Anillo de conjuntos

En matemáticas , existen dos nociones diferentes de anillo de conjuntos , ambas referidas a ciertas familias de conjuntos .

En teoría del orden , una familia no vacía de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {R}}}$Se llama anillo (de conjuntos) si es cerrado bajo la unión y la intersección . ^{[ 1 ]} Es decir, las dos siguientes afirmaciones son verdaderas para todos los conjuntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$y
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}.}$

En teoría de la medida , una familia no vacía de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {R}}}$Se denomina anillo (de conjuntos) si es cerrado bajo la unión y el complemento relativo (diferencia de teoría de conjuntos). ^{[ 2 ]} Es decir, las dos siguientes afirmaciones son verdaderas para todos los conjuntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$y
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$implica${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}.}$

Esto implica que un anillo en el sentido de la teoría de la medida siempre contiene el conjunto vacío . Además, para todos los conjuntos A y B ,

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B),}$

lo cual demuestra que una familia de conjuntos cerrados bajo el complemento relativo también es cerrada bajo la intersección, de modo que un anillo en el sentido de la teoría de la medida es también un anillo en el sentido de la teoría del orden.

Si X es cualquier conjunto, entonces el conjunto potencia de X (la familia de todos los subconjuntos de X ) forma un anillo de conjuntos en cualquier sentido.

Si ( X , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado , entonces sus conjuntos superiores (los subconjuntos de X con la propiedad adicional de que si x pertenece a un conjunto superior U y x ≤ y , entonces y también debe pertenecer a U ) son cerrados bajo intersecciones y uniones. Sin embargo, en general, no será cerrado bajo diferencias de conjuntos.

Los conjuntos abiertos y cerrados de cualquier espacio topológico son cerrados bajo uniones e intersecciones. ^{[ 1 ]}

En la recta real R , la familia de conjuntos que consiste en el conjunto vacío y todas las uniones finitas de intervalos semiabiertos de la forma ( a , b ] , con a , b ∈ R es un anillo en el sentido de la teoría de la medida.

Si T es cualquier transformación definida en un espacio, entonces los conjuntos que se transforman en sí mismos mediante T son cerrados bajo uniones e intersecciones. ^{[ 1 ]}

Si dos anillos de conjuntos están definidos sobre los mismos elementos, entonces los conjuntos que pertenecen a ambos anillos forman un anillo de conjuntos. ^{[ 1 ]}

Un anillo de conjuntos en el sentido de la teoría del orden forma un retículo distributivo en el que las operaciones de intersección y unión corresponden a las operaciones de encuentro y unión del retículo , respectivamente. Recíprocamente, todo retículo distributivo es isomorfo a un anillo de conjuntos; en el caso de retículos distributivos finitos , este es el teorema de representación de Birkhoff y los conjuntos pueden tomarse como los subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado. ^{[ 1 ]}

Una familia de conjuntos cerrada bajo la unión y el complemento relativo también es cerrada bajo la diferencia simétrica y la intersección. Recíprocamente, toda familia de conjuntos cerrada bajo la diferencia simétrica y la intersección también es cerrada bajo la unión y el complemento relativo. Esto se debe a las identidades

1. ${\displaystyle A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)}$y
2. ${\displaystyle A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).}$

La diferencia simétrica y la intersección, en conjunto, dan a un anillo, en el sentido de la teoría de la medida, la estructura de un anillo booleano .

En el sentido de la teoría de la medida, un σ-anillo es un anillo cerrado bajo uniones numerables , y un δ-anillo es un anillo cerrado bajo intersecciones numerables. Explícitamente, un σ-anillo sobre${\displaystyle X}$es un conjunto${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que para cualquier secuencia${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$tenemos${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

Dado un conjunto${\displaystyle X,}$un cuerpo de conjuntos − también llamado álgebra sobre${\displaystyle X}$− es un anillo que contiene${\displaystyle X.}$Esta definición implica que un álgebra es cerrada bajo el complemento absoluto.${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$Un σ-álgebra es un álgebra que también es cerrada bajo uniones numerables, o equivalentemente un σ-anillo que contiene${\displaystyle X.}$De hecho, según las leyes de De Morgan , un anillo δ que contiene${\displaystyle X}$es necesariamente también una σ-álgebra. Los cuerpos de conjuntos, y especialmente las σ-álgebras, son fundamentales para la teoría moderna de la probabilidad y la definición de medidas .

AUn semianillo (de conjuntos)es una familia de conjuntos.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$con las propiedades

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}},}$
   • Si (3) se cumple, entonces${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$si y solo si${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$implica${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}},}$y
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$implica${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$para algún disjunto${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.}$

Todo anillo (en el sentido de la teoría de la medida) es un semianillo. Por otro lado,${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}}$en${\displaystyle X=\{x,y\}}$Es un semicírculo pero no un círculo, ya que no está cerrado bajo uniones.

Asemiálgebra ^{[ 3 ]} ofamilia elemental ^{[ 4 ]} es una colección${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$que satisface las propiedades del semianillo excepto que (3) se reemplaza por:

• Si${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$de tal manera que${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Esta condición es más fuerte que (3), lo cual se puede ver de la siguiente manera. Si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es una semiálgebra y${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$, entonces podemos escribir${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}}$para disjunto${\displaystyle F_{i}\in S}$. Entonces: $${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})}$$

y cada${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$puesto que es cerrado bajo intersección, y disjunto puesto que están contenidos en el disjunto${\displaystyle F_{i}}$'s. Además, la condición es estrictamente más fuerte: cualquier${\displaystyle S}$que es a la vez un anillo y una semiálgebra es un álgebra, por lo tanto cualquier anillo que no sea un álgebra tampoco es una semiálgebra (por ejemplo, la colección de conjuntos finitos en un conjunto infinito).${\displaystyle X}$).

• Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones que involucran conjuntos. 
• δ -anillo– Anillo cerrado bajo intersecciones numerables 
• Cuerpo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos. 
• Sistema 𝜆 (sistema de Dynkin) : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables. 
• Clase monótona : teoría de la medida y teorema de probabilidad. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redireccionamiento. 
• Sistema π – Familia de conjuntos cerrados bajo la intersección 
• σ-álgebra – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos 
• 𝜎-ideal – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables 
• 𝜎-ring – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables 

• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: Teoría y ejemplos (PDF) . Serie de Cambridge en Matemáticas Estadísticas y Probabilísticas. Vol.  49 (5.ª  ed.). Cambridge, Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2OCLC 1100115281. Consultado el 5 de noviembre de 2020 . 
• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª  ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-31716-0.

• Anillo de conjuntos en la Enciclopedia de Matemáticas