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Términos semejantes

En matemáticas , los términos semejantes son sumandos en una suma que difieren solo por un factor numérico. [ 1 ] Los términos semejantes se pueden reagrupar sumando sus coefici...

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En matemáticas , los términos semejantes son sumandos en una suma que difieren solo por un factor numérico. [ 1 ] Los términos semejantes se pueden reagrupar sumando sus coeficientes. Típicamente, en una expresión polinómica , los términos semejantes son aquellos que contienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias , posiblemente con coeficientes diferentes .

En términos más generales, cuando algunas variables se consideran parámetros, los términos semejantes se definen de manera similar, pero los "factores numéricos" deben reemplazarse por "factores que dependen únicamente de los parámetros".

Por ejemplo, al considerar una ecuación cuadrática , a menudo se considera la expresión

(incógnita−r)(incógnita−s),{\displaystyle (xr)(xs),}

dónder{\displaystyle r}ys{\displaystyle s}son las raíces de la ecuación y pueden considerarse parámetros. Luego, al expandir el producto anterior y reagrupar los términos semejantes se obtiene

incógnita2−(r+s)incógnita+rs.{\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs.}

Generalización

En esta discusión, un "término" se referirá a una serie de números que se multiplican o dividen (división es simplemente multiplicación por el recíproco). Los términos se encuentran dentro de la misma expresión y se combinan mediante suma o resta. Por ejemplo, consideremos la expresión:

aincógnita+bincógnita{\displaystyle ax+bx}

Esta expresión tiene dos términos. Observe que ambos términos tienen un factor común, es decir, ambos términos tienen un factor común.incógnita{\displaystyle x}Esto significa que la variable del factor común se puede factorizar, lo que resulta en

(a+b)incógnita{\displaystyle (a+b)x}

Si la expresión entre paréntesis se puede calcular, es decir, si las variables en la expresión entre paréntesis son números conocidos, entonces es más sencillo escribir el cálculo.a+b{\displaystyle a+b}y yuxtapón ese nuevo número con el número desconocido restante. Los términos combinados en una expresión con un factor desconocido común (o varios factores desconocidos) se denominan términos semejantes.

Ejemplos

Ejemplo

Para dar un ejemplo de lo anterior, dejemosa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}tienen valores numéricos, de modo que su suma pueda calcularse. Para facilitar el cálculo, dejemosa=5{\displaystyle a=5}yb=3{\displaystyle b=3}La expresión original se convierte en:

5incógnita+3incógnita{\displaystyle 5x+3x}

que pueden tenerse en cuenta

(5+3)incógnita{\displaystyle (5+3)x}

o, igualmente,

8incógnita{\displaystyle 8x}.

Esto demuestra que

5incógnita+3incógnita=8incógnita{\displaystyle 5x+3x=8x}

Los valores conocidos asignados a la parte diferente de dos o más términos se denominan coeficientes. Como muestra este ejemplo, cuando existen términos semejantes en una expresión, se pueden combinar sumando o restando (según lo indique la expresión) los coeficientes y manteniendo el factor común de ambos términos. Esta combinación se denomina agrupación de términos semejantes y es una herramienta importante para resolver ecuaciones.

Simplificar una expresión

Tomemos la expresión que se va a simplificar:

3(4incógnita2y−6y)+7incógnita2y−3y2+2(8y−4y2−4incógnita2y){\displaystyle 3(4x^{2}y-6y)+7x^{2}y-3y^{2}+2(8y-4y^{2}-4x^{2}y)}

El primer paso para agrupar términos semejantes en esta expresión es eliminar los paréntesis. Para ello, se distribuye (multiplica) cada número que precede a un conjunto de paréntesis entre cada término de dicho conjunto:

12incógnita2y−18y+7incógnita2y−3y2+16y−8y2−8incógnita2y{\displaystyle 12x^{2}y-18y+7x^{2}y-3y^{2}+16y-8y^{2}-8x^{2}y}

Los términos semejantes en esta expresión son los términos que se pueden agrupar por tener exactamente el mismo conjunto de factores desconocidos. Aquí, los conjuntos de factores desconocidos sonincógnita2y,{\displaystyle x^{2}y,}y2,{\displaystyle y^{2},}yy.{\displaystyle y.}Según la regla del primer ejemplo, todos los términos con el mismo conjunto de factores desconocidos, es decir, todos los términos semejantes, pueden combinarse sumando o restando sus coeficientes, manteniendo los factores desconocidos. Por lo tanto, la expresión se convierte en:

11incógnita2y−2y−11y2{\displaystyle 11x^{2}y-2y-11y^{2}}

La expresión se considera simplificada cuando se han combinado todos los términos semejantes y todos los términos presentes son distintos. En este caso, todos los términos ahora tienen factores desconocidos diferentes y, por lo tanto, son distintos, con lo que la expresión queda completamente simplificada.

Notas a pie de página

  1. ↑ "Términos semejantes en profundidad" . Matemáticas en línea . Consultado el 7 de septiembre de 2008 .