Teorema del binomio

Para valores positivos de a y b , el teorema del binomio con n = 2 establece que un cuadrado de lado a + b se puede dividir en un cuadrado de lado a , un cuadrado de lado b y dos rectángulos de lados a y b . Con n = 3 , el teorema establece que un cubo de lado a + b se puede dividir en un cubo de lado a , un cubo de lado b , tres cajas rectangulares de a × a × b y tres cajas rectangulares de a × b × b .

En cálculo , esta imagen también proporciona una demostración geométrica de la derivada.${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$^{[ 2 ]} si uno establece${\displaystyle a=x}$y${\displaystyle b=\Delta x,}$interpretando b como un cambio infinitesimal en a , entonces esta imagen muestra el cambio infinitesimal en el volumen de un hipercubo n -dimensional ,${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$donde el coeficiente del término lineal (en${\displaystyle \Delta x}$) es${\displaystyle nx^{n-1},}$el área de las n caras, cada una de dimensión n − 1 : $${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$ Sustituir esto en la definición de la derivada a través de un cociente de diferencias y tomar límites significa que los términos de orden superior,${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$y más alto, se vuelve insignificante y produce la fórmula${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$interpretado como "la tasa infinitesimal de cambio en el volumen de un n -cubo a medida que varía la longitud de su lado es el área de n de sus caras ( n - 1) -dimensionales". Si se integra esta imagen, lo que corresponde a aplicar el teorema fundamental del cálculo , se obtiene la fórmula de cuadratura de Cavalieri , la integral${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$– véase la demostración de la fórmula de cuadratura de Cavalieri para más detalles. ^{[ 2 ]}

El coeficiente de x ^{n − k} y ^k viene dado por la fórmula $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$ que se define en términos de la función factorial n !. De forma equivalente, esta fórmula se puede escribir $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$ con k factores tanto en el numerador como en el denominador de la fracción . Aunque esta fórmula involucra una fracción, el coeficiente binomial${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$en realidad es un número entero .

El coeficiente binomial${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$puede interpretarse como el número de maneras de elegir k elementos de un conjunto de n elementos (una combinación ). Esto está relacionado con los binomios por la siguiente razón: si escribimos ( x + y ) ⁿ como un producto$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$ Entonces, según la propiedad distributiva , habrá un término en la expansión por cada elección de x o y de cada uno de los binomios del producto. Por ejemplo, habrá solo un término x ⁿ , correspondiente a elegir x de cada binomio. Sin embargo, habrá varios términos de la forma x ^{n −2} y ² , uno por cada forma de elegir exactamente dos binomios para contribuir con y . Por lo tanto, después de combinar términos semejantes , el coeficiente de x ^{n −2} y ² será igual al número de formas de elegir exactamente 2 elementos de un conjunto de n elementos.

Al expandir ( x + y ) ⁿ se obtiene la suma de los 2 ⁿ productos de la forma e ₁ e ₂ ... e _n, donde cada e _i es x o y . Reordenando los factores se muestra que cada producto es igual a x ^{n − k} y ^k para algún k entre 0 y n . Para un k dado , se demuestra sucesivamente que las siguientes afirmaciones son iguales:  

• el número de términos igual a x ^{n − k} y ^k en la expansión
• el número de cadenas x , y de n caracteres que tienen y en exactamente k posiciones
• el número de subconjuntos de k elementos de {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ya sea por definición, o mediante un breve argumento combinatorio si se está definiendo${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$como${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Esto demuestra el teorema del binomio.

La inducción proporciona otra demostración del teorema del binomio. Cuando n = 0 , ambos lados son iguales a 1 , ya que x ⁰ = 1 y${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$Ahora supongamos que la igualdad se cumple para un n dado ; lo demostraremos para n + 1. Para j , k ≥ 0 , sea [ f ( x , y )] _{j , k} el coeficiente de x ^j y ^k en el polinomio f ( x , y ) . Por la hipótesis de inducción, ( x + y ) ⁿ es un polinomio en x e y tal que [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} es${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$si j + k = n , y 0 en caso contrario. La identidad $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$ muestra que ( x + y ) ^{n +1} también es un polinomio en x e y , y $${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$ ya que si j + k = n + 1 , entonces ( j − 1) + k = n y j + ( k − 1) = n . Ahora, el lado derecho es $${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$ por la identidad de Pascal . ^{[ 3 ]} Por otro lado, si j + k ≠ n + 1 , entonces ( j – 1) + k ≠ n y j + ( k – 1) ≠ n , por lo que obtenemos 0 + 0 = 0 . Por lo tanto $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$ que es la hipótesis inductiva con n + 1 sustituido por n y así completa el paso inductivo.

El teorema binomio estándar, como se mencionó anteriormente, se ocupa de${\displaystyle (x+y)^{n}}$donde el exponente${\displaystyle n}$es un entero no negativo. El teorema generalizado del binomio permite exponentes no enteros, negativos o incluso complejos , a costa de reemplazar la suma finita por una serie infinita .

Para ello, es necesario dar significado a los coeficientes binomiales con un índice superior arbitrario, lo cual no se puede hacer utilizando la fórmula habitual con factoriales. Sin embargo, para un número arbitrario r , se puede definir $${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}},}$$ donde la última ecuación introduce la notación moderna para el factorial descendente . Esto concuerda con las definiciones habituales cuando r es un entero no negativo. Entonces, si x e y son números reales con | x | > | y | , ^{[ Nota 2 ]} y r es cualquier número complejo, se tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando r es un entero no negativo, los coeficientes binomiales para k > r son cero, por lo que esta ecuación se reduce al teorema del binomio usual, y hay como máximo r + 1 términos distintos de cero. Para otros valores de r , la serie tiene infinitos términos distintos de cero.

Por ejemplo, r = 1/2 da como resultado la siguiente serie para la raíz cuadrada: $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

Con r = − 1 , la serie binomial generalizada se convierte en: $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$que es la fórmula de suma de la serie geométrica para el caso convergente | x | < 1 , cuya razón común es − x .

De forma más general, con r = − s , tenemos para | x | < 1 : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-s}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}x^{k}.}$$

Entonces, por ejemplo, cuando s = 1/2 , $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Sustituyendo x por -x se obtiene: $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}x^{k}.}$$

Así, por ejemplo, cuando s = 1/2 , tenemos para | x | < 1 : $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

El teorema del binomio generalizado puede extenderse al caso en que x e y son números complejos. Para esta versión, se debe asumir nuevamente | x | > | y | ^{[ Nota 2 ]} y definir las potencias de x + y y x usando una rama holomorfa de log definida en un disco abierto de radio | x | centrado en x . El teorema del binomio generalizado también es válido para elementos x e y de un álgebra de Banach siempre que xy = yx , y x sea invertible, y ‖ y / x ‖ < 1 .

Una versión del teorema del binomio es válida para la siguiente familia de polinomios tipo símbolo de Pochhammer : para una constante real dada c , definimos${\displaystyle x^{(0)}=1}$y $${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$ para${\displaystyle n>0.}$Entonces ^{[ 5 ]}$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$ El caso c = 0 recupera el teorema binomio usual.

De forma más general, una secuencia${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$Se dice que un polinomio es de tipo binomial si

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$a pesar de${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, y
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$a pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle n}$.

Un operador${\displaystyle Q}$Se dice que en el espacio de polinomios es el operador base de la secuencia${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$si${\displaystyle Qp_{0}=0}$y${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$a pesar de${\displaystyle n\geqslant 1}$Una secuencia${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$es binomial si y solo si su operador base es un operador delta . ^{[ 6 ]} Escribiendo${\displaystyle E^{a}}$para el cambio por${\displaystyle a}$operador, los operadores Delta correspondientes a las familias de polinomios "Pochhammer" anteriores son la diferencia hacia atrás${\displaystyle I-E^{-c}}$para${\displaystyle c>0}$, la derivada ordinaria para${\displaystyle c=0}$y la diferencia hacia adelante${\displaystyle E^{-c}-I}$para${\displaystyle c<0}$.

El teorema del binomio se puede generalizar para incluir potencias de sumas con más de dos términos. La versión general es

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

donde la suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos k ₁ a k _m tales que la suma de todos los k _i es n . (Para cada término en la expansión, los exponentes deben sumar n ). Los coeficientes  ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$se conocen como coeficientes multinomiales y se pueden calcular mediante la fórmula $${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

Combinatoriamente, el coeficiente multinomial${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$cuenta el número de formas diferentes de particionar un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños k ₁ , ..., k _m .

Cuando se trabaja en más dimensiones, a menudo es útil tratar con productos de expresiones binomiales. Por el teorema del binomio, esto es igual a $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

Esto puede escribirse de forma más concisa, mediante notación de índice múltiple , como $${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

La regla general de Leibniz da la n -ésima derivada de un producto de dos funciones en una forma similar a la del teorema del binomio: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

Aquí, el superíndice ( n ) indica la n -ésima derivada de una función,${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$Si se establece f ( x ) = e ^ax y g ( x ) = e ^bx , al cancelar el factor común e ^{( a + b ) x} de cada término se obtiene el teorema del binomio ordinario. ^{[ 8 ]}

Para los números complejos, el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de De Moivre para obtener fórmulas de ángulos múltiples para el seno y el coseno . Según la fórmula de De Moivre, $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

Utilizando el teorema del binomio, la expresión de la derecha se puede expandir y luego tomar las partes real e imaginaria para obtener fórmulas para cos( nx ) y sin( nx ) . Por ejemplo, dado que $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$ Pero la fórmula de De Moivre identifica el lado izquierdo con${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$, entonces $${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$ que son las identidades de ángulo doble habituales. De manera similar, dado que $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$ La fórmula de De Moivre produce $${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$ En general, $${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$ y $${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$También existen fórmulas similares que utilizan polinomios de Chebyshev .

El número e se define a menudo mediante la fórmula $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

Aplicando el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita usual para e . En particular: $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

El k -ésimo término de esta suma es $${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

Cuando n → ∞ , la expresión racional de la derecha se aproxima a 1 y, por lo tanto, $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

Esto indica que e puede escribirse como una serie: $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

En efecto, puesto que cada término de la expansión binomial es una función creciente de n , se deduce del teorema de convergencia monótona para series que la suma de esta serie infinita es igual a e . 

El teorema del binomio está estrechamente relacionado con la función de probabilidad de la distribución binomial negativa . La probabilidad de una colección (contable) de ensayos de Bernoulli independientes${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$con probabilidad de éxito${\displaystyle p\in [0,1]}$Todo lo que no está sucediendo es $${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{\binom {|S|}{n}}(-p)^{n}.}$$ Un límite superior para esta cantidad es${\displaystyle e^{-p|S|}.}$^{[ 32 ]}