núcleo de Mehler

El núcleo de Mehler es una función de valor complejo que se ha descubierto que es el propagador del oscilador armónico cuántico .

Fue descubierta por primera vez por Mehler en 1866, y desde entonces, como señaló Einar Hille en 1932, "ha sido redescubierta por casi todos los que han trabajado en este campo". ^{[ 1 ]}

Mehler ( 1866 ) definió una función ^{[ 2 ]} 

y demostró, en notación modernizada, ^{[ 3 ]} que puede expandirse en términos de polinomios de Hermite.${\displaystyle H(\cdot )}$basado en la función de peso${\displaystyle \exp(-x^{2})}$como $${\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}$$

Este resultado es útil, en forma modificada, en física cuántica, teoría de la probabilidad y análisis armónico. De manera equivalente, en los polinomios de Hermite del probabilista:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\rho xy}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)}$$ Sustituyendo${\displaystyle \rho =e^{-t}}$y dejar${\displaystyle h_{n}:=\operatorname {He} _{n}/{\sqrt {n!}}}$, tenemos $${\displaystyle {\sqrt {\tanh(t/2)}}\exp \left(-{\frac {e^{-t}(x^{2}+y^{2})-2xy}{4\sinh t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }(1-e^{-t})e^{-nt}~h_{n}(x)h_{n}(y)}$$

En física, la solución fundamental ( función de Green ) o propagador del hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico se llama núcleo de Mehler . Proporciona la solución fundamental ^{[ 4 ].}${\displaystyle \varphi (x,t)}$a $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}$$

Las autofunciones ortonormales del operador${\displaystyle D}$son las funciones de Hermite , $${\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\,e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}$$ con los autovalores correspondientes${\displaystyle (-2n-1)}$, proporcionando soluciones particulares $${\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}.}$$

La solución general es entonces una combinación lineal de estas; cuando se ajusta a la condición inicial.${\displaystyle \varphi (x,0)}$, la solución general se reduce a $${\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}$$ donde el núcleo${\displaystyle K}$tiene la representación separable $${\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)~.}$$

Utilizando la fórmula de Mehler se obtiene entonces $${\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left({\frac {4xy\rho -\left(1+\rho ^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)}~.}$$

Al sustituir esto en la expresión para${\displaystyle K}$con el valor${\displaystyle e^{-2t}}$para${\displaystyle \rho }$, el núcleo de Mehler finalmente se lee

Cuando${\displaystyle t=0}$, variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$coinciden, dando como resultado la fórmula límite necesaria por la condición inicial , $${\displaystyle K(x,y;0)=\delta (x-y)~.}$$

Como solución fundamental, el núcleo es aditivo, $${\displaystyle \int dy\,K(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t{+}t')~.}$$

Esto se relaciona además con la estructura de rotación simpléctica del núcleo.${\displaystyle K}$. ^{[ 5 ]}

Cuando se utilizan las convenciones físicas habituales para definir el oscilador armónico cuántico en lugar de mediante $${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,}$$ y asumiendo escalas naturales de longitud y energía , entonces el núcleo de Mehler se convierte en el propagador de Feynman.${\displaystyle K_{H}}$que dice $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x\right|\exp(-itH)\left|y\right\rangle &\equiv K_{H}(x,y;t)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,\end{aligned}}}$$ es decir${\displaystyle K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).}$

Cuando${\displaystyle t>\pi }$el${\displaystyle i\sin t}$en la raíz cuadrada inversa debe ser reemplazado por${\displaystyle \left|\sin t\right|}$y${\displaystyle K_{H}}$debe multiplicarse por un factor de fase de Maslov adicional ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \exp \left(i\theta _{\text{Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).}$$

Cuando${\displaystyle t=\pi /2}$La solución general es proporcional a la transformada de Fourier.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de las condiciones iniciales${\displaystyle \varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)}$desde $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x,\,t{=}{\tfrac {\pi }{2}})&=\int K_{H}(x,y;{\tfrac {\pi }{2}})\varphi (y,0)\,dy\\[1ex]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int e^{-ixy}\varphi (y,0)\,dy\\[1ex]&=e^{-i\pi /4}{\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,\end{aligned}}}$$ y la transformada exacta de Fourier se obtiene así a partir del operador de número del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[ 7 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}N&\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~\end{aligned}}}$$ ya que el núcleo resultante $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x\right|\exp(-itN)\left|y\right\rangle &\equiv K_{N}(x,y;t)\\&=e^{it/2}K_{H}(x,y;t)\\&=e^{it/2}K(x,y;it/2)\end{aligned}}}$$ también compensa el factor de fase que aún surge en${\displaystyle K_{H}}$y${\displaystyle K}$, es decir $${\displaystyle \varphi (x,\,t{=}{\tfrac {\pi }{2}})=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}$$ lo que demuestra que el operador numérico puede interpretarse a través del núcleo de Mehler como el generador de transformadas fraccionarias de Fourier para valores arbitrarios de${\displaystyle t}$y de la transformada de Fourier convencional${\displaystyle {\mathcal {F}}}$para el valor particular${\displaystyle t=\pi /2}$, con el núcleo de Mehler proporcionando una transformación activa , mientras que la transformación pasiva correspondiente ya está integrada en el cambio de base del espacio de posición al espacio de momento . Las funciones propias de${\displaystyle N}$son las funciones habituales de Hermite${\displaystyle \psi _{n}(x)}$que por lo tanto también son autofunciones de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. ^{[ 8 ]}

Hay muchas pruebas de la fórmula.

La fórmula es un caso especial de la fórmula de Hardy-Hille , que utiliza el hecho de que los polinomios de Hermite son un caso especial de los polinomios de Laguerre asociados :$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=\left(-1\right)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=\left(-1\right)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$$La fórmula es un caso especial de la fórmula de Kibble-Slepian , por lo que cualquier demostración de la misma produce inmediatamente una demostración de la fórmula de Mehler. ^{[ 9 ]}

Foata dio una demostración combinatoria de la fórmula. ^{[ 10 ]}

Hardy dio una demostración simple mediante la representación integral de Fourier de los polinomios de Hermite. ^{[ 11 ]} Usando la transformada de Fourier de la Gaussiana${\textstyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$, tenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=\left(-1\right)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\\&={\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int \left(-2it\right)^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\end{aligned}}}$$de la cual la suma${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)}$se convierte en una integral doble sobre una sumatoria$${\displaystyle {\frac {e^{x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(t^{2}+s^{2}\right)+2i(xt+ys)}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-2ts\rho \right)^{n}}{n!}}dt\,ds}$$que pueden evaluarse directamente como dos integrales gaussianas .

El resultado de Mehler también puede vincularse a la probabilidad. Para ello, las variables deben reescalarse como${\displaystyle x\to x/{\sqrt {2}}}$,${\displaystyle y\to y/{\sqrt {2}}}$, para cambiar de los polinomios de Hermite del "físico"${\displaystyle H(\cdot )}$(con función de peso)${\displaystyle e^{-x^{2}}}$) a los polinomios de Hermite "probabilísticos"${\displaystyle \operatorname {He} (\cdot )}$(con función de peso)${\displaystyle \exp(-x^{2}/2)}$). Satisfacen$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),&\operatorname {He} _{n}(x)&=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}{\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}.\end{aligned}}}$$Entonces,${\displaystyle E}$se convierte $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\rho xy}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$

El lado izquierdo aquí es${\displaystyle p(x,y)/p(x)p(y)}$dónde${\displaystyle p(x,y)}$es la función de densidad de probabilidad gaussiana bivariada para variables${\displaystyle x,y}$con media cero y varianza unitaria: $${\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$$ y${\displaystyle p(x),p(y)}$son las densidades de probabilidad correspondientes de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$(ambas normales estándar).

A continuación se presenta la forma del resultado que se suele citar (Kibble 1945) ^{[ 12 ].}$${\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$

El exponente se puede escribir de forma más simétrica:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left({\frac {\rho (x+y)^{2}}{4(1+\rho )}}-{\frac {\rho (x-y)^{2}}{4(1-\rho )}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$Esta expansión se deriva más fácilmente utilizando la transformada de Fourier bidimensional de${\displaystyle p(x,y)}$, que es $${\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2}\right)\right).}$$

Esto puede ampliarse como $${\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}$$ La transformada inversa de Fourier produce inmediatamente la fórmula de expansión anterior.

Este resultado puede extenderse al caso multidimensional. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

Erdélyi lo expresó como una integral sobre el plano complejo ^{[ 15 ].}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)={\frac {1}{\pi t}}\iint \exp \left[-{\frac {u^{2}+v^{2}}{\rho }}+(u+iv)x+(u-iv)y-{\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}-{\frac {1}{2}}(u-iv)^{2}\right]du\,dv.}$$que se puede integrar con dos integrales gaussianas, lo que da como resultado la fórmula de Mehler.

Dado que Hermite funciona${\displaystyle \psi _{n}}$son autofunciones ortonormales de la transformada de Fourier , $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=\left(-i\right)^{n}\psi _{n}(y)~,}$$ en análisis armónico y procesamiento de señales , diagonalizan el operador de Fourier, $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$$

Por lo tanto, la generalización continua para ángulos reales${\displaystyle \alpha }$puede definirse fácilmente ( Wiener , 1929; ^{[ 16 ]} Condon , 1937 ^{[ 17 ]} ), la transformada fraccional de Fourier (FrFT), con núcleo $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$$

Esta es una familia continua de transformadas lineales que generalizan la transformada de Fourier , de tal manera que, para${\displaystyle \alpha =\pi /2}$, se reduce a la transformada de Fourier estándar, y para${\displaystyle \alpha =-\pi /2}$a la transformada inversa de Fourier.

La fórmula de Mehler, para${\displaystyle \rho =e^{-i\alpha }}$, por lo tanto proporciona directamente $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{{\frac {i}{2}}\cot(\alpha )y^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )yx-{\frac {1}{2}}\!\cot(\alpha )x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$ La raíz cuadrada se define de tal manera que el argumento del resultado se encuentra en el intervalo${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$.

Si${\displaystyle \alpha }$es un múltiplo entero de${\displaystyle \pi }$, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. En el límite , el núcleo se convierte en una función delta de Dirac en el integrando,${\displaystyle \delta (x-y)}$o${\displaystyle \delta (x+y)}$, para${\displaystyle \alpha }$un múltiplo par o impar de${\displaystyle \pi }$, respectivamente. Dado que${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[f]=f(-x)}$,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f]}$debe ser simplemente${\displaystyle f(x)}$o${\displaystyle f(-x)}$para${\displaystyle \alpha }$un múltiplo par o impar de${\displaystyle \pi }$, respectivamente.

• Representación del oscilador §  Oscilador armónico y funciones de Hermite
• núcleo de calor
• Polinomios de Hermite
• Funciones de cilindros parabólicos
• Polinomios de Laguerre §  Fórmula de Hardy-Hille

• Nicole Berline, Ezra Getzler y Michèle Vergne (2013). Heat Kernels y Dirac Operadores , (Springer: Grundlehren Text Editions) ISBN en rústica 3540200622
• Louck, JD (1981). "Extensión de la fórmula de Kibble-Slepian para polinomios de Hermite utilizando métodos de operadores bosónicos" . Advances in Applied Mathematics . 2 (3): 239– 249. doi : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 .
• Srivastava, HM; Singhal, JP (1972). "Algunas extensiones de la fórmula de Mehler" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 31 : 135–141 . doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0285738-4 .