Matemáticas

La teoría de números evolucionó a partir de la manipulación de los números , es decir, de los números naturales.${\displaystyle (\mathbb {N}),}$y posteriormente se amplió a números enteros${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$y números racionales${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$La teoría de números se denominaba antiguamente aritmética, pero hoy en día este término se usa principalmente para cálculos numéricos . ^{[ 17 ]} El estudio de los números se remonta probablemente a la antigua Babilonia y posiblemente a China , pero se desarrolló como una disciplina distinta en la Antigua Grecia . Dos destacados teóricos de los números de la época fueron Euclides y Diofanto de Alejandría . ^{[ 18 ]} El estudio moderno de la teoría de números en su forma abstracta se atribuye en gran medida a Pierre de Fermat y Leonhard Euler . El campo alcanzó su pleno desarrollo con las contribuciones de Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss . ^{[ 19 ]}

Muchos problemas numéricos aparentemente sencillos tienen soluciones que requieren métodos sofisticados, a menudo provenientes de diversas ramas de las matemáticas. Un ejemplo destacado es el Último Teorema de Fermat . Esta conjetura fue enunciada en 1637 por Pierre de Fermat, pero no fue demostrada hasta 1994 por Andrew Wiles , quien utilizó herramientas como la teoría de esquemas de la geometría algebraica , la teoría de categorías y el álgebra homológica . ^{[ 20 ]} Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Enunciada en 1742 por Christian Goldbach , sigue sin ser demostrada a pesar de los considerables esfuerzos realizados. ^{[ 21 ]}

La teoría de números incluye varias subáreas, entre ellas la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría de números (orientada a métodos), el análisis diofántico y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas). ^{[ 9 ]}

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con fórmulas empíricas sobre formas, como líneas , ángulos y círculos , que se desarrollaron principalmente para las necesidades de la topografía y la arquitectura , pero desde entonces se ha expandido a muchos otros subcampos. ^{[ 22 ]}

Una innovación fundamental fue la introducción por parte de los antiguos griegos del concepto de demostración , que exige que toda afirmación sea probada . Por ejemplo, no basta con verificar mediante la medición que, digamos, dos longitudes son iguales; su igualdad debe probarse mediante el razonamiento a partir de resultados previamente aceptados ( teoremas ) y algunas afirmaciones básicas. Estas afirmaciones básicas no están sujetas a demostración porque son evidentes por sí mismas ( postulados ) o forman parte de la definición del objeto de estudio ( axiomas ). Este principio, fundamental para todas las matemáticas, se elaboró ​​por primera vez para la geometría y fue sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a. C. en su libro Elementos . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas, planos y círculos en el plano euclidiano ( geometría plana ) y el espacio euclidiano tridimensional . ^{[ b ] [ 22 ]}

La geometría euclidiana se desarrolló sin cambios en sus métodos ni alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que hoy se conoce como coordenadas cartesianas . Esto supuso un cambio de paradigma fundamental : en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de línea (véase recta numérica ), permitió la representación de puntos mediante sus coordenadas , que son números. De este modo, el álgebra (y posteriormente el cálculo) puede utilizarse para resolver problemas geométricos. La geometría se dividió en dos nuevos subcampos: la geometría sintética , que utiliza métodos puramente geométricos, y la geometría analítica , que utiliza coordenadas de forma sistemática. ^{[ 25 ]}

La geometría analítica permite el estudio de curvas que no están relacionadas con círculos ni líneas. Dichas curvas pueden definirse como la gráfica de funciones , cuyo estudio dio origen a la geometría diferencial . También pueden definirse como ecuaciones implícitas , a menudo ecuaciones polinómicas (que dieron lugar a la geometría algebraica ). La geometría analítica también permite considerar espacios euclidianos de más de tres dimensiones. ^{[ 22 ]}

En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron geometrías no euclidianas , que no siguen el postulado de las paralelas . Al cuestionar la veracidad de dicho postulado, este descubrimiento se ha interpretado como un elemento que se suma a la paradoja de Russell al revelar la crisis fundamental de las matemáticas . Este aspecto de la crisis se resolvió sistematizando el método axiomático y adoptando la idea de que la veracidad de los axiomas elegidos no constituye un problema matemático. ^{[ 26 ] [ 8 ]} A su vez, el método axiomático permite el estudio de diversas geometrías obtenidas mediante el cambio de los axiomas o considerando propiedades que no varían bajo transformaciones específicas del espacio . ^{[ 27 ]}

Las subáreas de la geometría actuales incluyen: ^{[ 9 ]}

• La geometría proyectiva , introducida en el siglo XVI por Girard Desargues , extiende la geometría euclidiana añadiendo puntos en el infinito donde se intersecan las líneas paralelas . Esto simplifica muchos aspectos de la geometría clásica al unificar el tratamiento de las líneas secantes y paralelas.
• Geometría afín , el estudio de las propiedades relativas al paralelismo e independientes del concepto de longitud.
• Geometría diferencial , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante funciones diferenciables .
• La teoría de las variedades estudia las formas que no necesariamente están incrustadas en un espacio mayor.
• Geometría riemanniana , el estudio de las propiedades de distancia en espacios curvos.
• Geometría algebraica , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante polinomios .
• Topología , el estudio de las propiedades que se mantienen bajo deformaciones continuas .
  • Topología algebraica , el uso en topología de métodos algebraicos, principalmente álgebra homológica .
• Geometría discreta , el estudio de configuraciones finitas en geometría.
• La geometría convexa , el estudio de los conjuntos convexos , debe su importancia a sus aplicaciones en la optimización .
• Geometría compleja , la geometría que se obtiene al sustituir los números reales por números complejos .

El álgebra es el arte de manipular ecuaciones y fórmulas. Diofanto (siglo III) y al-Juarismi (siglo IX) fueron los dos principales precursores del álgebra. ^{[ 29 ] [ 30 ]} Diofanto resolvió algunas ecuaciones que involucraban números naturales desconocidos deduciendo nuevas relaciones hasta obtener la solución. ^{[ 31 ]} Al-Juarismi introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones, como mover un término de un lado de la ecuación al otro. ^{[ 32 ]} El término álgebra deriva de la palabra árabe al-jabr, que significa "la reunión de partes rotas", y que utilizó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

El álgebra se convirtió en un campo independiente solo con François Viète (1540–1603), quien introdujo el uso de variables para representar números desconocidos o no especificados. ^{[ 35 ]} Las variables permiten a los matemáticos describir las operaciones que deben realizarse sobre los números representados mediante fórmulas matemáticas . ^{[ 36 ]}

Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de ecuaciones lineales (actualmente álgebra lineal ) y ecuaciones polinómicas con una sola incógnita , denominadas ecuaciones algebraicas (término que aún se utiliza, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a usar variables para representar elementos distintos de los números (como matrices , enteros modulares y transformaciones geométricas ), sobre los cuales suelen ser válidas generalizaciones de las operaciones aritméticas. ^{[ 37 ]} El concepto de estructura algebraica aborda esta cuestión, consistiendo en un conjunto cuyos elementos no están especificados, operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y reglas que estas operaciones deben seguir. De este modo, el alcance del álgebra se amplió para incluir el estudio de las estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra se denominó álgebra moderna o álgebra abstracta , establecida por la influencia y los trabajos de Emmy Noether , ^{[ 38 ]} y popularizada por el libro Moderne Algebra de Van der Waerden .

Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades útiles y a menudo fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio se convirtió en parte autónoma del álgebra e incluye: ^{[ 9 ]}

• teoría de grupos
• teoría de campos
• espacios vectoriales , cuyo estudio es esencialmente el mismo que el del álgebra lineal
• teoría de anillos
• El álgebra conmutativa , que es el estudio de los anillos conmutativos , incluye el estudio de los polinomios y es una parte fundamental de la geometría algebraica.
• álgebra homológica
• Álgebra de Lie y teoría de grupos de Lie
• El álgebra booleana , que se utiliza ampliamente para el estudio de la estructura lógica de las computadoras.

El estudio de los tipos de estructuras algebraicas como objetos matemáticos es el objetivo del álgebra universal y la teoría de categorías . ^{[ 39 ]} Esta última se aplica a toda estructura matemática (no solo a las algebraicas). En sus orígenes, se introdujo, junto con el álgebra homológica, para permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos ; esta área de aplicación particular se denomina topología algebraica . ^{[ 40 ]}

El cálculo, antes llamado cálculo infinitesimal, fue introducido de forma independiente y simultánea por los matemáticos del siglo XVII Newton y Leibniz . ^{[ 41 ]} Es fundamentalmente el estudio de la relación entre variables que dependen continuamente unas de otras. Euler amplió el cálculo en el siglo XVIII con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. ^{[ 42 ]} Actualmente, «cálculo» se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y «análisis» se usa comúnmente para las partes avanzadas. ^{[ 43 ]}

El análisis se subdivide a su vez en análisis real , donde las variables representan números reales , y análisis complejo , donde las variables representan números complejos . El análisis incluye muchas subáreas compartidas con otras áreas de las matemáticas, entre las que se incluyen: ^{[ 9 ]}

• Cálculo multivariable
• Análisis funcional , donde las variables representan funciones variables.
• Integración , teoría de la medida y teoría del potencial , todas ellas estrechamente relacionadas con la teoría de la probabilidad en un continuo.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Ecuaciones diferenciales parciales
• Análisis numérico , dedicado principalmente al cálculo de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en muchas aplicaciones.

En términos generales, las matemáticas discretas son el estudio de objetos matemáticos individuales y contables . Un ejemplo es el conjunto de todos los números enteros. ^{[ 44 ]} Debido a que los objetos de estudio son discretos, los métodos del cálculo y del análisis matemático no se aplican directamente. ^{[ c ]} Los algoritmos —especialmente su implementación y complejidad computacional— desempeñan un papel fundamental en las matemáticas discretas. ^{[ 45 ]}

El teorema de los cuatro colores y el empaquetamiento óptimo de esferas fueron dos problemas importantes de las matemáticas discretas que se resolvieron en la segunda mitad del siglo XX. ^{[ 46 ]} El problema P versus NP , que sigue abierto hasta el día de hoy, también es importante para las matemáticas discretas, ya que su solución podría tener un impacto en un gran número de problemas computacionalmente difíciles . ^{[ 47 ]}

Las matemáticas discretas incluyen: ^{[ 9 ]}

• La combinatoria es el arte de enumerar objetos matemáticos que satisfacen ciertas restricciones. Originalmente, estos objetos eran elementos o subconjuntos de un conjunto dado ; esto se ha extendido a diversos objetos, lo que establece un fuerte vínculo entre la combinatoria y otras ramas de las matemáticas discretas. Por ejemplo, la geometría discreta incluye el conteo de configuraciones de figuras geométricas .
• Teoría de grafos e hipergrafos
• Teoría de la codificación , incluidos los códigos correctores de errores y una parte de la criptografía.
• teoría de los matroides
• Geometría discreta
• Distribuciones de probabilidad discretas
• Teoría de juegos (aunque también se estudian los juegos continuos , la mayoría de los juegos comunes, como el ajedrez y el póker, son discretos).
• Optimización discreta , incluyendo optimización combinatoria , programación entera y programación con restricciones.

Las dos disciplinas de la lógica matemática y la teoría de conjuntos pertenecen a las matemáticas desde finales del siglo XIX. ^{[ 48 ] [ 49 ]} Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos, y la lógica , aunque se utilizaba para demostraciones matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos. ^{[ 50 ]}

Antes del estudio de Cantor sobre conjuntos infinitos , los matemáticos se mostraban reacios a considerar colecciones realmente infinitas y consideraban que el infinito era el resultado de una enumeración sin fin . El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no solo por considerar conjuntos realmente infinitos ^{[ 51 ]} , sino también por demostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito, según el argumento diagonal de Cantor . Esto dio lugar a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor ^{[ 52 ]} . En ese mismo período, diversas áreas de las matemáticas concluyeron que las definiciones intuitivas anteriores de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para garantizar el rigor matemático ^{[ 53 ]} .

Esto se convirtió en la crisis fundacional de las matemáticas. ^{[ 54 ]} Finalmente se resolvió en las matemáticas convencionales mediante la sistematización del método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada . En términos generales, cada objeto matemático se define por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. ^{[ 16 ]} Por ejemplo, en la aritmética de Peano , los números naturales se definen por "el cero es un número", "cada número tiene un sucesor único", "cada número excepto el cero tiene un predecesor único" y algunas reglas de razonamiento. ^{[ 55 ]} Esta abstracción matemática de la realidad se materializa en la filosofía moderna del formalismo , fundada por David Hilbert alrededor de 1910. ^{[ 56 ]}

La «naturaleza» de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan en manos de los filósofos, aunque muchos matemáticos tengan opiniones sobre esta naturaleza y utilicen su opinión —a veces llamada «intuición» — para guiar su estudio y sus demostraciones. Este enfoque permite considerar las «lógicas» (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), los teoremas, las demostraciones, etc., como objetos matemáticos y probar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que en todo sistema formal consistente que contiene los números naturales, existen teoremas que son verdaderos (es decir, demostrables en un sistema más fuerte), pero no demostrables dentro del sistema. ^{[ 57 ]} Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos liderados por Brouwer , quien promovió la lógica intuicionista (que carece explícitamente del principio del tercero excluido ). ^{[ 58 ] [ 59 ]}

Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelado de algunas teorías lógicas dentro de otras teorías), la teoría de la demostración , la teoría de tipos , la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional . ^{[ 9 ]} Si bien estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del auge de las computadoras , su uso en el diseño de compiladores , la verificación formal , el análisis de programas , los asistentes de demostración y otros aspectos de la informática , contribuyeron a su vez a la expansión de estas teorías lógicas. ^{[ 60 ]}

Las matemáticas computacionales son el estudio de problemas matemáticos que suelen ser demasiado grandes para la capacidad de cálculo humana. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

Parte de las matemáticas computacionales implica el análisis numérico , que se dedica al cálculo con aproximaciones de números reales ( aritmética de punto flotante ). El análisis numérico proporciona métodos para problemas de análisis utilizando análisis funcional y teoría de la aproximación . El análisis numérico incluye ampliamente el estudio de la aproximación y la discretización , con especial énfasis en los errores de redondeo . ^{[ 63 ]} El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica, también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente la teoría algorítmica de matrices y grafos .

Otra área de las matemáticas computacionales es el álgebra computacional , que consiste principalmente en la manipulación de fórmulas matemáticas en una computadora.

La demostración automatizada de teoremas , que incluye asistentes de demostración y verificadores de demostración, es otra área de las matemáticas computacionales que se utiliza para la verificación formal y permite la demostración formal de teoremas matemáticos difíciles, como el teorema de Feit-Thompson sobre grupos finitos .

La algoritmia , una parte importante de las matemáticas discretas , y la criptografía de clave pública también se consideran a menudo parte de las matemáticas computacionales.

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa « algo aprendido, conocimiento, matemáticas » , y de la expresión derivada mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ), que significa « ciencia matemática » . Entró en el idioma inglés durante el período del inglés medio tardío a través del francés y el latín. ^{[ 64 ]}

Tradicionalmente, una de las dos principales escuelas de pensamiento del pitagorismo se conocía como mathēmatikoi (μαθηματικοί) , que en aquel entonces significaba «aprendices» en lugar de «matemáticos» en el sentido moderno. Es probable que los pitagóricos fueran los primeros en restringir el uso de la palabra al estudio de la aritmética y la geometría. Para la época de Aristóteles (384-322  a. C.), este significado ya estaba plenamente establecido. ^{[ 65 ]}

En latín e inglés, hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (o a veces " astronomía ") que "matemáticas"; el significado cambió gradualmente hasta su significado actual entre 1500 y 1800 aproximadamente. Este cambio ha dado lugar a varias traducciones erróneas: por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos debían tener cuidado con los mathematici , que significa "astrólogos", a veces se traduce erróneamente como una condena a los matemáticos. ^{[ 66 ]}

La forma plural aparente en inglés se remonta al plural neutro latino mathematica ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) y significa aproximadamente "todas las cosas matemáticas", aunque es plausible que el inglés solo tomara prestado el adjetivo mathematic(al) y formara el sustantivo mathematics de nuevo, siguiendo el patrón de physics y metaphysics , heredado del griego. ^{[ 67 ]} En inglés, el sustantivo mathematics lleva un verbo singular. A menudo se abrevia a maths ^{[ 68 ]} o, en Norteamérica, math . ^{[ 69 ]}

Además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pudieron haber sabido contar cantidades abstractas, como el tiempo : días, estaciones o años. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

La evidencia arqueológica ha sugerido que el sistema de numeración del Antiguo Egipto tuvo sus orígenes en el África subsahariana. ^{[ 72 ]} Además, los diseños de geometría fractal, muy extendidos entre las culturas del África subsahariana, también se encuentran en la arquitectura egipcia y en los signos cosmológicos. ^{[ 73 ]} El hueso de Ishango , según el erudito Alexander Marshack , pudo haber influido en el desarrollo posterior de las matemáticas en Egipto, ya que, al igual que algunas entradas en el hueso de Ishango, la aritmética egipcia también utilizaba la multiplicación por 2; sin embargo, esto es discutido. ^{[ 74 ]} Las estructuras megalíticas ubicadas en Nabta Playa , Alto Egipto, presentaban astronomía , disposiciones del calendario alineadas con la salida helíaca de Sirio y apoyaban la calibración del calendario anual para la crecida anual del Nilo. ^{[ 75 ]} Los antiguos nubios establecieron un sistema de reglas geométricas que sirvió de base para los primeros relojes solares . Los nubios también emplearon una metodología trigonométrica comparable a la de sus homólogos egipcios. ^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}

La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000 a. C. , cuando los babilonios y egipcios comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría para la tributación y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía. ^{[ 80 ]} Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto datan de entre el 2000 y el 1800 a. C. ^{[ 81 ]} Muchos textos antiguos mencionan las ternas pitagóricas , por lo que, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas donde la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y usaban un sistema de numeración sexagesimal que todavía se usa hoy en día para medir ángulos y tiempo. ^{[ 82 ]}  

Hacia el siglo V a. C., las matemáticas griegas comenzaron a emerger como una disciplina distinta y algunos griegos antiguos , como los pitagóricos, parecían haberla considerado una materia por derecho propio. ^{[ 83 ]} Alrededor del año 300 a. C., Euclides organizó el conocimiento matemático a través de postulados y primeros principios, que evolucionaron en el método axiomático que se utiliza en matemáticas hoy en día, consistente en definición, axioma, teorema y demostración. ^{[ 84 ]} Su libro, Elementos , abarca geometría y teoría de números y es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. ^{[ 85 ]} Otro matemático notable de la antigüedad es Arquímedes de Siracusa ( c. 287 – c. 212 a. C. ). ^{[ 86 ]} Desarrolló métodos para calcular el área de superficie y el volumen de sólidos de revolución , incluyendo el uso del método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera que recuerda al cálculo moderno. ^{[ 87 ]} Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perga , siglo III a. C.), ^{[ 88 ]} la trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a. C.), ^{[ 89 ]} y los comienzos del álgebra premoderna (Diófanto, siglo III d. C.). ^{[ 90 ]} 

El sistema de numeración indoarábigo y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día, evolucionaron a lo largo del primer milenio d. C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . ^{[ 91 ]} Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición moderna y la aproximación del seno y el coseno , y una forma temprana de series infinitas . ^{[ 92 ] [ 93 ]}

Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X  , las matemáticas experimentaron importantes innovaciones basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra . Otros logros del período islámico incluyen avances en trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración arábigo. ^{[ 94 ]} Muchos matemáticos notables de este período fueron persas, como Al-Juarismi , Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī . ^{[ 95 ]} Los textos matemáticos griegos y árabes fueron a su vez traducidos al latín durante la Edad Media y se difundieron en Europa. ^{[ 96 ]}

Durante la primera época moderna , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa Occidental , con innovaciones que revolucionaron la disciplina, como la introducción de variables y notación simbólica por François Viète (1540-1603), la introducción de logaritmos por John Napier en 1614, que simplificó enormemente los cálculos numéricos, especialmente en astronomía y navegación marítima , la introducción de coordenadas por René Descartes (1596-1650) para reducir la geometría al álgebra, y el desarrollo del cálculo por Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más destacado del siglo XVIII, unificó estas innovaciones en un corpus único con una terminología estandarizada y las completó con el descubrimiento y la demostración de numerosos teoremas.

Quizás el matemático más destacado del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss , quien realizó numerosas contribuciones a campos como el álgebra, el análisis, la geometría diferencial , la teoría de matrices , la teoría de números y la estadística . ^{[ 97 ]} A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud , que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente —si es lo suficientemente potente como para describir la aritmética— contendrá proposiciones verdaderas que no pueden ser demostradas. ^{[ 57 ]}

Desde entonces, las matemáticas se han expandido enormemente y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia , en beneficio de ambas. Los descubrimientos matemáticos continúan realizándose hasta el día de hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en el  número de enero de 2006 del Boletín de la Sociedad Matemática Americana , «El número de artículos y libros incluidos en la base de datos de Mathematical Reviews (MR) desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) supera actualmente los 1,9  millones, y cada año se añaden más de 75.000  elementos a la base de datos. La inmensa mayoría de las obras en este vasto universo contienen nuevos teoremas matemáticos y sus demostraciones». ^{[ 98 ]}

Isaac Newton (izquierda) y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo infinitesimal.

Hasta el siglo XIX, no existía una distinción clara entre matemáticas puras y aplicadas tal como se entienden hoy en día. ^{[ 116 ]} La distinción entre desarrollar las matemáticas por sí mismas o por sus aplicaciones era bastante fluida: los números naturales y la aritmética se introdujeron por la necesidad de contar, y la geometría fue motivada por la topografía, la arquitectura y la astronomía, pero ambas disciplinas pronto se consolidaron como campos independientes. Posteriormente, Isaac Newton utilizó el cálculo infinitesimal, en parte, para ayudar a explicar el movimiento de los planetas y su ley de gravitación. Además, desde la antigüedad, la mayoría de los matemáticos también eran científicos, y muchos científicos también eran matemáticos. ^{[ 117 ]} No obstante, la tradición occidental de las matemáticas puras remonta sus raíces a la Antigua Grecia. ^{[ 118 ]} El problema de la factorización de enteros , por ejemplo, que se remonta a Euclides en el año 300 a. C., no tuvo ninguna aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA , ahora ampliamente utilizado para la seguridad de las redes informáticas . ^{[ 119 ]}

En el siglo XIX, matemáticos como Karl Weierstrass y Richard Dedekind centraron cada vez más su investigación en problemas internos, es decir, en matemáticas puras . ^{[ 116 ] [ 120 ]} Esto llevó a la división de las matemáticas en matemáticas puras y matemáticas aplicadas , considerándose estas últimas a menudo de menor valor entre los puristas matemáticos. Sin embargo, los límites entre ambas suelen ser difusos. ^{[ 121 ]}

Las consecuencias de la Segunda Guerra Mundial propiciaron un auge en el desarrollo de las matemáticas aplicadas en Estados Unidos y otros países. ^{[ 122 ] [ 123 ]} Muchas de las teorías desarrolladas para aplicaciones resultaron interesantes desde el punto de vista de las matemáticas puras, y se demostró que muchos resultados de las matemáticas puras tenían aplicaciones fuera de este campo; a su vez, el estudio de estas aplicaciones puede aportar nuevas perspectivas sobre la «teoría pura». ^{[ 124 ] [ 125 ]}

Un ejemplo del primer caso es la teoría de distribuciones , introducida por Laurent Schwartz para validar cálculos realizados en mecánica cuántica , que se convirtió inmediatamente en una herramienta importante del análisis matemático (puro). ^{[ 126 ]} Un ejemplo del segundo caso es la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales , un problema de matemáticas puras que Alfred Tarski demostró que era cierto , con un algoritmo imposible de implementar debido a una complejidad computacional demasiado alta. ^{[ 127 ]} Para obtener un algoritmo que se pueda implementar y que pueda resolver sistemas de ecuaciones e inecuaciones polinómicas, George Collins introdujo la descomposición algebraica cilíndrica que se convirtió en una herramienta fundamental en la geometría algebraica real . ^{[ 128 ]}

En la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más una cuestión de objetivos de investigación personales de los matemáticos que una división de las matemáticas en áreas amplias. ^{[ 129 ] [ 130 ]} La Clasificación de Materias Matemáticas tiene una sección para "matemáticas aplicadas generales" pero no menciona las "matemáticas puras". ^{[ 9 ]} Sin embargo, estos términos todavía se utilizan en los nombres de algunos departamentos universitarios , como en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge .

La eficacia irracional de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . ^{[ 5 ]} Se refiere al hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área original de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. ^{[ 131 ]} Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.

Un ejemplo notable es la factorización prima de los números naturales, descubierta más de 2000 años antes de su uso común para comunicaciones seguras en internet mediante el criptosistema RSA . ^{[ 132 ]} Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Los antiguos matemáticos griegos las estudiaron como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Casi 2000 años después, Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. ^{[ 133 ]}

En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemáticas puras) condujo a la definición y el estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En aquel entonces, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad, que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espaciotiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espaciotiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. ^{[ 134 ] [ 135 ]}

Un aspecto llamativo de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto se ilustra con los descubrimientos del positrón y el barión.${\displaystyle \Omega ^{-}.}$En ambos casos, las ecuaciones de las teorías presentaban soluciones inexplicables, lo que llevó a conjeturar la existencia de una partícula desconocida y a la búsqueda de dichas partículas. En ambos casos, estas partículas fueron descubiertas unos años después mediante experimentos específicos. ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}

La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos al menos desde la época de Pitágoras . El filósofo antiguo Platón sostenía que las abstracciones que reflejan la realidad material poseen una realidad propia que existe fuera del espacio y el tiempo. En consecuencia, la visión filosófica de que los objetos matemáticos existen de alguna manera por sí mismos en la abstracción se conoce a menudo como platonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden considerarse generalmente platónicos, puesto que conciben y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales. ^{[ 172 ]}

Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera, y proporcionó citas de GH Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. ^{[ 136 ]}

Algo se vuelve objetivo (en contraposición a lo «subjetivo») en cuanto nos convencemos de que existe en la mente de los demás de la misma forma que en la nuestra y de que podemos reflexionar sobre ello y discutirlo juntos. ^{[ 173 ]} Debido a la precisión del lenguaje matemático, resulta idóneo para definir conceptos sobre los que existe tal consenso. En mi opinión, esto basta para darnos la sensación de una existencia objetiva, de una realidad matemática…

Sin embargo, el platonismo y las concepciones concurrentes sobre la abstracción no explican la eficacia irracional de las matemáticas (ya que el platonismo presupone que las matemáticas existen independientemente, pero no explica por qué coinciden con la realidad). ^{[ 174 ]}

No existe un consenso general sobre la definición de matemáticas ni sobre su estatus epistemológico , es decir, su lugar dentro del conocimiento . Muchos matemáticos profesionales no se interesan por una definición de matemáticas o la consideran indefinible. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Algunos simplemente dicen: «las matemáticas son lo que hacen los matemáticos». ^{[ 175 ] [ 176 ]} Un enfoque común es definir las matemáticas por su objeto de estudio. ^{[ 177 ] [ 178 ] [ 179 ] [ 180 ]}

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que centrarse únicamente en la cantidad podría no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de los casos reales distinguen a las matemáticas. [ ^{181 ] En} el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a abordar temas —como los conjuntos infinitos— que no tienen una relación clara con la realidad física, se dieron diversas definiciones nuevas. ^{[ 182 ]} Con la gran cantidad de nuevas áreas de las matemáticas que han aparecido desde principios del siglo XX, definir las matemáticas por su objeto de estudio se ha vuelto cada vez más difícil. ^{[ 183 ]} Por ejemplo, en lugar de una definición, Saunders Mac Lane en Mathematics, form and function resume los fundamentos de varias áreas de las matemáticas, enfatizando su interconexión, y observa: ^{[ 184 ]}

El desarrollo de las matemáticas proporciona una red estrechamente interconectada de reglas, conceptos y sistemas formales. Los nodos de esta red están íntimamente ligados a procedimientos útiles en las actividades humanas y a cuestiones que surgen en la ciencia. La transición de las actividades a los sistemas matemáticos formales se guía por diversas ideas y perspectivas generales.

Otro enfoque para definir las matemáticas es utilizar sus métodos. Por ejemplo, un área de estudio suele calificarse como matemática en cuanto se pueden demostrar teoremas —afirmaciones cuya validez se basa en una demostración, es decir, en una deducción puramente lógica—. ^{[ d ] [ 185 ]}

El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las demostraciones deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de reglas de inferencia , ^{[ e ]} sin ningún uso de evidencia empírica ni intuición . ^{[ f ] [ 186 ]} El razonamiento riguroso no es exclusivo de las matemáticas, pero, en matemáticas, el estándar de rigor es mucho más alto que en otros ámbitos. A pesar de la concisión de las matemáticas , las demostraciones rigurosas pueden requerir cientos de páginas para expresarse, como el teorema de Feit-Thompson de 255 páginas . ^{[ g ]} La aparición de demostraciones asistidas por computadora ha permitido que la longitud de las demostraciones se expanda aún más. ^{[ h ] [ 187 ]} El resultado de esta tendencia es una filosofía de la demostración cuasi-empirista que no puede considerarse infalible, pero que tiene una probabilidad asociada. ^{[ 8 ]}

El concepto de rigor en matemáticas se remonta a la antigua Grecia, donde su sociedad fomentaba el razonamiento lógico y deductivo. Sin embargo, este enfoque riguroso tendía a desalentar la exploración de nuevos enfoques, como los números irracionales y el concepto de infinito. El método para demostrar pruebas rigurosas se perfeccionó en el siglo XVI mediante el uso de la notación simbólica. En el siglo XVIII, la transición social llevó a que los matemáticos se ganaran la vida enseñando, lo que propició una reflexión más profunda sobre los conceptos fundamentales de las matemáticas. Esto dio lugar a enfoques más rigurosos, con una transición de los métodos geométricos a las demostraciones algebraicas y, posteriormente, a las aritméticas. ^{[ 8 ]}

A finales del siglo XIX, parecía que las definiciones de los conceptos básicos de las matemáticas no eran lo suficientemente precisas para evitar paradojas (geometrías no euclidianas y función de Weierstrass ) y contradicciones (paradoja de Russell). Esto se resolvió con la inclusión de axiomas en las reglas de inferencia apodícticas de las teorías matemáticas; la reintroducción del método axiomático iniciado por los antiguos griegos. ^{[ 8 ]} De ello se deduce que el «rigor» ya no es un concepto relevante en matemáticas, puesto que una demostración es correcta o errónea, y una «demostración rigurosa» es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos sociales de una demostración, donde puede ser refutada demostrablemente por otros matemáticos. Después de que una demostración ha sido aceptada durante muchos años o incluso décadas, puede considerarse fiable. ^{[ 188 ]}

Sin embargo, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una demostración matemática. ^{[ 189 ]}

Las matemáticas poseen una notable capacidad para trascender fronteras culturales y épocas. Como actividad humana , la práctica de las matemáticas tiene una dimensión social que abarca la educación , las carreras profesionales , el reconocimiento , la divulgación , etc. En educación, las matemáticas constituyen una parte fundamental del currículo y un elemento importante de las disciplinas académicas STEM . Entre las carreras más destacadas para los matemáticos profesionales se encuentran la de profesor de matemáticas, estadístico , actuario , analista financiero , economista , contable , operador de materias primas o consultor informático . ^{[ 190 ]}

La evidencia arqueológica muestra que la instrucción en matemáticas se produjo ya en el segundo milenio a. C. en la antigua Babilonia. ^{[ 191 ]} Se ha desenterrado evidencia comparable de la formación matemática de escribas en el antiguo Cercano Oriente y luego en el mundo grecorromano a partir de alrededor del 300 a. C. ^{[ 192 ]} El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro de Rhind , datado de c. 1650 a. C. en Egipto. ^{[ 193 ]} Debido a la escasez de libros, las enseñanzas matemáticas en la antigua India se comunicaban mediante la tradición oral memorizada desde el período védico ( c. 1500 – c. 500 a. C. ). ^{[ 194 ]} En la China imperial durante la dinastía Tang (618–907 d. C.), se adoptó un currículo de matemáticas para el examen de servicio civil para ingresar a la burocracia estatal. ^{[ 195 ]} 

Tras la Edad Media , la enseñanza de las matemáticas en Europa se impartía en escuelas religiosas como parte del Quadrivium . La instrucción formal en pedagogía comenzó con las escuelas jesuitas en los siglos XVI y XVII. La mayoría de los currículos matemáticos se mantuvieron en un nivel básico y práctico hasta el siglo XIX, cuando comenzaron a florecer en Francia y Alemania. La revista más antigua dedicada a la enseñanza de las matemáticas fue L'Enseignement Mathématique , que comenzó a publicarse en 1899. ^{[ 196 ]} Los avances occidentales en ciencia y tecnología llevaron al establecimiento de sistemas educativos centralizados en muchos estados-nación, con las matemáticas como componente central , inicialmente por sus aplicaciones militares. ^{[ 197 ]} Si bien el contenido de los cursos varía, en la actualidad casi todos los países enseñan matemáticas a los estudiantes durante un tiempo considerable. ^{[ 198 ]}

Durante la etapa escolar, las habilidades matemáticas y las expectativas positivas tienen una fuerte asociación con el interés profesional en el campo. Factores extrínsecos como la motivación y la retroalimentación de profesores, padres y compañeros pueden influir en el nivel de interés por las matemáticas. ^{[ 199 ]} Algunos estudiantes de matemáticas pueden desarrollar aprensión o temor respecto a su desempeño en la materia. Esto se conoce como ansiedad matemática y se considera el trastorno más prominente que afecta el rendimiento académico. La ansiedad matemática puede desarrollarse debido a diversos factores, como las actitudes de padres y profesores, los estereotipos sociales y los rasgos personales. La ayuda para contrarrestar la ansiedad puede provenir de cambios en los enfoques de enseñanza, de la interacción con padres y profesores, y de tratamientos personalizados para cada individuo. ^{[ 200 ]}

La validez de un teorema matemático depende únicamente del rigor de su demostración, que teóricamente podría realizarse automáticamente mediante un programa informático . Esto no significa que no haya lugar para la creatividad en un trabajo matemático. Al contrario, muchos resultados matemáticos importantes (teoremas) son soluciones a problemas que otros matemáticos no lograron resolver, y la invención de una forma de resolverlos puede ser una vía fundamental del proceso de resolución. ^{[ 201 ] [ 202 ]} Un ejemplo extremo es el teorema de Apery : Roger Apery solo proporcionó las ideas para una demostración, y la demostración formal fue dada varios meses después por otros tres matemáticos. ^{[ 203 ]}

La creatividad y el rigor no son los únicos aspectos psicológicos de la actividad de los matemáticos. Algunos matemáticos pueden ver su actividad como un juego, más específicamente como la resolución de acertijos . ^{[ 204 ]} Este aspecto de la actividad matemática se enfatiza en las matemáticas recreativas .

Los matemáticos pueden encontrar un valor estético en las matemáticas. Al igual que la belleza , es difícil de definir, pero suele estar relacionado con la elegancia , que implica cualidades como la simplicidad , la simetría , la completitud y la generalidad. G. H. Hardy, en *Apología del matemático*, expresó la creencia de que las consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. También identificó otros criterios, como la significancia, la sorpresa y la inevitabilidad, que contribuyen a la estética matemática. ^{[ 205 ]} Paul Erdős expresó este sentimiento de forma más irónica al hablar de "El Libro", una supuesta colección divina de las demostraciones más bellas. El libro de 1998 *Pruebas del Libro* , inspirado en Erdős, es una colección de argumentos matemáticos particularmente concisos y reveladores. Algunos ejemplos de resultados particularmente elegantes incluidos son la demostración de Euclides de que existen infinitos números primos y la transformada rápida de Fourier para el análisis armónico . ^{[ 206 ]}

Algunos opinan que considerar las matemáticas una ciencia implica menospreciar su valor artístico e histórico dentro de las siete artes liberales tradicionales . ^{[ 207 ]} Una forma en que esta diferencia de perspectiva se manifiesta en el debate filosófico sobre si los resultados matemáticos se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). ^{[ 136 ]} La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran al resolver problemas matemáticos.

Las notas que suenan bien juntas para el oído occidental son sonidos cuyas frecuencias fundamentales de vibración están en proporciones simples. Por ejemplo, una octava duplica la frecuencia y una quinta justa la multiplica por${\textstyle {\frac {3}{2}}}$. ^{[ 208 ] [ 209 ]}

Los humanos, así como algunos otros animales, encuentran que los patrones simétricos son más bellos. ^{[ 210 ]} Matemáticamente, las simetrías de un objeto forman un grupo conocido como grupo de simetría . ^{[ 211 ]} Por ejemplo, el grupo subyacente a la simetría especular es el grupo cíclico de dos elementos,${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Una prueba de Rorschach es una figura invariante por esta simetría, ^{[ 212 ]} como lo son los cuerpos de mariposas y animales en general (al menos en la superficie). ^{[ 213 ]} Las olas en la superficie del mar poseen simetría de traslación: mover el punto de vista a la distancia entre las crestas de las olas no cambia la visión del mar. ^{[ 214 ]} Los fractales poseen autosimilitud . ^{[ 215 ] [ 216 ]}

La divulgación matemática consiste en presentar las matemáticas sin utilizar términos técnicos. ^{[ 217 ]} Presentar las matemáticas puede resultar difícil, ya que el público en general sufre de ansiedad matemática y los objetos matemáticos son altamente abstractos. ^{[ 218 ]} Sin embargo, la divulgación matemática puede superar este obstáculo mediante el uso de aplicaciones o vínculos culturales. ^{[ 219 ]} A pesar de ello, las matemáticas rara vez son tema de divulgación en los medios impresos o televisivos.

El premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , ^{[ 220 ] [ 221 ]} establecida por el canadiense John Charles Fields en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto durante la Segunda Guerra Mundial ) a un máximo de cuatro personas. ^{[ 222 ] [ 223 ]} Se considera el equivalente matemático del Premio Nobel . ^{[ 223 ]}

Otros prestigiosos premios de matemáticas incluyen: ^{[ 224 ]}

• El Premio Abel , instituido en 2002 ^{[ 225 ]} y otorgado por primera vez en 2003 ^{[ 226 ]}
• La Medalla Chern a la trayectoria profesional, introducida en 2009 ^{[ 227 ]} y otorgada por primera vez en 2010 ^{[ 228 ].}
• El Premio AMS Leroy P. Steele , otorgado desde 1970 ^{[ 229 ]}
• El Premio Wolf de Matemáticas , también por trayectoria profesional, ^{[ 230 ]} instituido en 1978 ^{[ 231 ]}

Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " los problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. ^{[ 232 ]} Esta lista ha alcanzado gran renombre entre los matemáticos, ^{[ 233 ]} y al menos trece de los problemas (dependiendo de cómo se interpreten algunos) han sido resueltos. ^{[ 232 ]}

En el año 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada « Problemas del Premio del Milenio ». Solo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , reproduce uno de los problemas de Hilbert. La solución a cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de un millón de dólares. ^{[ 234 ]} Hasta la fecha, solo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto por el matemático ruso Grigori Perelman . ^{[ 235 ]}