Sistema Dynkin

Un sistema Dynkin , ^[1] llamado así por Eugene Dynkin , es una colección de subconjuntos de otro conjunto universal que satisface un conjunto de axiomas más débiles que los del álgebra 𝜎 . Los sistemas Dynkin a veces se denominan sistemas 𝜆 (el propio Dynkin utilizó este término) o sistema d . ^[2] Estas familias de conjuntos tienen aplicaciones en la teoría de la medida y la probabilidad . ${\estilo de visualización \Omega}$

Una aplicación importante de los sistemas 𝜆 es el teorema π -𝜆, véase más abajo.

Sea un conjunto no vacío y sea una colección de subconjuntos de (es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de ). Entonces es un sistema Dynkin si ${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización D}$

1. ${\displaystyle \Omega \en D;}$
2. ${\estilo de visualización D}$está cerrado bajo complementos de subconjuntos en superconjuntos: si y entonces${\displaystyle A,B\en D}$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle B\setmenos A\en D;}$
3. ${\estilo de visualización D}$está cerrado bajo uniones crecientes contables : si es una secuencia creciente ^{[nota 1]} de conjuntos en entonces${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots }$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Es fácil comprobar ^{[prueba 1]} que cualquier sistema Dynkin satisface: ${\estilo de visualización D}$

4. ${\displaystyle \varnothing \en D;}$
5. ${\estilo de visualización D}$está cerrado bajo complementos en : si entonces${\estilo de visualización \Omega}$${\textstyle A\en D,}$${\displaystyle \Omega \setminus A\en D;}$
   • Tomando muestra que${\displaystyle A:=\Omega}$${\displaystyle \varnothing \en D.}$
6. ${\estilo de visualización D}$está cerrado bajo uniones contables de conjuntos disjuntos por pares : si es una secuencia de conjuntos disjuntos por pares en (lo que significa que para todos ) entonces${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$
   • Para ser claros, esta propiedad también es válida para secuencias finitas de conjuntos disjuntos por pares (suponiendo que para todo ).${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle A_{i}:=\varnothing}$${\displaystyle i>n}$

Por el contrario, es fácil comprobar que una familia de conjuntos que satisfacen las condiciones 4-6 es una clase Dynkin. ^{[prueba 2]} Por esta razón, un pequeño grupo de autores ha adoptado las condiciones 4-6 para definir un sistema Dynkin.

Un hecho importante es que cualquier sistema de Dynkin que sea también un sistema π (es decir, cerrado bajo intersecciones finitas) es un álgebra 𝜎 . Esto se puede verificar observando que las condiciones 2 y 3 junto con el cierre bajo intersecciones finitas implican cierre bajo uniones finitas, lo que a su vez implica cierre bajo uniones numerables.

Dada cualquier colección de subconjuntos de existe un sistema Dynkin único denotado que es mínimo con respecto a contener Es decir, si es cualquier sistema Dynkin que contiene entonces se llama sistema Dynkin generado por Por ejemplo, Para otro ejemplo, sea y ; entonces${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\estilo de visualización \Omega ,}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}},}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$${\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.}$${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.}$

Teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin : ^[3] Si es un sistema π y es un sistema Dynkin con entonces${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle P\subseteq D,}$${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}$

En otras palabras, el álgebra 𝜎 generada por está contenida en Por lo tanto, un sistema Dynkin contiene un sistema π si y solo si contiene el álgebra 𝜎 generada por ese sistema π . ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización D.}$

Una aplicación del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin es la unicidad de una medida que evalúa la longitud de un intervalo (conocida como medida de Lebesgue ):

Sea el intervalo unitario [0,1] con la medida de Lebesgue en los conjuntos de Borel . Sea otra medida en que satisface y sea la familia de conjuntos tales que Sea y observe que es cerrado bajo intersecciones finitas, que y que es el álgebra 𝜎 generada por Se puede demostrar que satisface las condiciones anteriores para un sistema de Dynkin. Del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin se deduce que de hecho incluye todos los , lo que es equivalente a demostrar que la medida de Lebesgue es única en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle m[(a,b)]=ba,}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle m[S]=\ell [S].}$${\displaystyle I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},}$${\estilo de visualización I}$${\displaystyle I\subseteq D,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle I.}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

El teorema π -𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recordemos que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad donde es el álgebra 𝜎 de Borel. Las variables aleatorias y (en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes ) son iguales en distribución (o ley ), denotada por si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa; es decir, si La motivación para la definición surge de la observación de que si entonces eso es exactamente decir que y están de acuerdo con el sistema π que genera y así por el ejemplo anterior:${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{X}(a)=\nombre del operador {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ para todos los }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Un resultado similar se aplica a la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos que y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad con sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Sin embargo, y Debido a que es un sistema π generado por el par aleatorio, se utiliza el teorema π -𝜆 para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de En otras palabras, y tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta. ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

En la teoría de procesos estocásticos , se sabe que dos procesos son iguales en distribución si y solo si concuerdan en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todas las${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

La prueba de esto es otra aplicación del teorema π -𝜆. ^[4]

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Clase monótona  – teoremaPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Pruebas

• Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Nueva York: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN . 0-387-22833-0.
• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Williams, David (2007). Probabilidad con martingalas. Cambridge University Press. pág. 193. ISBN 0-521-40605-6.

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