Oscilación media acotada

• La notación universalmente adoptada que se utiliza para el conjunto de funciones BMO en un dominio dado.${\displaystyle \Omega }$es${\displaystyle \operatorname {BMO} (\Omega )}$: cuando${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle \operatorname {BMO} (\mathbb {R} ^{n})}$se abrevia como${\displaystyle \operatorname {BMO} }$.
• La norma BMO de una función BMO dada${\displaystyle u}$se denota por${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$: en algunos casos, también se denota como${\displaystyle \|u\|_{*}}$.

${\displaystyle \operatorname {BMO} }$las funciones son localmente${\displaystyle L^{p}}$si${\displaystyle 0<p<\infty }$, pero no necesariamente están acotados localmente. De hecho, utilizando la desigualdad de John-Nirenberg, podemos demostrar que

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.}$

Las funciones constantes tienen una oscilación media cero, por lo tanto, las funciones que difieren para una constante${\displaystyle c>0}$pueden compartir lo mismo${\displaystyle \operatorname {BMO} }$valor de norma incluso si su diferencia no es cero en casi todas partes . Por lo tanto, la función${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$es propiamente una norma en el espacio cociente de${\displaystyle \operatorname {BMO} }$funciones módulo el espacio de funciones constantes en el dominio considerado.

Como su nombre lo indica, la media o promedio de una función en${\displaystyle \operatorname {BMO} }$no oscila mucho al calcularlo sobre cubos cercanos entre sí en posición y escala. Precisamente, si${\displaystyle Q}$y${\displaystyle R}$son cubos diádicos tales que sus límites se tocan y la longitud del lado de${\displaystyle Q}$no es menos de la mitad de la longitud del lado de${\displaystyle R}$(y viceversa), entonces

${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}}$

dónde${\displaystyle C>0}$es una constante universal. Esta propiedad es, de hecho, equivalente a${\displaystyle f}$estar en${\displaystyle \operatorname {BMO} }$, es decir, si${\displaystyle f}$es una función localmente integrable tal que${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C}$para todos los cubos diádicos${\displaystyle Q}$y${\displaystyle R}$adyacente en el sentido descrito anteriormente y${\displaystyle f}$está en diádico${\displaystyle \operatorname {BMO} }$(donde el supremo solo se toma sobre cubos diádicos)${\displaystyle Q}$), entonces${\displaystyle f}$está en${\displaystyle \operatorname {BMO} }$. ^{[ 7 ]}

Fefferman (1971) demostró que el${\displaystyle \operatorname {BMO} }$el espacio es dual a${\displaystyle H^{1}}$, el espacio Hardy con${\displaystyle p=1}$. ^{[ 8 ]} El emparejamiento entre${\displaystyle f\in H^{1}}$y${\displaystyle g\in \operatorname {BMO} }$es dado por

${\displaystyle (f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

aunque se necesita cierta precaución al definir esta integral, ya que en general no converge absolutamente.

La desigualdad de John-Nirenberg es una estimación que determina hasta qué punto una función de oscilación media acotada puede desviarse de su valor medio en una cantidad determinada.

Cuando la dimensión del espacio ambiente es 1, el espacio BMO puede verse como un subespacio lineal de funciones armónicas en el disco unitario y juega un papel importante en la teoría de los espacios de Hardy : usando la definición 2 , es posible definir el espacio BMO( T ) en el círculo unitario como el espacio de funciones f  : T → R tales que

${\displaystyle {\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty }$

es decir, de tal manera que su oscilación media sobre cada arco I del círculo unitario ^{[ 10 ]} esté acotada. Aquí, como antes, f _I es el valor medio de f sobre el arco I.

Definición 3. Se dice que una función analítica en el disco unitario pertenece al espacio BMO armónico o al espacio BMOH si y solo si es la integral de Poisson de una función BMO( T ). Por lo tanto, BMOH es el espacio de todas las funciones u con la forma:

${\displaystyle u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|a-e^{i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

equipado con la norma:

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a)\right|\mathrm {d} \theta \right\}}$

El subespacio de funciones analíticas que pertenecen a BMOH se denomina espacio analítico BMO o espacio BMOA .

El espacio VMO de funciones de oscilación media nula es la clausura en BMO de las funciones continuas que se anulan en el infinito . También puede definirse como el espacio de funciones cuyas "oscilaciones medias" en cubos Q no solo están acotadas, sino que también tienden a cero uniformemente cuando el radio del cubo Q tiende a 0 o ∞. El espacio VMO es una especie de análogo del espacio de Hardy del espacio de funciones continuas que se anulan en el infinito, y en particular el espacio de Hardy armónico de valores reales H ¹ es el dual de VMO. ^{[ 13 ]}

Una función localmente integrable f en R es BMO si y solo si se puede escribir como

${\displaystyle f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha }$

donde f _i ∈ L ^∞ , α es una constante y H es la transformada de Hilbert .

La norma BMO es entonces equivalente al ínfimo de${\displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }}$sobre todas esas representaciones.

De manera similar, f es VMO si y solo si puede representarse en la forma anterior con f _i funciones uniformemente continuas acotadas en R . ^{[ 14 ]}

Sea Δ el conjunto de cubos diádicos en R ⁿ . El espacio diádico BMO , escrito BMO _{d ,} es el espacio de funciones que satisfacen la misma desigualdad que para las funciones BMO, solo que el supremo es sobre todos los cubos diádicos. Este supremo a veces se denota como ||•|| _{BMO d} .

Este espacio contiene propiamente BMO. En particular, la función log( x ) χ _[0,∞) es una función que está en BMO diádico pero no en BMO. Sin embargo, si una función f es tal que || f (•− x )|| _{BMO d} ≤ C para todo x en R ⁿ para algún C > 0, entonces por el truco del tercio f también está en BMO. En el caso de BMO en T ⁿ en lugar de R ⁿ , una función f es tal que || f (•− x )|| _{BMO d} ≤ C para n+1 x adecuadamente elegidos , entonces f también está en BMO. Esto significa que BMO( T ⁿ ) es la intersección de n+1 traslaciones de BMO diádico. Por dualidad, H ¹ ( T ⁿ ) es la suma de n +1 traslaciones de H ¹ diádico . ^{[ 15 ]}

Aunque la clase BMO diádica es mucho más restringida que la BMO, muchos teoremas que son verdaderos para la BMO son mucho más sencillos de demostrar para la BMO diádica, y en algunos casos se pueden recuperar los teoremas originales de la BMO demostrándolos primero en el caso diádico especial. ^{[ 16 ]}