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Articulo de referencia

Transformación canónica lineal

En mecánica hamiltoniana , la transformación canónica lineal ( TCL ) es una familia de transformaciones integrales que generaliza muchas transformaciones clásicas. Tiene 4 parám...

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En mecánica hamiltoniana , la transformación canónica lineal ( TCL ) es una familia de transformaciones integrales que generaliza muchas transformaciones clásicas. Tiene 4 parámetros y 1 restricción, por lo que es una familia tridimensional, y puede visualizarse como la acción del grupo lineal especial SL 2 ( C ) sobre el plano (dominio) tiempo-frecuencia . Como esto define la función original salvo un signo, se traduce en una acción de su doble recubrimiento sobre el espacio de funciones original .

La LCT generaliza las transformaciones de Fourier , Fourier fraccionaria , Laplace , Gauss-Weierstrass , Bargmann y Fresnel como casos particulares. El nombre "transformación canónica lineal" proviene de la transformación canónica , un mapa que preserva la estructura simpléctica, ya que SL 2 ( R ) también puede interpretarse como el grupo simpléctico Sp 2 , y por lo tanto las LCT son los mapas lineales del dominio tiempo-frecuencia que preservan la forma simpléctica , y su acción sobre el espacio de Hilbert viene dada por el grupo metapléctico .

Se consideran las propiedades básicas de las transformaciones mencionadas anteriormente, como el escalado, el desplazamiento y la multiplicación de coordenadas. Cualquier transformación canónica lineal está relacionada con transformaciones afines en el espacio de fases , definido por coordenadas tiempo-frecuencia o posición-momento.

Definición

La LCT se puede representar de varias maneras; la más sencilla, [ 1 ] se puede parametrizar mediante una matriz de 2×2 con determinante 1, es decir, un elemento del grupo lineal especial SL 2 ( C ). Entonces, para cualquier matriz de este tipo(abdod),{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )},}con ad  − bc = 1, la transformada integral correspondiente de una función   incógnita(t){\displaystyle x(t)}aincógnita(tú){\displaystyle X(u)}se define como

incógnita(a,b,do,d)(tú)={1ib⋅miiπdbtú2∫−∞∞mi−i2π1btútmiiπabt2incógnita(t)dt,cuando b≠0,d⋅miiπdodtú2incógnita(d⋅tú),cuando b=0.{\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1}{ib}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\,dt,&{\text{cuando }}b\neq 0,\\{\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(d\cdot u),&{\text{cuando }}b=0.\end{cases}}}

Casos especiales

Muchas transformaciones clásicas son casos especiales de la transformada canónica lineal:

Escalada

Escalado ,incógnita(tú)↦σincógnita(σtú){\displaystyle x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)}, corresponde a escalar las dimensiones de tiempo y frecuencia de forma inversa (a medida que el tiempo avanza más rápido, las frecuencias son más altas y la dimensión del tiempo se reduce): [1/σ00σ]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}}

transformada de Fourier

La transformada de Fourier corresponde a una rotación en sentido horario de 90° en el plano tiempo-frecuencia, representada por la matriz [abdod]=[01−10].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}

Transformada fraccional de Fourier

La transformada fraccional de Fourier corresponde a una rotación por un ángulo arbitrario; son los elementos elípticos de SL 2 ( R ), representados por las matrices [abdod]=[porque⁡θpecado⁡θ−pecado⁡θporque⁡θ].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.} La transformada de Fourier es la transformada fraccional de Fourier cuandoθ=90∘.{\displaystyle \theta =90^{\circ }.}La transformada inversa de Fourier corresponde aθ=−90∘.{\displaystyle \theta =-90^{\circ }.}

Transformada de Fresnel

La transformada de Fresnel corresponde al corte, y son una familia de elementos parabólicos , representados por las matrices [abdod]=[1λz01],{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},} donde z es la distancia y λ es la longitud de onda.

Transformación de Laplace

La transformada de Laplace corresponde a una rotación de 90° en el dominio complejo y puede representarse mediante la matriz [abdod]=[0ii0].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.}

Transformada fraccionaria de Laplace

La transformada fraccionaria de Laplace corresponde a una rotación de un ángulo arbitrario en el dominio complejo y puede representarse mediante la matriz [ 2 ].[abdod]=[iporque⁡θipecado⁡θipecado⁡θ−iporque⁡θ].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.} La transformada de Laplace es la transformada fraccionaria de Laplace cuandoθ=90∘.{\displaystyle \theta =90^{\circ }.}La transformada inversa de Laplace corresponde aθ=−90∘.{\displaystyle \theta =-90^{\circ }.}

Multiplicación de chirridos

Multiplicación de chirridos,incógnita(tú)↦miiπτtú2incógnita(tú){\displaystyle x(u)\mapsto e^{i\pi \tau u^{2}}x(u)}, corresponde ab=0,do=τ{\displaystyle b=0,c=\tau }:[abdod]=[10τ1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}.}

Composición

La composición de las transformadas de Laplace-CdC corresponde a la multiplicación de las matrices correspondientes; esto también se conoce como la propiedad de aditividad de la función de distribución de Wigner (FDT). En ocasiones, el producto de las transformadas puede adquirir un factor de signo debido a la elección de una rama diferente de la raíz cuadrada en la definición de la transformada de Laplace-CdC. En la literatura, esto se denomina fase metapléctica .

Si el LCT se denota por ⁠OF(a,b,do,d){\displaystyle O_{F}^{(a,b,c,d)}}, es decir

incógnita(a,b,do,d)(tú)=OF(a,b,do,d)[incógnita(t)],{\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)=O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)],}

entonces

OF(a2,b2,do2,d2){OF(a1,b1,do1,d1)[incógnita(t)]}=OF(a3,b3,do3,d3)[incógnita(t)],{\displaystyle O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}[x(t)],}

dónde

[a3b3do3d3]=[a2b2do2d2][a1b1do1d1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}.}

SiWincógnita(a,b,do,d)(tú,v){\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)}es elincógnita(a,b,do,d)(tú){\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}, dóndeincógnita(a,b,do,d)(tú){\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}es el LCT deincógnita(t){\displaystyle x(t)}, entonces

Wincógnita(a,b,do,d)(tú,v)=Wincógnita(dtú−bv,−dotú+av),{\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av),}Wincógnita(a,b,do,d)(atú+bv,dotú+dv)=Wincógnita(tú,v).{\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v).}

LCT es igual a la operación de torsión para WDF y la distribución de clases de Cohen también tiene la operación de torsión.

Podemos usar libremente la LCT para transformar el paralelogramo cuyo centro está en (0,  0) en otro paralelogramo que tenga la misma área y el mismo centro:

De esta imagen sabemos que el punto (−1,  2) se transforma en el punto (0,  1), y el punto (1,  2) se transforma en el punto (4,  3). Como resultado, podemos escribir las ecuaciones

{−a+2b=0,−do+2d=1,{a+2b=4,do+2d=3.{\displaystyle {\begin{cases}-a+2b=0,\\-c+2d=1,\end{cases}}\qquad {\begin{cases}a+2b=4,\\c+2d=3.\end{cases}}}

Resolver estas ecuaciones da ( a , b , c , d ) = (2, 1, 1, 1).      

En óptica y mecánica cuántica

Los sistemas ópticos paraxiales implementados completamente con lentes delgadas y propagación a través del espacio libre y/o medios de índice gradual (GRIN) son sistemas de fase cuadrática (QPS); estos ya se conocían antes de que Moshinsky y Quesne (1974) llamaran la atención sobre su importancia en relación con las transformaciones canónicas en mecánica cuántica. El efecto de cualquier QPS arbitrario sobre un campo de onda de entrada puede describirse utilizando la transformada canónica lineal, un caso particular de la cual fue desarrollado por Segal (1963) y Bargmann (1961) para formalizar el cálculo de bosones de Fock (1928). [ 3 ]

En mecánica cuántica , las transformaciones canónicas lineales pueden identificarse con las transformaciones lineales que mezclan el operador de momento con el operador de posición y dejan invariantes las relaciones de conmutación canónicas .

Aplicaciones

Las transformaciones canónicas se utilizan para analizar ecuaciones diferenciales. Estas incluyen la difusión , la ecuación de Schrödinger de la partícula libre , el potencial lineal (caída libre) y las ecuaciones de osciladores atractivos y repulsivos. También incluyen algunas otras, como la ecuación de Fokker-Planck . Si bien esta clase dista mucho de ser universal, la facilidad con la que se encuentran soluciones y propiedades hace que las transformaciones canónicas sean una herramienta atractiva para problemas como estos. [ 4 ]

Aquí se analiza la propagación de ondas a través del aire, una lente y entre antenas parabólicas. Todos los cálculos se pueden reducir a álgebra matricial de 2×2. Esta es la esencia de la LCT.

Propagación de ondas electromagnéticas

Suponiendo que el sistema se ve como se muestra en la figura, la onda viaja del plano ( xi , yi ) al plano ( x , y ). La transformada de Fresnel se utiliza para describir la propagación de ondas electromagnéticas en el espacio libre :  

U0(incógnita,y)=−jλmijkzz∫−∞∞∫−∞∞mijk2z[(incógnita−incógnitai)2+(y−yi)2]Ui(incógnitai,yi)dincógnitaidyi,{\displaystyle U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}\left[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}\right]}U_{i}(x_{i},y_{i})\,dx_{i}\,dy_{i},}

dónde

⁠k=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda }es el número de onda ,
λ es la longitud de onda ,
z es la distancia de propagación,
⁠j=−1{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}es la unidad imaginaria .

Esto es equivalente a LCT (cizallamiento), cuando

[abdod]=[1λz01].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}

Cuando la distancia de recorrido ( z ) es mayor, el efecto de cizallamiento es mayor.

Lente esférica

Con la lente como se muestra en la figura, y el índice de refracción denotado como n , el resultado es [ 5 ].

U0(incógnita,y)=mijknorteΔmi−jk2F[incógnita2+y2]Ui(incógnita,y),{\displaystyle U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y),}

donde f es la distancia focal y Δ es el espesor de la lente.

La distorsión que pasa a través de la lente es similar a la LCT, cuando

[abdod]=[10−1λF1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.}

Esto también es un efecto de cizallamiento: cuando la distancia focal es menor, el efecto de cizallamiento es mayor.

Espejo esférico

El espejo esférico —por ejemplo, una antena parabólica— puede describirse como un LCT, con

[abdod]=[10−1λR1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.}

Esto es muy similar a una lente, excepto que la distancia focal se reemplaza por el radio R del plato. Un espejo esférico con un radio de curvatura R es equivalente a una lente delgada con una distancia focal f = − R /2 (por convención, R < 0 para un espejo cóncavo, R > 0 para un espejo convexo). Por lo tanto, si el radio es menor, el efecto de cizallamiento es mayor.

Espacio libre conjunto y lente esférica

La relación entre la entrada y la salida que podemos representar mediante LCT

[abdod]=[1λz201][10−1/λF1][1λz101]=[1−z2/Fλ(z1+z2)−λz1z2/F−1/λF1−z1/F].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-1/\lambda f&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f&\lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}\,.}

  1. Si​z1=z2=2F{\displaystyle z_{1}=z_{2}=2f}⁠ , es la imagen real invertida .
  2. Si​z1=z2=F{\displaystyle z_{1}=z_{2}=f}⁠ , es la transformada de Fourier + escalado
  3. Si​z1=z2{\displaystyle z_{1}=z_{2}}⁠ , es una transformada fraccional de Fourier + escalado

Propiedades básicas

En esta parte, mostramos las propiedades básicas de LCT.

Dado un vector columna bidimensionalr=[incógnitay],{\displaystyle r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}A continuación, mostramos algunas propiedades básicas (resultado) para la entrada específica:

Ejemplo

El sistema considerado se muestra en la figura de la derecha: dos antenas parabólicas —una emisora ​​y la otra receptora— y una señal que viaja entre ellas a lo largo de una distancia D. En primer lugar, para la antena A (emisora), la matriz LCT tiene el siguiente aspecto:

[10−1λRA1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.}

Entonces, para el plato B (receptor), la matriz LCT se convierte de manera similar en:

[10−1λRB1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.}

Por último, para la propagación de la señal en el aire, la matriz LCT es:

[1λD01].{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.}

Al combinar los tres componentes, el LCT del sistema es:

[abdod]=[10−1λRB1][1λD01][10−1λRA1]=[1−DRA−λD1λ(RA−1+RB−1−RA−1RB−1D)1−DRB].{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.}

Véase también

Notas

  1. ↑ de Bruijn, NG (1973). "Una teoría de funciones generalizadas, con aplicaciones a la distribución de Wigner y la correspondencia de Weyl", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Ser., 21 , 205–280.
  2. ↑ PR Deshmukh y AS Gudadhe (2011) Estructura de convolución para dos versiones de la transformada fraccionaria de Laplace. Journal of Science and Arts, 2(15):143–150. "CORE" . Recuperado el 29 de agosto de 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
  3. ↑ KB Wolf (1979) Cap. 9: Transformaciones canónicas .
  4. ↑ KB Wolf (1979) Cap. 9 y 10 .
  5. ↑ Goodman, Joseph W. (2005), Introducción a la óptica de Fourier (3.ª ed.), Roberts and Company Publishers, ISBN  0-9747077-2-4, §5.1.3, págs.  100–102.

Referencias

  • JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas y JT Sheridan, " Transformadas canónicas lineales: teoría y aplicaciones ", Springer, Nueva York, 2016.
  • JJ Ding, " Apuntes del curso sobre análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet ", Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipéi, Taiwán, 2007.
  • KB Wolf, " Transformadas integrales en ciencia e ingeniería ", Cap. 9 y 10, Nueva York, Plenum Press, 1979.
  • SA Collins, "Integral de difracción de sistemas de lentes escrita en términos de óptica matricial", J. Opt. Soc. Amer. 60 , 1168 – 1177 (1970).
  • M. Moshinsky y C. Quesne, "Transformaciones canónicas lineales y sus representaciones unitarias", J. Math. Phys. 12 , 8, 1772 – 1783, (1971).
  • BM Hennelly y JT Sheridan, "Algoritmo numérico rápido para la transformada canónica lineal", J. Opt. Soc. Am. A 22 , 5, 928 – 937 (2005).
  • HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari y MA Kutay, "Cálculo eficiente de integrales de fase cuadrática en óptica", Opt. Let. 31 , 35 – 37, (2006).
  • Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "Nuevas fórmulas de muestreo relacionadas con la transformada canónica lineal", Procesamiento de señales ' 87' , 983 – 990, (2007).
  • A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan y MA Kutay, "Cálculo digital de transformadas canónicas lineales", IEEE Trans. Signal Process. , vol. 56, n.º 6, 2383–2394, (2008).
  • Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "Sobre el muestreo de señales de banda limitada asociadas con la transformada canónica lineal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, no. 11, 5454–5464, (2008).
  • D. Stoler, "Métodos de operadores en óptica física", XXVI Simposio Técnico Anual . Sociedad Internacional de Óptica y Fotónica, 1982.
  • Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Transformación canónica lineal y sus aplicaciones ", Pekín, Science Press, 2013.
  • Tatiana Alieva y Martin J. Bastiaans (2016). Transformaciones canónicas lineales: definición y propiedades. En: Healy J., Alper Kutay M., Ozaktas H. y Sheridan J. (eds.) Transformaciones canónicas lineales. Springer Series in Optical Sciences, vol. 198. Springer, Nueva York, NY.