\frac {1}{r}}$ para describir estados ligados de átomos similares al hidrógeno .

Las soluciones se describen en estos casos, que deben compararse con sus contrapartes en coordenadas cartesianas , cf. partícula en una caja .

Estados de la caja de vacío

Consideremos ahora $V(r)=0$ Introducción de las variables adimensionales $\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},$ La ecuación se convierte en una ecuación de Bessel para $J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$ : $\rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0$ donde las soluciones regulares para energías positivas vienen dadas por las llamadas funciones de Bessel de primera clase. $J_{\ell +1/2}(\rho )$ para que las soluciones escritas para $R(r)$ son las llamadas funciones de Bessel esféricas

$R(r)=j_{\ell }(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr).$

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares en el vacío se etiquetan así mediante tres números cuánticos : índices discretos ℓ y m , y k que varía continuamente en $[0,\infty )$ : $\psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ Estas soluciones representan estados de momento angular definido, en lugar de momento (lineal) definido, que son los que proporcionan las ondas planas. $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$ .

Esfera con potencial "cuadrado" finito

Considere el potencial $V(r)=V_{0}$ para $r<r_{0}$ y $V(r)=0$ en otro lugar, es decir, dentro de una esfera de radio $r_{0}$ el potencial es igual a $V_{0}$ y es cero fuera de la esfera. Un potencial con tal discontinuidad finita se llama potencial cuadrado. ^{[ 3 ]}

Primero consideramos los estados ligados, es decir, estados que muestran la partícula mayormente dentro de la caja (estados confinados). Estos tienen una energía $E$ menor que el potencial fuera de la esfera, es decir, tienen energía negativa. También cabe destacar que, a diferencia del potencial de Coulomb, que presenta un número infinito de estados ligados discretos, el pozo cuadrado esférico solo tiene un número finito (si lo tiene) debido a su alcance finito.

La resolución sigue esencialmente la del caso de vacío anterior, con la normalización de la función de onda total añadida, resolviendo dos ecuaciones de Schrödinger —dentro y fuera de la esfera— del tipo anterior , es decir, con potencial constante. Para una función de onda física normalizable, deben cumplirse las siguientes restricciones:

La función de onda debe ser regular en el origen.
La función de onda y su derivada deben ser continuas en la discontinuidad del potencial.
La función de onda debe converger en el infinito.

La primera restricción proviene del hecho de que las funciones de Neumann y Hankel son singulares en el origen. El requisito físico de que $\psi$ En el caso del vacío , debe definirse en todas partes la función de Bessel de primer tipo seleccionada sobre las demás posibilidades. Por la misma razón, la solución será de este tipo dentro de la esfera: $R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.$ Tenga en cuenta que para los estados ligados, $V_{0}<E<0$ Los estados ligados aportan la novedad en comparación con el caso del vacío ahora que $E<0$ Esto, junto con la tercera restricción, selecciona la función de Hankel de primera especie como la única solución convergente en el infinito (la singularidad en el origen de estas funciones no importa ya que ahora estamos fuera de la esfera): $R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}$ La segunda restricción sobre la continuidad de $\psi$ en $r=r_{0}$ junto con la normalización permite la determinación de constantes $A$ y $B$ La continuidad de la derivada (o derivada logarítmica para mayor comodidad) requiere la cuantización de la energía.

Esfera con potencial "cuadrado" infinito

En caso de que el pozo de potencial sea infinitamente profundo, de modo que podamos tomar $V_{0}=0$ dentro de la esfera y $\infty$ En el exterior, el problema se convierte en el de hacer coincidir la función de onda dentro de la esfera (las funciones de Bessel esféricas ) con una función de onda idénticamente nula fuera de la esfera. Las energías permitidas son aquellas para las que la función de onda radial se anula en el límite. Por lo tanto, utilizamos los ceros de las funciones de Bessel esféricas para encontrar el espectro de energía y las funciones de onda. $u_{\ell ,k}$ el k ^-ésimo cero de $j_{\ell }$ , tenemos: $E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}$ de modo que el problema se reduce al cálculo de estos ceros. $u_{\ell ,k}$ , normalmente mediante el uso de una tabla o una calculadora, ya que estos ceros no tienen solución en el caso general.

En el caso especial $\ell =0$ (orbitales con simetría esférica), la función de Bessel esférica es ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ , cuyos ceros se pueden dar fácilmente como $u_{0,k}=k\pi$ Sus autovalores de energía son, por lo tanto: $E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}$

oscilador armónico isotrópico 3D

El potencial de un oscilador armónico isotrópico 3D es $V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.$ Un oscilador armónico isotrópico N- dimensional tiene las energías $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$ es decir, $n$ es un número entero no negativo; $\omega$ es la (misma) frecuencia fundamental de la $N$ modos del oscilador. En este caso $N=3$ , de modo que la ecuación de Schrödinger radial se convierte en: $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.$

Presentando $\gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}$ y recordando que $u(r)=rR(r)$ , demostraremos que la ecuación de Schrödinger radial tiene la solución normalizada, $R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),$ donde la función $L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$ es un polinomio de Laguerre generalizado en $\gamma r^{2}$ del orden $k$ .

La constante de normalización $N_{n\ell }$ es, $N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.$

La autofunción $R_{n\ell }(r)$ está asociado con la energía $E_{n}$ , dónde $\ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}$ Este es el mismo resultado que el oscilador armónico cuántico , con $\gamma =2\nu$ .

Derivación

Primero transformamos la ecuación radial mediante algunas sustituciones sucesivas a la ecuación diferencial de Laguerre generalizada, que tiene soluciones conocidas: las funciones de Laguerre generalizadas. Luego normalizamos las funciones de Laguerre generalizadas a la unidad. Esta normalización se realiza con el elemento de volumen usual $r 2 d r$ .

Primero escalamos la coordenada radial. $y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},$ y entonces la ecuación se convierte en $\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0$ con ${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$ .

La consideración del comportamiento límite de $v (y)$ en el origen y en el infinito sugiere la siguiente sustitución para $v (y)$ , $v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).$ Esta sustitución transforma la ecuación diferencial en $\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+2\left({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f(y)=0,$ donde nos dividimos con $y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}$ , lo cual se puede hacer siempre y cuando y no sea cero.

Transformación a polinomios de Laguerre

Si la sustitución $x=y^{2}$ se utiliza, $y={\sqrt {x}}$ y los operadores diferenciales se convierten en ${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},$ y ${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.$

La expresión entre corchetes multiplicando $f(y)$ se convierte en la ecuación diferencial que caracteriza la ecuación de Laguerre generalizada (véase también la ecuación de Kummer ): $x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}}+{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0$ con $g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$ .

Proporcionó $k\equiv (n-\ell )/2$ es un número entero no negativo, las soluciones de estas ecuaciones son polinomios de Laguerre generalizados (asociados) $g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).$

Desde las condiciones en $k$ sigue: (i) $n\geq \ell$ y (ii) $n$ y $\ell$ son ambos impares o ambos pares. Esto lleva a la condición en $\ell$ dado arriba.

Recuperación de la función de onda radial normalizada

Recordando que $u(r)=rR(r)$ , obtenemos la solución radial normalizada: $R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}).$

La condición de normalización para la función de onda radial es: $\int _{0}^{\infty }r^{2}|R_{n\ell }(r)|^{2}\,dr=1.$

Sustituyendo $q=\gamma r^{2}$ , da $dq=2\gamma r\,dr$ y la ecuación queda así: ${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.$

Haciendo uso de las propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Laguerre generalizados , esta ecuación se simplifica a: ${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!}}=1.$

Por lo tanto, la constante de normalización se puede expresar como: $N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\,\left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}}$

Se pueden derivar otras formas de la constante de normalización utilizando propiedades de la función gamma , teniendo en cuenta que $n$ y $l$ ambos tienen la misma paridad. Esto significa que $n+\ell$ siempre es par, de modo que la función gamma se convierte en: ${\begin{aligned}\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]}&={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}\\[1ex]&={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},\end{aligned}}$ donde utilizamos la definición del doble factorial . Por lo tanto, la constante de normalización también viene dada por: ${\begin{aligned}N_{n\ell }&=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)!}}\right]^{1 \over 2}\\[1.5ex]&={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2\gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.\end{aligned}}$

Átomos similares al hidrógeno

Un átomo hidrogenoide (similar al hidrógeno) es un sistema de dos partículas que consta de un núcleo y un electrón. Las dos partículas interactúan a través del potencial dado por la ley de Coulomb : $V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$ dónde

ε ₀ es la permitividad del vacío,
Z es el número atómico ( eZ es la carga del núcleo),
e es la carga elemental (carga del electrón),
r es la distancia entre el electrón y el núcleo.

Para simplificar la ecuación de Schrödinger, introducimos las siguientes constantes que definen la unidad atómica de energía y longitud:

$E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.$

dónde $\mu \approx m_{e}$ es la masa reducida en el $m_{e}\ll m_{\text{nucleus}}$ límite. Sustituto $y=Zr/a_{0}$ y $W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})$ en la ecuación de Schrödinger radial dada anteriormente. Esto da como resultado una ecuación en la que todas las constantes naturales están ocultas, $\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.$ Existen dos clases de soluciones para esta ecuación:

$W$ es negativo, las funciones propias correspondientes son integrables al cuadrado y los valores de $W$ están cuantizados (espectro discreto).
$W$ es no negativo, todo valor real no negativo de $W$ Si está físicamente permitido (espectro continuo), las funciones propias correspondientes no son integrables al cuadrado. Considerar solo las soluciones de clase (i) restringe las soluciones a funciones de onda que son estados ligados , en contraste con las soluciones de clase (ii) que se conocen como estados de dispersión .

Para soluciones de clase (i) con W negativo la cantidad $\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$ es real y positivo. La escala de $y$ , es decir, sustitución de $x\equiv \alpha y$ da como resultado la ecuación de Schrödinger: $\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.$

Para $x\rightarrow \infty$ Las potencias inversas de x son despreciables y la solución normalizable (y por lo tanto, física) para valores grandes de x es insignificante. $x$ es $\exp[-x/2]$ . De manera similar, para $x\rightarrow 0$ La potencia del inverso del cuadrado domina y la solución física para pequeños $x$ es x ^{ℓ +1} . Por lo tanto, para obtener una solución de rango completo, sustituimos $u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).$

La ecuación para $f_{l}(x)$ se convierte, $\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.$

Proporcionó $n-\ell -1$ es un entero no negativo , esta ecuación tiene soluciones polinómicas escritas como $L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,$ que son polinomios de Laguerre generalizados de orden $k$ La energía se convierte en... $W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.$

El número cuántico principal $n$ Satisface $n\geq \ell +1$ . Desde $\alpha =2/n$ , la función de onda radial total es $R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),$ con normalización que absorbe términos adicionales de ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ $N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},$ vía ^{[ 4 ]}

$\int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.$

La energía correspondiente es $E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .$

Referencias

↑ Ruedenberg, Klaus; Schmidt, Michael W. (12 de marzo de 2009). "Comprensión física a través del razonamiento variacional: compartición de electrones y enlace covalente" . The Journal of Physical Chemistry A. 113 ( 10): 1954–1968 . doi : 10.1021/jp807973x . ISSN 1089-5639 . PMID 19228050 .
↑ Littlejohn, Robert G. "Física 221A: Movimiento de fuerza central" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 8 de diciembre de 2023. Recuperado el 18 de febrero de 2024 .
↑ A. Messiah, Mecánica cuántica , vol. I, pág. 78, North Holland Publishing Company, Ámsterdam (1967). Traducción del francés por GM Temmer
↑ H. Margenau y GM Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry , Van Nostrand, 2.ª edición (1956), p. 130. Nótese que la convención del polinomio de Laguerre en este libro difiere de la presente. Si indicamos el Laguerre en la definición de Margenau y Murphy con una barra encima, tenemos ${\bar {L}}_{n+k}^{(k)}=(-1)^{k}(n+k)!L_{n}^{(k)}$ .