Espacio funcional

En matemáticas , un espacio de funciones es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y/o el codominio tendrán una estructura adicional que hereda el espacio de funciones. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X a un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la suma punto a punto y la multiplicación escalar. En otros casos, el espacio de funciones puede heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre de espacio de funciones . A menudo, en la jerga matemática, especialmente en análisis o geometría, una función puede referirse a una aplicación de la forma${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$o${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$dónde${\displaystyle X}$es el espacio en cuestión. Mientras que otros mapas de la forma${\displaystyle X\to Y}$Las relaciones entre dos espacios cualesquiera se denominan simplemente aplicaciones. Un ejemplo de esto puede ser el espacio de funciones compactas sobre un espacio topológico. Sin embargo, en un contexto más amplio, un espacio de funciones podría consistir simplemente en un conjunto de funciones (en teoría de conjuntos) con alguna estructura adicional.

Sea F un cuerpo y sea X un conjunto cualquiera. Las funciones X → F pueden tener la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen punto a punto, es decir, para cualesquiera f , g  : X → F , cualquier x en X y cualquier c en F , se definen $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$ Cuando el dominio X posee una estructura adicional, se puede considerar el subconjunto (o subespacio ) de todas las funciones que respetan dicha estructura. Por ejemplo, si V y X son espacios vectoriales sobre F , el conjunto de aplicaciones lineales X → V forman un espacio vectorial sobre F con operaciones puntuales (a menudo denotado como Hom ( X , V )). Un ejemplo de este tipo de espacio es el espacio dual de X : el conjunto de funcionales lineales X → F con suma y multiplicación escalar definidas puntualmente.

La dimensión cardinal de un espacio de funciones sin estructura adicional se puede encontrar mediante el teorema de Erdős-Kaplansky .

Los espacios funcionales aparecen en diversas áreas de las matemáticas:

• En teoría de conjuntos , el conjunto de funciones de X a Y se puede denotar { X → Y } o Y ^X .
  • Como caso especial, el conjunto potencia de un conjunto X puede identificarse con el conjunto de todas las funciones de X a {0, 1}, denotado 2 ^X .
• El conjunto de biyecciones de X a Y se denota${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$. La notación factorial X ! puede utilizarse para permutaciones de un único conjunto X .
• En el análisis funcional , se observa lo mismo para las transformaciones lineales continuas , incluidas las topologías en los espacios vectoriales mencionados anteriormente, y muchos de los ejemplos principales son espacios de funciones que llevan una topología ; los ejemplos más conocidos incluyen espacios de Hilbert y espacios de Banach .
• En análisis funcional , el conjunto de todas las funciones de los números naturales a un conjunto X se denomina espacio de sucesiones . Consiste en el conjunto de todas las sucesiones posibles de elementos de X.
• En topología , se puede intentar definir una topología en el espacio de funciones continuas de un espacio topológico X a otro Y , cuya utilidad depende de la naturaleza de los espacios. Un ejemplo común es la topología compacta-abierta , como el espacio de lazos . También está disponible la topología producto en el espacio de funciones de teoría de conjuntos (es decir, no necesariamente continuas) Y → ^X. En este contexto, esta topología también se conoce como topología de convergencia puntual .
• En topología algebraica , el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de los invariantes discretos de los espacios de funciones;
• En la teoría de los procesos estocásticos , el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio de funciones de trayectorias del proceso (funciones del tiempo);
• En teoría de categorías , el espacio de funciones se denomina objeto exponencial u objeto de mapa . Aparece de una forma como el bifunctor canónico de representación ; pero como functor (único), de tipo${\displaystyle [X,-]}$, aparece como un functor adjunto a un functor de tipo${\displaystyle -\times X}$sobre objetos;
• En programación funcional y cálculo lambda , los tipos de función se utilizan para expresar la idea de funciones de orden superior.
• En programación en general, muchos conceptos de funciones de orden superior aparecen con o sin tipado explícito, como por ejemplo los cierres .
• En la teoría de dominios , la idea básica es encontrar construcciones a partir de órdenes parciales que puedan modelar el cálculo lambda, mediante la creación de una categoría cartesiana cerrada bien comportada .
• En la teoría de representaciones de grupos finitos , dadas dos representaciones de dimensión finita V y W de un grupo G , se puede formar una representación de G sobre el espacio vectorial de aplicaciones lineales Hom( V , W ) llamada representación Hom . ^{[ 1 ]}

Un tema central del análisis funcional es el estudio de espacios de funciones y espacios vectoriales con una estructura más compleja que la mera estructura lineal. Específicamente, algunos son espacios vectoriales topológicos , otros son espacios de Banach , otros son espacios de Hilbert , etc. Esto permite a los matemáticos aplicar intuiciones propias de los espacios vectoriales de dimensión finita.

Los espacios funcionales presentan interrelaciones complejas, como la interpolación , la incrustación, la representación, el isomorfismo de espacios de Banach, etc. Muchos teoremas y construcciones fundamentales del análisis funcional abordan estas relaciones, como el teorema de representación de Riesz , el teorema de Riesz-Thorin , la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg , el teorema de Rellich-Kondrachov , la función maximal de Hardy-Littlewood , etc.

Dejar${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ser un subconjunto abierto.

• ${\displaystyle B(\Omega )}$funciones acotadas
• continuos
  • ${\displaystyle C(\Omega )}$funciones continuas dotadas de la topología de norma uniforme
  • ${\displaystyle C_{c}(\Omega)}$funciones continuas con soporte compacto
  • ${\displaystyle C_{b}(\Omega)}$funciones acotadas continuas
  • ${\displaystyle C_{0}(\Omega)}$funciones continuas que se anulan en el infinito; un subespacio cerrado de${\displaystyle C_{b}(\Omega)}$^{[ 2 ]}
  • ${\displaystyle C^{r}(\Omega )}$funciones continuas que tienen r derivadas continuas.
• lisos
  • ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$funciones suaves
  • ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega)}$funciones fluidas con soporte compacto (es decir, el conjunto de funciones de impacto )
  • ${\displaystyle C^{\omega }(\Omega )}$funciones analíticas reales
• ${\displaystyle L^{p}(\Omega)}$, para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, es el espacio L ^p de funciones medibles cuya norma p${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\Omega }|f|^{p}\right)^{1/p}}$es finito
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\Omega)}$, el espacio de Schwartz de funciones suaves que disminuyen rápidamente y su dual continuo,${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\Omega)}$distribuciones templadas
• ${\displaystyle D(\Omega )}$soporte compacto en topología límite
• ${\displaystyle {\text{Labio}}_{0}(\Omega )}$, el espacio de todas las funciones de Lipschitz en${\displaystyle \Omega }$que se desvanecen en cero.
• ${\displaystyle W^{k,p}}$espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas débiles hasta el orden k están en${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$funciones holomorfas
• ${\displaystyle BMO(\Omega )}$espacio de oscilación media acotada . También llamado espacio de John-Nirenberg.
• funciones lineales
• funciones lineales por partes
• funciones continuas, topología abierta compacta
• Todas las funciones, espacio de convergencia puntual
• Espacio resistente
• Espacio Hölder
• Espacio Skorokhod : el espacio de las funciones càdlàg .
• Espacio Besov
• Espacio Souček
• espacio Triebel-Lizorkin
• Espacio Barron

Si y es un elemento del espacio de funciones${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$de todas las funciones continuas que están definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$definido en${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$es el valor absoluto máximo de y ( x ) para a ≤ x ≤ b , ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{donde}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

se denomina norma uniforme o norma suprema ('norma sup').

• Kolmogorov, AN y Fomin, SV (1967). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Courier Dover Publications.
• Stein, Elias ; Shakarchi, R. (2011). Análisis funcional: una introducción a temas más profundos del análisis. Princeton University Press.

• Lista de funciones matemáticas
• álgebra de Clifford
• Campo tensorial
• Teoría espectral
• Determinante funcional
• Equicontinuidad
• Teorema de Ascoli