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Sistema Pi

En matemáticas , un sistema π (o sistema pi ) en un conjunto Ω {\displaystyle \Omega } es una colección PAG {\displaystyle P} de ciertos subconjuntos de Ω , {\displaystyle \Omeg...

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En matemáticas , un sistema π (o sistema pi ) en un conjuntoΩ{\displaystyle \Omega }es una colecciónPAG{\displaystyle P}de ciertos subconjuntos deΩ,{\displaystyle \Omega ,}de tal manera que

  • PAG{\displaystyle P}no está vacío .
  • SiA,B∈PAG{\displaystyle A,B\in P}entoncesA∩B∈PAG.{\displaystyle A\cap B\in P.}

Eso es,PAG{\displaystyle P}es una familia no vacía de subconjuntos deΩ{\displaystyle \Omega }que es cerrado bajo intersecciones finitas no vacías . [ nb 1 ] La importancia de los sistemas π surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad coinciden en un sistema π , entonces coinciden en el álgebra 𝜎 generada por ese sistema π . Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el sistema π , entonces también se cumplen para el álgebra 𝜎 generada . Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los cuales se cumple la propiedad sea un sistema 𝜆 . Los sistemas π también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias.

Esto es deseable porque, en la práctica, los sistemas π suelen ser más sencillos de manejar que las álgebras π . Por ejemplo, puede resultar complicado trabajar con álgebras π generadas por infinitos conjuntos.σ(mi1,mi2,…).{\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}Así pues, podemos examinar la unión de todas las 𝜎 -álgebras generadas por un número finito de conjuntos.⋃norteσ(mi1,…,minorte).{\textstyle \bigcup _ {n} \ sigma (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}Esto forma un sistema π que genera el álgebra σ deseada . Otro ejemplo es la colección de todos los intervalos de la recta real , junto con el conjunto vacío, que es un sistema π que genera el importantísimo álgebra σ de Borel de subconjuntos de la recta real.

Definiciones

Un sistema π es una colección no vacía de conjuntos.PAG{\displaystyle P}que es cerrado bajo intersecciones finitas no vacías, lo cual es equivalente aPAG{\displaystyle P}que contiene la intersección de cualesquiera dos de sus elementos. Si cada conjunto en este sistema π es un subconjunto deΩ{\displaystyle \Omega }entonces se le llama un sistema π enΩ.{\displaystyle \Omega .}

Para cualquier familia no vacíaΣ{\displaystyle \Sigma }de subconjuntos deΩ,{\displaystyle \Omega ,}Existe un sistema π.IΣ,{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma},}llamado el sistema π generado porΣ{\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}, que es el sistema π más pequeño y único deΩ{\displaystyle \Omega }que contiene cada elemento deΣ.{\displaystyle \Sigma .} Es igual a la intersección de todos los sistemas π que contienenΣ,{\displaystyle \Sigma ,}y puede describirse explícitamente como el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas no vacías de elementos deΣ:{\displaystyle \Sigma :} {mi1∩⋯∩minorte : 1≤norte∈norte y mi1,…,minorte∈Σ}.{\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ y }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}

Una familia de conjuntos no vacía tiene la propiedad de intersección finita si y solo si el sistema π que genera no contiene el conjunto vacío como un elemento.

Ejemplos

  • Para cualquier número reala{\displaystyle a}yb,{\displaystyle b,}los intervalos(−∞,a]{\displaystyle (-\infty ,a]}forman un sistema π , y los intervalos(a,b]{\displaystyle (a,b]}Forman un sistema π si también se incluye el conjunto vacío.
  • La topología (colección de subconjuntos abiertos ) de cualquier espacio topológico es un sistema π .
  • Cada filtro es un sistema π . Todo sistema π que no contiene el conjunto vacío es un prefiltro (también conocido como base de filtro).
  • Para cualquier función medibleF:Ω→R,{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}el conjunto IF={F−1((−∞,incógnita]):incógnita∈R}{\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}define un sistema π y se denomina sistema π generado porF.{\displaystyle f.}(Alternativamente,{F−1((a,b]):a,b∈R,a<b}∪{∅}{\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}define un sistema π generado porF.{\displaystyle f.})
  • SiPAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}son sistemas π paraΩ1{\displaystyle \Omega _{1}}yΩ2,{\displaystyle \Omega _{2},}respectivamente, entonces{A1×A2:A1∈PAG1,A2∈PAG2}{\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}es un sistema π para el producto cartesianoΩ1×Ω2.{\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}
  • Cada álgebra 𝜎 es un sistema π .

Relación con los sistemas 𝜆

Un sistema 𝜆 enΩ{\displaystyle \Omega }es un conjuntoD{\displaystyle D}de subconjuntos deΩ,{\displaystyle \Omega ,}satisfactorio

  • Ω∈D,{\displaystyle \Omega \in D,}
  • siA∈D{\displaystyle A\in D}entoncesΩ∖A∈D,{\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}
  • siA1,A2,A3,…{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }es una secuencia de subconjuntos disjuntos (por pares) enD{\displaystyle D}entonces⋃norte=1∞Anorte∈D.{\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _ {n=1}^{\infty }A_ {n}\in D.}

Si bien es cierto que cualquier álgebra 𝜎 satisface las propiedades de ser tanto un sistema � como un sistema 𝜆 , no es cierto que cualquier sistema � sea un sistema 𝜆 , y tampoco es cierto que cualquier sistema � sea un álgebra 𝜎 . Sin embargo, una clasificación útil es que cualquier sistema de conjuntos que sea a la vez un sistema 𝜆 y un sistema 𝜀 es un álgebra 𝜎 . Esto se utiliza como paso previo para demostrar el teorema 𝜀 - 𝜆 .

El teorema π - 𝜆

DejarD{\displaystyle D}ser un sistema 𝜆 y dejar I⊆D{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}ser un sistema π contenido enD.{\displaystyle D.}El teorema π - 𝜆 [ 1 ] establece que el 𝜎 -álgebraσ(I){\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}generado porI{\displaystyle {\mathcal {I}}}está contenido enD : {\displaystyle D~:~}σ(I)⊆D.{\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}

El teorema π - 𝜆 puede utilizarse para demostrar muchos resultados elementales de la teoría de la medida . Por ejemplo, se utiliza para demostrar la afirmación de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas 𝜎 -finitas. [ 2 ]

El teorema π - 𝜆 está estrechamente relacionado con el teorema de clases monótonas , que establece una relación similar entre clases monótonas y álgebras, y puede utilizarse para derivar muchos de los mismos resultados. Dado que los sistemas π son clases más simples que las álgebras, puede resultar más sencillo identificar los conjuntos que los componen, mientras que, por otro lado, comprobar si la propiedad en cuestión determina un sistema 𝜆 suele ser relativamente fácil. A pesar de la diferencia entre ambos teoremas, al teorema π - 𝜆 se le suele denominar teorema de clases monótonas. [ 1 ]

Ejemplo

Dejarμ1,μ2:F→R{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }sean dos medidas en el álgebra 𝜎F,{\displaystyle F,}y supongamos queF=σ(I){\displaystyle F=\sigma (I)}es generado por un sistema πI.{\displaystyle I.}Si

  1. μ1(A)=μ2(A){\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}a pesar deA∈I,{\displaystyle A\in I,}y
  2. μ1(Ω)=μ2(Ω)<∞,{\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}

entoncesμ1=μ2.{\displaystyle \mu_{1}=\mu_{2}.} Esta es la declaración de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas finitas. Si este resultado no parece muy notable, considérese que suele ser muy difícil, o incluso imposible, describir completamente cada conjunto en el álgebra 𝜎 , por lo que el problema de igualar medidas sería completamente irresoluble sin una herramienta de este tipo.

Idea de la demostración [ 2 ] Definir la colección de conjuntos D={A∈σ(I):μ1(A)=μ2(A)}.{\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.} Según la primera suposición,μ1{\displaystyle \mu _{1}}yμ2{\displaystyle \mu _{2}}acordarI{\displaystyle I}y por lo tantoI⊆D.{\displaystyle I\subseteq D.}Según la segunda suposición,Ω∈D,{\displaystyle \Omega \in D,}y además se puede demostrar queD{\displaystyle D}es un sistema 𝜆 . Del teorema π - 𝜆 se deduce queσ(I)⊆D⊆σ(I),{\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}y entoncesD=σ(I).{\displaystyle D=\sigma (I).}Es decir, las medidas coinciden enσ(I).{\displaystyle \sigma (I).}

Sistemas π en probabilidad

Los sistemas π se utilizan con mayor frecuencia en el estudio de la teoría de la probabilidad que en el campo general de la teoría de la medida. Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la independencia , aunque también puede ser consecuencia de que el teorema π - ε fue demostrado por el probabilista Eugene Dynkin . Los textos estándar de teoría de la medida suelen demostrar los mismos resultados mediante clases monótonas , en lugar de sistemas π .

Igualdad en la distribución

El teorema π - 𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.incógnita:(Ω,F,PAG)→R{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }en términos de su función de distribución acumulativa . Recordemos que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como Fincógnita(a)=PAG⁡[incógnita≤a],a∈R,{\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad Lincógnita(B)=PAG⁡[incógnita−1(B)] a pesar de B∈B(R),{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),} dóndeB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}es el álgebra 𝜎 de Borel . Las variables aleatoriasincógnita:(Ω,F,PAG)→R{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }yY:(Ω~,F~,PAG~)→R{\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }(en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes ) son iguales en distribución (o ley ), denotado porincógnita=DY,{\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa; es decir, siFincógnita=FY.{\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}La motivación para la definición proviene de la observación de que siFincógnita=FY,{\displaystyle F_{X}=F_{Y},}entonces eso es exactamente decir queLincógnita{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}yLY{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}estar de acuerdo en el sistema π{(−∞,a]:a∈R}{\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}que generaB(R),{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}y así según el ejemplo anterior :Lincógnita=LY.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}

Un resultado similar se cumple para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos queincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad(Ω,F,PAG),{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}con sistemas π generados respectivamenteIincógnita{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}yIY.{\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}La función de distribución acumulativa conjunta de(incógnita,Y){\displaystyle (X,Y)}es Fincógnita,Y(a,b)=PAG⁡[incógnita≤a,Y≤b]=PAG⁡[incógnita−1((−∞,a])∩Y−1((−∞,b])], a pesar de a,b∈R.{\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}

Sin embargo,A=incógnita−1((−∞,a])∈Iincógnita{\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}yB=Y−1((−∞,b])∈IY.{\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}Porque Iincógnita,Y={A∩B:A∈Iincógnita, y B∈IY}{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}} es un sistema π generado por el par aleatorio(incógnita,Y),{\displaystyle (X,Y),}El teorema π - 𝜆 se utiliza para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de(incógnita,Y).{\displaystyle (X,Y).}En otras palabras,(incógnita,Y){\displaystyle (X,Y)}y(W,Z){\displaystyle (W,Z)}Tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta.

En la teoría de los procesos estocásticos , dos procesos(incógnitat)t∈T,(Yt)t∈T{\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}Se sabe que son iguales en distribución si y solo si coinciden en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todast1,…,tnorte∈T,norte∈norte,{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}(incógnitat1,…,incógnitatnorte)=D(Yt1,…,Ytnorte).{\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}

La demostración de esto es otra aplicación del teorema π - 𝜆 . [ 3 ]

Variables aleatorias independientes

La teoría del sistema π juega un papel importante en la noción probabilística de independencia . Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad(Ω,F,PAG){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}entonces las variables aleatorias son independientes si y solo si sus sistemas πIincógnita,IY{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}Satisfacer a todosA∈Iincógnita{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}yB∈IY,{\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}PAG⁡[A∩B] = PAG⁡[A]PAG⁡[B],{\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],} lo que quiere decir queIincógnita,IY{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}son independientes. En realidad, este es un caso especial del uso de sistemas π para determinar la distribución de(incógnita,Y).{\displaystyle (X,Y).}

Ejemplo

DejarZ=(Z1,Z2),{\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}dóndeZ1,Z2∼norte(0,1){\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}son variables aleatorias normales estándar i.i.d. Defina las variables radio y argumento (arctan). R=Z12+Z22,Θ=broncearse−1⁡(Z2/Z1).{\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}

EntoncesR{\displaystyle R}yΘ{\displaystyle \Theta }son variables aleatorias independientes.

Para probar esto, basta con demostrar que los sistemas πIR,IΘ{\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}son independientes: es decir, para todosρ∈[0,∞){\displaystyle \rho \in [0,\infty )}yθ∈[0,2π],{\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}PAG⁡[R≤ρ,Θ≤θ]=PAG⁡[R≤ρ]PAG⁡[Θ≤θ].{\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}

Confirmar que este es el caso es un ejercicio de cambio de variables. Corregirρ∈[0,∞){\displaystyle \rho \in [0,\infty )}yθ∈[0,2π],{\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}entonces la probabilidad puede expresarse como una integral de la función de densidad de probabilidad deZ.{\displaystyle Z.}PAG⁡[R≤ρ,Θ≤θ]=∫R≤ρ,Θ≤θ12πexp⁡(−12(z12+z22))dz1dz2=∫0θ∫0ρ12πmi−r22rdrdθ~=(∫0θ12πdθ~)(∫0ρmi−r22rdr)=PAG⁡[Θ≤θ]PAG⁡[R≤ρ].{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}

Véase también

Notas

  1. ↑ La intersección nula (0-aria) de subconjuntos deΩ{\displaystyle \Omega }es por convención igual aΩ,{\displaystyle \Omega ,}lo cual no es necesario que sea un elemento de un sistema π .

Citas

  1. 1 2 Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, pág. 2
  2. 1 2 Durrett, Teoría de la probabilidad y ejemplos, pág. 404
  3. ↑ Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, pág. 48

Referencias

  • Gut, Allan (2005). Probabilidad: Un curso de posgrado . Textos de Springer en estadística. Nueva York: Springer. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
  • Williams, David (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
  • Durrett, Richard (2019). Probabilidad: Teoría y ejemplos (PDF) . Serie de Cambridge en Matemáticas Estadísticas y Probabilísticas. Vol.  49 (5.ª  ed.). Cambridge, Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2OCLC 1100115281. Consultado el 5 de noviembre de 2020 . 
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