Notación de índices múltiples

La notación de índices múltiples es una notación matemática que simplifica las fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable , las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de distribuciones , al generalizar el concepto de índice entero a una tupla ordenada de índices.

Un multiíndice n -dimensional es un${\textstyle n}$- tupla

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

de enteros no negativos (es decir, un elemento de la${\textstyle n}$- conjunto dimensional de números naturales , denotado${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}^{n}}$).

Para índices múltiples${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$y${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, uno define:

Suma y diferencia por componentes

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Orden parcial

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Suma de componentes (valor absoluto)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Factorial

${\displaystyle \alpha$ !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}

Coeficiente binomial

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha$ !}{\beta  !(\alpha -\beta )!}}}

Coeficiente multinomial

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha$$ !}}} dónde${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$.

Fuerza

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Derivada parcial de orden superior

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$dónde${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$(véase también 4-gradiente ). A veces la notación${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$También se utiliza. ^{[ 1 ]}

La notación de índices múltiples permite extender muchas fórmulas del cálculo elemental al caso multivariable correspondiente. A continuación se muestran algunos ejemplos. En todos los siguientes,${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$(o${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$),${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$, y${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$(o${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$).

Teorema multinomial

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Teorema multibinomial

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$Nótese que, dado que x + y es un vector y α es un multiíndice, la expresión de la izquierda es una abreviatura de ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

Fórmula de Leibniz

Para un funcionamiento fluido${\textstyle f}$y${\textstyle g}$,$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

Serie Taylor

Para una función analítica${\textstyle f}$en${\textstyle n}$variables uno tiene$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ !}}h^{\alpha }}.} De hecho, para una función suficientemente suave, tenemos una expansión de Taylor similar.$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} donde el último término (el resto) depende de la versión exacta de la fórmula de Taylor. Por ejemplo, para la fórmula de Cauchy (con resto entero), se obtiene$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha$$ !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}

operador diferencial parcial lineal general

Un modelo lineal formal${\textstyle N}$operador diferencial parcial de orden -ésimo en${\textstyle n}$Las variables se escriben como$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Integración por partes

Para funciones suaves con soporte compacto en un dominio acotado${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$uno tiene$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$Esta fórmula se utiliza para la definición de distribuciones y derivadas débiles .

Si${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$son multiíndices y${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, entonces $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta$$ !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{si}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}

• notación de Einstein
• Notación de índice
• cálculo de Ricci

• Saint Raymond, Xavier (1991). Introducción elemental a la teoría de los operadores pseudodiferenciales . Cap. 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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