Consistencia

En lógica deductiva , una teoría consistente es aquella que no conduce a una contradicción lógica . ^[¹^] Una teoría $T$ es consistente si no hay fórmula $\varphi$ de tal manera que ambos $\varphi$ y su negación $\lnot \varphi$ son elementos del conjunto de consecuencias de $T$ . Dejar $A$ ser un conjunto de oraciones cerradas (informalmente "axiomas") y $\langle A\rangle$ el conjunto de oraciones cerradas demostrables a partir de $A$ bajo algún sistema deductivo formal (especificado, posiblemente implícitamente). El conjunto de axiomas $A$ es consistente cuando no hay fórmula $\varphi$ de tal manera que $\varphi \en \langle A\rangle$ y $\lnot \varphi \in \langle A\rangle$ Una teoría trivial (es decir, una que prueba cada oración en el lenguaje de la teoría) es claramente inconsistente. Por el contrario, en un sistema formal explosivo (por ejemplo, lógicas proposicionales clásicas o intuicionistas o de primer orden) toda teoría inconsistente es trivial. ^[²^]^:⁷ La consistencia de una teoría es una noción sintáctica , cuyo equivalente semántico es la satisfacibilidad . Una teoría es satisfacible si tiene un modelo , es decir, existe una interpretación bajo la cual todos los axiomas de la teoría son verdaderos. ^[³^] Esto es lo que significaba consistente en la lógica aristotélica tradicional , aunque en la lógica matemática contemporánea se usa en su lugar el término satisfacible .

En un sistema formal sólido , toda teoría satisfacible es consistente, pero lo contrario no se cumple. Si existe un sistema deductivo para el cual estas definiciones semánticas y sintácticas son equivalentes para cualquier teoría formulada en una lógica deductiva particular , la lógica se denomina completa . La completitud del cálculo proposicional fue demostrada por Paul Bernays en 1918 ^[⁴^] y Emil Post en 1921, ^[⁵^] mientras que la completitud del cálculo de predicados (de primer orden) fue demostrada por Kurt Gödel en 1930, ^[⁶^] y las pruebas de consistencia para la aritmética restringida con respecto al esquema del axioma de inducción fueron demostradas por Ackermann (1924), von Neumann (1927) y Herbrand (1931). ^[⁷^] Las lógicas más fuertes, como la lógica de segundo orden , no son completas.

Una prueba de consistencia es una demostración matemática de que una teoría particular es consistente. ^{[ 8 ]} El desarrollo inicial de la teoría de la demostración matemática estuvo impulsado por el deseo de proporcionar pruebas de consistencia finitas para todas las matemáticas como parte del programa de Hilbert . El programa de Hilbert se vio fuertemente influenciado por los teoremas de incompletitud , que demostraron que las teorías de demostración suficientemente fuertes no pueden probar su consistencia (siempre que sean consistentes).

Aunque la consistencia puede demostrarse mediante la teoría de modelos, a menudo se hace de forma puramente sintáctica, sin necesidad de hacer referencia a ningún modelo lógico. La eliminación de cortes (o, equivalentemente, la normalización del cálculo subyacente, si lo hay) implica la consistencia del cálculo: dado que no existe una prueba de falsedad sin cortes, no hay contradicción en general.

Consistencia y exhaustividad en aritmética y teoría de conjuntos.

En las teorías aritméticas, como la aritmética de Peano , existe una relación compleja entre la consistencia de la teoría y su completitud . Una teoría es completa si, para cada fórmula φ en su lenguaje, al menos una de φ o ¬φ es una consecuencia lógica de la teoría.

La aritmética de Presburger es un sistema axiomático para los números naturales bajo la suma. Es consistente y completa.

Los teoremas de incompletitud de Gödel demuestran que ninguna teoría de la aritmética suficientemente fuerte y recursivamente enumerable puede ser a la vez completa y consistente. El teorema de Gödel se aplica a las teorías de la aritmética de Peano (AP) y la aritmética recursiva primitiva (ARP), pero no a la aritmética de Presburger .

Además, el segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que la consistencia de las teorías de la aritmética suficientemente fuertes y recursivamente enumerables puede comprobarse de una manera particular. Dicha teoría es consistente si y solo si no demuestra una proposición específica, denominada proposición de Gödel de la teoría, que es una formulación formalizada de la afirmación de que la teoría es, en efecto, consistente. Por lo tanto, la consistencia de una teoría de la aritmética suficientemente fuerte, recursivamente enumerable y consistente nunca puede demostrarse en ese mismo sistema. El mismo resultado se aplica a las teorías recursivamente enumerables que pueden describir un fragmento suficientemente fuerte de la aritmética , incluidas las teorías de conjuntos como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Estas teorías de conjuntos no pueden demostrar su propia proposición de Gödel, siempre que sean consistentes, lo cual es generalmente aceptado.

Debido a que la consistencia de ZF no es demostrable en ZF, la noción más débilLa consistencia relativa es interesante en la teoría de conjuntos (y en otros sistemas axiomáticos suficientemente expresivos). SiTes unateoríayAaxiomaadicional,se dice queT+AT(o simplemente queAes consistente conT) si se puede demostrar que siT,entoncesT+Atambién lo es. Si tantoAcomo¬Ason consistentes conT, entoncesse dice queAindependientedeT.

Lógica de primer orden

Notación

En el siguiente contexto de lógica matemática , el símbolo del torniquete $\vdash$ significa "demostrable a partir de". Es decir, $a\vdash b$ dice: b es demostrable a partir de a (en algún sistema formal especificado).

Definición

Un conjunto de fórmulas $\Phi$ en lógica de primer orden es consistente (escrito $\operatorname {Con} \Phi$ ) si no hay fórmula $\varphi$ de tal manera que $\Phi \vdash \varphi$ y $\Phi \vdash \lnot \varphi$ . De lo contrario $\Phi$ es inconsistente (escrito) $\operatorname {Inc} \Phi$ ).
$\Phi$ Se dice que es simplemente consistente, aunque no tenga fórmula. $\varphi$ de $\Phi$ , ambos $\varphi$ y la negación de $\varphi$ son teoremas de $\Phi$ .
$\Phi$ Se dice que es absolutamente consistente o Post consistente si al menos una fórmula en el lenguaje de $\Phi$ no es un teorema de $\Phi$ .
$\Phi$ Se dice que es máximamente consistente si $\Phi$ es consistente y para cada fórmula $\varphi$ , $\operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})$ implica $\varphi \en \Phi$ .
$\Phi$ Se dice que contiene testigos si para cada fórmula de la forma $\exists x\,\varphi$ existe un término $t$ de tal manera que $(\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi$ , dónde $\varphi {t \over x}$ denota la sustitución de cada uno $x$ en $\varphi$ por un $t$ ; véase también Lógica de primer orden .

Resultados básicos

Los siguientes son equivalentes:
1. $\operatorname {Inc} \Phi$
2. A pesar de $\varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .$
Todo conjunto de fórmulas satisfacibles es consistente, donde un conjunto de fórmulas $\Phi$ es satisfacible si y solo si existe un modelo ${\mathfrak {I}}$ de tal manera que ${\mathfrak {I}}\vDash \Phi$ .
A pesar de $\Phi$ $\Phi$ y $\varphi$ $\varphi$ :
1. si no $\Phi \vdash \varphi$ , entonces $\operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)$ ;
2. si $\operatorname {Con} \Phi$ y $\Phi \vdash \varphi$ , entonces $\operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)$ ;
3. si $\operatorname {Con} \Phi$ , entonces $\operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)$ o $\operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)$ .
Dejar $\Phi$ $\Phi$ Sea un conjunto de fórmulas máximamente consistente y supongamos que contiene testigos . Para todo $\varphi$ $\varphi$ y $\psi$ $\psi$ :
1. si $\Phi \vdash \varphi$ , entonces $\varphi \en \Phi$ ,
2. cualquiera $\varphi \en \Phi$ o $\lno \varphi \en \Phi$ ,
3. $(\varphi \lor \psi )\in \Phi$ si y solo si $\varphi \en \Phi$ o $\psi \en \Phi$ ,
4. si $(\varphi \to \psi )\in \Phi$ y $\varphi \en \Phi$ , entonces $\psi \en \Phi$ ,
5. $\exists x\,\varphi \in \Phi$ si y solo si hay un término $t$ de tal manera que $\varphi {t \over x}\in \Phi$ .

Teorema de Henkin

Dejar $S$ Sea un conjunto de símbolos . $\Phi$ ser un conjunto de máxima consistencia $S$ -fórmulas que contienen testigos .

Defina una relación de equivalencia. $\sim$ en el set de $S$ -términos por $t_{0}\sim t_{1}$ si $\;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi$ , dónde $\equiv$ denota igualdad . Sea ${\overline {t}}$ denotan la clase de equivalencia de términos que contienen $t$ ; y deja $T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}$ dónde $T^{S}$ es el conjunto de términos basado en el conjunto de símbolos $S$ .

Defina el $S$ - estructura ${\mathfrak {T}}_{\Phi}$ encima $T_{\Phi }$ , también llamada estructura de términos correspondiente a $\Phi$ , por:

para cada $n$ -ario símbolo de relación $R\in S$ , definir $R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}$ si ${\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi$ ^{[ 9 ]}
para cada $n$ -ario símbolo de función $f\in S$ , definir $f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};$
para cada símbolo constante $c\in S$ , definir $c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.$

Defina una asignación de variables $\beta _ {\Phi}$ por $\beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}$ para cada variable $x$ . Dejar ${\mathfrak {I}}_{\Phi}:=({\mathfrak {T}}_{\Phi},\beta _ {\Phi})$ ser el término interpretación asociado con $\Phi$ .

Luego, para cada uno $S$ -fórmula $\varphi$ :

{\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi

si y solo si

\;\varphi \en \Phi .

Bosquejo de prueba

Hay varias cosas que verificar. Primero, que $\sim$ es de hecho una relación de equivalencia. Entonces, es necesario verificar que (1), (2) y (3) estén bien definidas. Esto se desprende del hecho de que $\sim$ es una relación de equivalencia y también requiere una prueba de que (1) y (2) son independientes de la elección de $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ representantes de clase. Finalmente, ${\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi$ puede verificarse por inducción en fórmulas.

Teoría de modelos

En la teoría de conjuntos ZFC con lógica clásica de primer orden , ^{[ 10 ]} una teoría inconsistente $T$ es uno de esos que existe una oración cerrada $\varphi$ de tal manera que $T$ contiene ambos $\varphi$ y su negación $\varphi '$ Una teoría consistente es aquella que cumple las siguientes condiciones lógicamente equivalentes .

$\{\varphi ,\varphi '\}\not \subseteq T$ ^{[ 11 ]}
$\varphi '\not \in T\lor \varphi \not \in T$

Véase también

Disonancia cognitiva : fenómeno mental de mantener creencias contradictorias.
Equiconsistencia : ser igualmente consistente
Los problemas de Hilbert : 23 problemas matemáticos enunciados en 1900.
El segundo problema de Hilbert : la consistencia de los axiomas de la aritmética.
Jan Łukasiewicz : lógico y filósofo polaco (1878-1956)
Lógica paraconsistente – Tipo de lógica formal
Consistencia ω – Teoría matemática Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
Demostración de consistencia de Gentzen : concepto de lógica matemática.
Demostración por contradicción – Forma de prueba
Idea autorrefutatoria : idea que se refuta a sí misma.

Notas

↑ Tarski 1946 lo expresa así: «Una teoría deductiva se llama consistente o no contradictoria si no hay dos enunciados de esta teoría que se contradigan entre sí, o en otras palabras, si de dos enunciados contradictorios… al menos uno no puede ser probado» (p. 135), donde Tarski define contradictorio de la siguiente manera: «Con la ayuda de la palabra " no " se forma la negación de cualquier enunciado; dos enunciados, de los cuales el primero es la negación del segundo, se llaman enunciados contradictorios » (p. 20). Esta definición requiere una noción de «prueba». Gödel 1931 define la noción de esta manera: "La clase de fórmulas demostrables se define como la clase más pequeña de fórmulas que contiene los axiomas y está cerrada bajo la relación "consecuencia inmediata", es decir, la fórmula c de a y b se define como una consecuencia inmediata en términos de modus ponens o sustitución; cf. Gödel 1931 , van Heijenoort 1967 , p. 601. Tarski define "prueba" informalmente como "enunciados que se suceden en un orden definido según ciertos principios... y acompañados de consideraciones destinadas a establecer su validez [conclusión verdadera] para todas las premisas verdaderas - Reichenbach 1947 , p. 68 ]" cf Tarski 1946 , p. 3 . Kleene 1952 define la noción con respecto a una inducción o como parafrasear) una secuencia finita de fórmulas tal que cada fórmula en la secuencia es un axioma o una "consecuencia inmediata" de las fórmulas precedentes; " Se dice que una prueba es una prueba de su última fórmula, y se dice que esta fórmula es (formalmente) demostrable o es un teorema (formal)" cf Kleene 1952 , p. 83 .
↑ Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: consistencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y la unidad de la ciencia. Vol. 40. Cham: Springer. doi : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1. SEÑOR 3822731 . Zbl 1355.03001 .
↑ Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Nueva York: Cambridge University Press. pág. 37 . $L$ ser una firma, $T$ una teoría en $L_{\infty \omega }$ y $\varphi$ una oración en $L_{\infty \omega }$ Decimos que $\varphi$ es consecuencia de $T$ , o que $T$ implica $\varphi$ , en símbolos $T\vdash \varphi$ , si cada modelo de $T$ es un modelo de $\varphi$ . (En particular si $T$ entonces no tiene modelos $T$ implica $\varphi$ .) Advertencia : no requerimos que si $T\vdash \varphi$ entonces hay una prueba de $\varphi$ de $T$ En cualquier caso, con los lenguajes infinitarios, no siempre está claro qué constituiría una prueba. Algunos escritores utilizan $T\vdash \varphi$ para significar que $\varphi$ es deducible de $T$ en algún cálculo de demostración formal particular, y escriben $T\models \varphi$ para nuestra noción de implicación (una notación que choca con nuestra $A\models \varphi$ ). Para la lógica de primer orden, los dos tipos de implicación coinciden por el teorema de completitud para el cálculo de pruebas en cuestión. Decimos que $\varphi$ es válido , o es un teorema lógico , en símbolos $\vdash \varphi$ , si $\varphi$ es cierto en todos los casos $L$ -estructura. Decimos que $\varphi$ es consistente si $\varphi$ es cierto en algunos casos $L$ -estructura. Asimismo decimos que una teoría $T$ es consistente si tiene un modelo. Decimos que dos teorías S y T en L infinito omega son equivalentes si tienen los mismos modelos, es decir, si Mod(S) = Mod(T).(Tenga en cuenta la definición de Mod(T) en la página 30...)
↑ van Heijenoort 1967 , p. 265 afirma que Bernays determinó la independencia de los axiomas de Principia Mathematica , un resultado que no se publicó hasta 1926, pero no dice nada sobre que Bernays demostrara su consistencia .
↑ Post demuestra tanto la consistencia como la completitud del cálculo proposicional de PM, cf. el comentario de van Heijenoort y la Introducción de Post de 1931 a una teoría general de proposiciones elementales en van Heijenoort 1967 , pp. 264 y ss . También Tarski 1946 , pp. 134 y ss .
↑ cf el comentario de van Heijenoort y el de Gödel de 1930, The completeness of the axioms of the functional calculus of logic en van Heijenoort 1967 , pp. 582 y ss .
↑ cf. comentario de van Heijenoort y 1930 de Herbrand Sobre la consistencia de la aritmética envan Heijenoort 1967 , págs .
↑ Una prueba de consistencia suele presuponer la consistencia de otra teoría. En la mayoría de los casos, esta otra teoría es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con o sin el axioma de elección (esto es equivalente, ya que se ha demostrado que ambas teorías son equiconsistentes; es decir, si una es consistente, lo mismo ocurre con la otra).
↑ Esta definición es independiente de la elección de $t_{i}$ debido a las propiedades de sustitución de $\equiv$ y la máxima consistencia de $\Phi$ .
↑ el caso común en muchas aplicaciones a otras áreas de las matemáticas, así como el modo ordinario de razonamiento de las matemáticas informales en cálculo y aplicaciones a la física, la química y la ingeniería.
↑ según las leyes de De Morgan

Referencias

Gödel, Kurt (1 de diciembre de 1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Monatshefte für Mathematik und Physik . 38 (1): 173– 198. doi : 10.1007/BF01700692 .
Kleene, Stephen (1952). Introducción a la metamatemática . Nueva York: North-Holland. ISBN 0-7204-2103-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) 10.ª impresión 1991.
Reichenbach, Hans (1947). Elementos de lógica simbólica . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-24004-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Tarski, Alfred (1946). Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas (Segunda edición). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
van Heijenoort, Jean (1967). De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática . Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8.(pbk.)
"Coherencia". Diccionario de Filosofía de Cambridge .
Ebbinghaus, HD; Flum, J.; Thomas, W. Lógica matemática .
Jevons, WS (1870). Lecciones elementales de lógica .

Enlaces externos

Mortensen, Chris (2017). "Matemáticas inconsistentes" . Enciclopedia de filosofía de Stanford .

[1] Tarski 1946 lo expresa así: «Una teoría deductiva se llama consistente o no contradictoria si no hay dos enunciados de esta teoría que se contradigan entre sí, o en otras palabras, si de dos enunciados contradictorios… al menos uno no puede ser probado» (p. 135), donde Tarski define contradictorio de la siguiente manera: «Con la ayuda de la palabra " no " se forma la negación de cualquier enunciado; dos enunciados, de los cuales el primero es la negación del segundo, se llaman enunciados contradictorios » (p. 20). Esta definición requiere una noción de «prueba». Gödel 1931 define la noción de esta manera: "La clase de fórmulas demostrables se define como la clase más pequeña de fórmulas que contiene los axiomas y está cerrada bajo la relación "consecuencia inmediata", es decir, la fórmula c de a y b se define como una consecuencia inmediata en términos de modus ponens o sustitución; cf. Gödel 1931 , van Heijenoort 1967 , p. 601. Tarski define "prueba" informalmente como "enunciados que se suceden en un orden definido según ciertos principios... y acompañados de consideraciones destinadas a establecer su validez [conclusión verdadera] para todas las premisas verdaderas - Reichenbach 1947 , p. 68 ]" cf Tarski 1946 , p. 3 . Kleene 1952 define la noción con respecto a una inducción o como parafrasear) una secuencia finita de fórmulas tal que cada fórmula en la secuencia es un axioma o una "consecuencia inmediata" de las fórmulas precedentes; " Se dice que una prueba es una prueba de su última fórmula, y se dice que esta fórmula es (formalmente) demostrable o es un teorema (formal)" cf Kleene 1952 , p. 83 .

[Carnielli-2] Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: consistencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y la unidad de la ciencia. Vol. 40. Cham: Springer. doi : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1. SEÑOR 3822731 . Zbl 1355.03001 .

[3] Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Nueva York: Cambridge University Press. pág. 37 . $L$ ser una firma, $T$ una teoría en $L_{\infty \omega }$ y $\varphi$ una oración en $L_{\infty \omega }$ Decimos que $\varphi$ es consecuencia de $T$ , o que $T$ implica $\varphi$ , en símbolos $T\vdash \varphi$ , si cada modelo de $T$ es un modelo de $\varphi$ . (En particular si $T$ entonces no tiene modelos $T$ implica $\varphi$ .) Advertencia : no requerimos que si $T\vdash \varphi$ entonces hay una prueba de $\varphi$ de $T$ En cualquier caso, con los lenguajes infinitarios, no siempre está claro qué constituiría una prueba. Algunos escritores utilizan $T\vdash \varphi$ para significar que $\varphi$ es deducible de $T$ en algún cálculo de demostración formal particular, y escriben $T\models \varphi$ para nuestra noción de implicación (una notación que choca con nuestra $A\models \varphi$ ). Para la lógica de primer orden, los dos tipos de implicación coinciden por el teorema de completitud para el cálculo de pruebas en cuestión. Decimos que $\varphi$ es válido , o es un teorema lógico , en símbolos $\vdash \varphi$ , si $\varphi$ es cierto en todos los casos $L$ -estructura. Decimos que $\varphi$ es consistente si $\varphi$ es cierto en algunos casos $L$ -estructura. Asimismo decimos que una teoría $T$ es consistente si tiene un modelo. Decimos que dos teorías S y T en L infinito omega son equivalentes si tienen los mismos modelos, es decir, si Mod(S) = Mod(T).(Tenga en cuenta la definición de Mod(T) en la página 30...)

[4] van Heijenoort 1967 , p. 265 afirma que Bernays determinó la independencia de los axiomas de Principia Mathematica , un resultado que no se publicó hasta 1926, pero no dice nada sobre que Bernays demostrara su consistencia .

[5] Post demuestra tanto la consistencia como la completitud del cálculo proposicional de PM, cf. el comentario de van Heijenoort y la Introducción de Post de 1931 a una teoría general de proposiciones elementales en van Heijenoort 1967 , pp. 264 y ss . También Tarski 1946 , pp. 134 y ss .

[6] tario de van Heijenoort y el de Gödel de 1930, The completeness of the axioms of the functional calculus of logic en van Heijenoort 1967 , pp. 582 y ss .

[7] . comentario de van Heijenoort y 1930 de Herbrand Sobre la consistencia de la aritmética envan Heijenoort 1967 , págs .

[8] Una prueba de consistencia suele presuponer la consistencia de otra teoría. En la mayoría de los casos, esta otra teoría es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con o sin el axioma de elección (esto es equivalente, ya que se ha demostrado que ambas teorías son equiconsistentes; es decir, si una es consistente, lo mismo ocurre con la otra).

[9] Esta definición es independiente de la elección de $t_{i}$ debido a las propiedades de sustitución de $\equiv$ y la máxima consistencia de $\Phi$ .

[10] so común en muchas aplicaciones a otras áreas de las matemáticas, así como el modo ordinario de razonamiento de las matemáticas informales en cálculo y aplicaciones a la física, la química y la ingeniería.

[11] según las leyes de De Morgan

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