Teorema de la clase monótona

En teoría de la medida y probabilidad , el teorema de la clase monótona conecta las clases monótonas y las 𝜎-álgebras . El teorema dice que la clase monótona más pequeña que contiene un álgebra de conjuntos es precisamente la 𝜎-álgebra más pequeña que contiene . Se utiliza como un tipo de inducción transfinita para demostrar muchos otros teoremas, como el teorema de Fubini . ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización G.}$

Definición de una clase monótona

AUna clase monótona es unafamilia(es decir, una clase)de conjuntos que estácerradabajo uniones monótonas numerables y también bajo intersecciones monótonas numerables. Explícitamente, esto significa quetiene las siguientes propiedades: ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización M}$

si y entonces y $A_{1},A_{2},\ldots \en M$ $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ ${\textstyle {\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }}A_{i}\in M,}$
Si y entonces $B_{1},B_{2},\ldots \en M$ $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots$ ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }}B_{i}\in M.}$

Teorema de clase monótona para conjuntos

Teorema de clase monótona para conjuntos — Sea un álgebra de conjuntos y definamos como la clase monótona más pequeña que contiene Entonces es precisamente el álgebra 𝜎 generada por ; es decir ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización M(G)}$ ${\estilo de visualización G.}$ ${\estilo de visualización M(G)}$ ${\estilo de visualización G}$ $\sigma(G)=M(G).$

Teorema de clase monótona para funciones

Teorema de clase monótona para funciones — Sea un sistema $π$ que contiene y sea una colección de funciones de a con las siguientes propiedades: ${\mathcal {A}}$ ${\estilo de visualización \Omega \,}$ ${\mathcal {H}}$ ${\estilo de visualización\Omega}$ $\mathbb {R}$

Si entonces donde denota la función indicadora de $A\in {\mathcal {A}}$ $\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}$ $\mathbf {1}_{A}$ $A.$
Si y entonces y $f,g\in {\mathcal {H}}$ $c\in \mathbb {R}$ ${\estilo de visualización f+g}$ $cf\in {\mathcal {H}}.$
Si es una secuencia de funciones no negativas que aumentan hasta una función acotada, entonces $f_{n}\in {\mathcal {H}}$ ${\estilo de visualización f}$ $f\in {\mathcal {H}}.$

Entonces contiene todas las funciones acotadas que son medibles con respecto a las cuales es el álgebra 𝜎 generada por ${\mathcal {H}}$ $\sigma ({\mathcal {A}}),$ ${\mathcal {A}}.$

Prueba

El siguiente argumento se origina en Probabilidad: teoría y ejemplos de Rick Durrett . ^[1]

Prueba

Las suposiciones (2) y (3) implican que es un sistema 𝜆. Por (1) y el teorema $π$ −𝜆 , la afirmación (2) implica que contiene todas las funciones simples, y luego (3) implica que contiene todas las funciones acotadas medibles con respecto a $\Omega \,\en {\mathcal {A}},$ ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ $\sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {G}}.$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ $\sigma ({\mathcal {A}}).$

Resultados y aplicaciones

Como corolario, si es un anillo de conjuntos , entonces la clase monótona más pequeña que lo contiene coincide con el anillo 𝜎 de ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización G.}$

Al invocar este teorema, se pueden utilizar clases monótonas para ayudar a verificar que una determinada colección de subconjuntos es una 𝜎-álgebra .

El teorema de clase monótona para funciones puede ser una herramienta poderosa que permite generalizar enunciados sobre clases de funciones particularmente simples a funciones arbitrarias, acotadas y mensurables.

Véase también

Sistema Dynkin – Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
Teorema $π$ - 𝜆 – Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contablesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
Sistema $π$ – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
σ-álgebra – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos

Citas

^ Durrett, Rick (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos (4.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 276. ISBN 978-0521765398.

Referencias

Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5.ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .

[Durrett-1] Durrett, Rick (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos (4.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 276. ISBN 978-0521765398.