álgebra de Colombeau

En matemáticas , un álgebra de Colombeau es un álgebra de cierto tipo que contiene el espacio de distribuciones de Schwartz . Si bien en la teoría clásica de distribuciones no es posible una multiplicación general de distribuciones, las álgebras de Colombeau proporcionan un marco riguroso para ello.

Durante mucho tiempo se creyó imposible tal multiplicación de distribuciones debido al resultado de imposibilidad de L. Schwartz, que básicamente establece que no puede existir un álgebra diferencial que contenga el espacio de distribuciones y preserve el producto de funciones continuas. Sin embargo, si solo se desea preservar el producto de funciones suaves, dicha construcción se vuelve posible, como demostró Colombeau por primera vez.

Como herramienta matemática, las álgebras de Colombeau combinan el tratamiento de singularidades, la diferenciación y las operaciones no lineales en un mismo marco, superando las limitaciones de la teoría de la distribución. Hasta la fecha, estas álgebras han encontrado numerosas aplicaciones en los campos de las ecuaciones diferenciales parciales, la geofísica, el análisis microlocal y la relatividad general .

Las álgebras de Colombeau reciben su nombre del matemático francés Jean François Colombeau .

Intentando integrar el espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$de distribuciones en${\displaystyle \mathbb {R} }$en un álgebra asociativa${\displaystyle (A(\mathbb {R} ),\circ ,+)}$Los siguientes requisitos parecen ser naturales:

1. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$está incrustado linealmente en${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$de tal manera que la función constante${\displaystyle 1}$se convierte en la unidad en${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$,
2. Existe un operador de derivada parcial${\displaystyle \partial }$en${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$que es lineal y satisface la regla de Leibniz,
3. la restricción de${\displaystyle \partial }$a${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$coincide con la derivada parcial usual,
4. la restricción de${\displaystyle \circ }$a${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$coincide con el producto puntual.

Sin embargo, el resultado de L. Schwartz ^{[ 1 ]} implica que estos requisitos no pueden cumplirse simultáneamente. Lo mismo es cierto incluso si, en 4., se reemplaza${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$por${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$, el espacio de${\displaystyle k}$veces funciones continuamente diferenciables. Si bien este resultado a menudo se ha interpretado como que una multiplicación general de distribuciones no es posible, de hecho solo afirma que no se puede combinar sin restricciones la diferenciación, la multiplicación de funciones continuas y la presencia de objetos singulares como la delta de Dirac.

Las álgebras de Colombeau se construyen para satisfacer las condiciones 1.–3. y una condición como la 4., pero con${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$reemplazado por${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )}$, es decir, conservan únicamente el producto de funciones suaves (infinitamente diferenciables).

El álgebra de Colombeau ^{[ 2 ]} se define como el álgebra cociente

${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Aquí el álgebra de funciones moderadas${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el álgebra de familias de regularizaciones suaves ( f _ε )

${\displaystyle {f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

de funciones suaves en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (donde R ₊  =  (0,∞) es el parámetro de " regularización " ε), de tal manera que para todos los subconjuntos compactos K de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y para todos los multiíndices α, existe un N > 0 tal que

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).}$

El ideal${\displaystyle C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$de funciones despreciables se define de la misma manera, pero con las derivadas parciales acotadas por O( ε ^+N ) para todo N > 0.

El/los espacio(s) de distribuciones de Schwartz se pueden incrustar en el álgebra simplificada mediante convolución (componente a componente) con cualquier elemento del álgebra que tenga como representante una δ -red , es decir, una familia de funciones suaves.${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$de tal manera que${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }\to \delta }$en D' cuando ε → 0.   

Esta incrustación no es canónica, ya que depende de la elección de la red δ. Sin embargo, existen versiones de las álgebras de Colombeau (denominadas álgebras completas ) que permiten incrustaciones canónicas de distribuciones. Una versión completa bien conocida se obtiene añadiendo los suavizadores como segundo conjunto de índices.

• Función generalizada

• Colombeau, JF, Nuevas funciones generalizadas y multiplicación de las distribuciones . North Holland, Ámsterdam, 1984.
• Colombeau, JF, Introducción elemental a las nuevas funciones generalizadas . North-Holland, Ámsterdam, 1985.
• Nedeljkov, M., Pilipović, S. , Scarpalezos, D., Teoría lineal de las funciones generalizadas de Colombeau , Addison Wesley, Longman, 1998.
• Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R.; Teoría geométrica de funciones generalizadas con aplicaciones a la relatividad general , Springer Series Mathematics and Its Applications, vol. 537, 2002; ISBN 978-1-4020-0145-1.