Juego continuo

Un juego continuo es un concepto matemático, utilizado en la teoría de juegos , que generaliza la idea de un juego ordinario como el tres en raya (tres en raya) o las damas (damas). En otras palabras, extiende la noción de un juego discreto, donde los jugadores eligen entre un conjunto finito de estrategias puras. Los conceptos de juego continuo permiten que los juegos incluyan conjuntos más generales de estrategias puras, que pueden ser infinitamente incontables .

En general, un juego con conjuntos de estrategias infinitamente incontables no necesariamente tendrá una solución de equilibrio de Nash . Sin embargo, si se requiere que los conjuntos de estrategias sean compactos y las funciones de utilidad continuas , entonces se garantizará un equilibrio de Nash; esto es mediante la generalización de Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . La clase de juegos continuos por esta razón se define y estudia generalmente como un subconjunto de la clase más grande de juegos infinitos (es decir, juegos con conjuntos de estrategias infinitos) en los que los conjuntos de estrategias son compactos y las funciones de utilidad continuas.

Defina el juego continuo de n jugadores donde ${\displaystyle G=(P,\mathbf {C} ,\mathbf {U} )}$

${\displaystyle P={1,2,3,\ldots ,n}}$es el conjunto de jugadores,${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle \mathbf {C} =(C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n})}$donde cada uno es un conjunto compacto , en un espacio métrico , correspondiente al conjunto de estrategias puras del jugador n ,${\displaystyle C_{i}\,}$${\displaystyle i\,}$

${\displaystyle \mathbf {U} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$¿Dónde está la función de utilidad del jugador?${\displaystyle u_{i}:\mathbf {C} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle i\,}$

Definimos como el conjunto de medidas de probabilidad de Borel en , lo que nos da el espacio de estrategia mixta del jugador i .${\displaystyle \Delta _{i}\,}$${\displaystyle C_{i}\,}$

Definir el perfil de estrategia donde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n})}$${\displaystyle \sigma _{i}\in \Delta _{i}\,}$

Sea un perfil de estrategia de todos los jugadores excepto el jugador . Al igual que con los juegos discretos, podemos definir una correspondencia de mejor respuesta para el jugador , . es una relación del conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre los perfiles de los jugadores oponentes con un conjunto de estrategias de los jugadores, de modo que cada elemento de ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{-i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\,}$${\displaystyle b_{i}\ }$${\displaystyle b_{i}\,}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle b_{i}(\sigma _{-i})\,}$

es la mejor respuesta a . Definir ${\displaystyle \sigma _{-i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} ({\boldsymbol {\sigma }})=b_{1}(\sigma _{-1})\times b_{2}(\sigma _{-2})\times \cdots \times b_{n}(\sigma _{-n})}$.

Un perfil de estrategia es un equilibrio de Nash si y solo si La existencia de un equilibrio de Nash para cualquier juego continuo con funciones de utilidad continuas se puede demostrar utilizando la generalización de Irving Glicksberg del teorema del punto fijo de Kakutani . ^[1] En general, puede que no haya una solución si permitimos espacios de estrategias, que no sean compactos, o si permitimos funciones de utilidad no continuas. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}*}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}*\in \mathbf {b} ({\boldsymbol {\sigma }}*)}$${\displaystyle C_{i}\,}$

Un juego separable es un juego continuo donde, para cualquier i, la función de utilidad se puede expresar en la forma de suma de productos: ${\displaystyle u_{i}:\mathbf {C} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u_{i}(\mathbf {s} )=\sum _{k_{1}=1}^{m_{1}}\ldots \sum _{k_{n}=1}^{m_{n}}a_{i\,,\,k_{1}\ldots k_{n}}f_{1}(s_{1})\ldots f_{n}(s_{n})}$, donde , , , y las funciones son continuas.${\displaystyle \mathbf {s} \in \mathbf {C} }$${\displaystyle s_{i}\in C_{i}}$${\displaystyle a_{i\,,\,k_{1}\ldots k_{n}}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{i\,,\,k}:C_{i}\to \mathbb {R} }$

Un juego polinomial es un juego separable donde cada uno es un intervalo compacto y cada función de utilidad puede escribirse como un polinomio multivariado. ${\displaystyle C_{i}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

En general, los equilibrios de Nash mixtos de juegos separables son más fáciles de calcular que los de juegos no separables, como lo implica el siguiente teorema:

Para cualquier juego separable existe al menos un equilibrio de Nash donde el jugador i mezcla como máximo estrategias puras. ^[2]${\displaystyle m_{i}+1\,}$

Mientras que una estrategia de equilibrio para un juego no separable puede requerir un soporte infinito incontable , se garantiza que un juego separable tendrá al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas con soporte finito.

Consideremos un juego de suma cero de 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denotemos los elementos de y como y respectivamente. Definamos las funciones de utilidad donde ${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$${\displaystyle C_{X}\,}$${\displaystyle C_{Y}\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$

${\displaystyle H(x,y)=(x-y)^{2}\,}$.

Las relaciones de mejor respuesta de estrategia pura son:

${\displaystyle b_{X}(y)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}y\in \left[0,1/2\right)\\0{\text{ or }}1,&{\mbox{if }}y=1/2\\0,&{\mbox{if }}y\in \left(1/2,1\right]\end{cases}}}$

${\displaystyle b_{Y}(x)=x\,}$

${\displaystyle b_{X}(y)\,}$ y no se intersecan, por lo que no existe un equilibrio de Nash de estrategia pura. Sin embargo, debería existir un equilibrio de estrategia mixta. Para encontrarlo, exprese el valor esperado como una combinación lineal del primer y segundo momento de las distribuciones de probabilidad de X e Y : ${\displaystyle b_{Y}(x)\,}$${\displaystyle v=\mathbb {E} [H(x,y)]}$

${\displaystyle v=\mu _{X2}-2\mu _{X1}\mu _{Y1}+\mu _{Y2}\,}$

(donde y de manera similar para Y ). ${\displaystyle \mu _{XN}=\mathbb {E} [x^{N}]}$

Las restricciones de y (con restricciones similares para y ,) están dadas por Hausdorff como: ${\displaystyle \mu _{X1}\,}$${\displaystyle \mu _{X2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X1}\geq \mu _{X2}\\\mu _{X1}^{2}\leq \mu _{X2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\mu _{Y1}\geq \mu _{Y2}\\\mu _{Y1}^{2}\leq \mu _{Y2}\end{aligned}}}$

Cada par de restricciones define un subconjunto compacto y convexo en el plano. Como es lineal, cualquier extremo con respecto a los dos primeros momentos de un jugador se encontrará en el límite de este subconjunto. La estrategia de equilibrio del jugador i se encontrará en ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle \mu _{i1}=\mu _{i2}{\text{ or }}\mu _{i1}^{2}=\mu _{i2}}$

Nótese que la primera ecuación solo permite combinaciones de 0 y 1, mientras que la segunda solo permite estrategias puras. Además, si la mejor respuesta en un punto determinado para el jugador i se encuentra en , se encontrará en toda la línea, de modo que tanto 0 como 1 son la mejor respuesta. simplemente da la estrategia pura , por lo que nunca dará 0 y 1. Sin embargo da 0 y 1 cuando y = 1/2. Existe un equilibrio de Nash cuando: ${\displaystyle \mu _{i1}=\mu _{i2}\,}$${\displaystyle b_{Y}(\mu _{X1},\mu _{X2})\,}$${\displaystyle y=\mu _{X1}\,}$${\displaystyle b_{Y}\,}$${\displaystyle b_{x}\,}$

${\displaystyle (\mu _{X1}*,\mu _{X2}*,\mu _{Y1}*,\mu _{Y2}*)=(1/2,1/2,1/2,1/4)\,}$

Esto determina un único equilibrio en el que el jugador X juega una combinación aleatoria de 0 durante la mitad del tiempo y 1 durante la otra mitad del tiempo. El jugador Y juega la estrategia pura de 1/2. El valor del juego es 1/4.

Consideremos un juego de suma cero de 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denotemos los elementos de y como y respectivamente. Definamos las funciones de utilidad donde ${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$${\displaystyle C_{X}\,}$${\displaystyle C_{Y}\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$

${\displaystyle H(x,y)={\frac {(1+x)(1+y)(1-xy)}{(1+xy)^{2}}}.}$

Este juego no tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura. Se puede demostrar ^[3] que existe un único equilibrio de Nash de estrategia mixta con el siguiente par de funciones de distribución acumulativa :

${\displaystyle F^{*}(x)={\frac {4}{\pi }}\arctan {\sqrt {x}}\qquad G^{*}(y)={\frac {4}{\pi }}\arctan {\sqrt {y}}.}$

O, equivalentemente, el siguiente par de funciones de densidad de probabilidad :

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {2}{\pi {\sqrt {x}}(1+x)}}\qquad g^{*}(y)={\frac {2}{\pi {\sqrt {y}}(1+y)}}.}$

El valor del juego es . ${\displaystyle 4/\pi }$

Consideremos un juego de suma cero de 2 jugadores entre los jugadores X e Y , con . Denotemos los elementos de y como y respectivamente. Definamos las funciones de utilidad donde ${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$${\displaystyle C_{X}\,}$${\displaystyle C_{Y}\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$

${\displaystyle H(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\left(2x^{n}-\left(\left(1-{\frac {x}{3}}\right)^{n}-\left({\frac {x}{3}}\right)^{n}\right)\right)\left(2y^{n}-\left(\left(1-{\frac {y}{3}}\right)^{n}-\left({\frac {y}{3}}\right)^{n}\right)\right)}$.

Este juego tiene un equilibrio de estrategia mixta único donde cada jugador juega una estrategia mixta con la función singular de Cantor como función de distribución acumulativa . ^[4]

• HW Kuhn y AW Tucker, eds. (1950). Contribuciones a la teoría de juegos: vol. II. Anales de estudios matemáticos 28. Princeton University Press. ISBN  0-691-07935-8 .

• Gráfica continua