Abstracción (matemáticas)

La abstracción en matemáticas es el proceso de extraer las estructuras , patrones o propiedades subyacentes de un concepto matemático, eliminando cualquier dependencia de objetos del mundo real con los que originalmente podría haber estado conectado, y generalizándolo para que tenga aplicaciones más amplias o se corresponda con otras descripciones abstractas de fenómenos equivalentes . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} En otras palabras, ser abstracto es eliminar el contexto y la aplicación. ^{[ 4 ]} Dos de las áreas más altamente abstractas de las matemáticas modernas son la teoría de categorías y la teoría de modelos .

Muchas áreas de las matemáticas comenzaron con el estudio de problemas del mundo real, antes de que se identificaran y definieran las reglas y los conceptos subyacentes como estructuras abstractas . Por ejemplo, la geometría tiene su origen en el cálculo de distancias y áreas en el mundo real, y el álgebra comenzó con métodos para resolver problemas aritméticos .

La abstracción es un proceso continuo en matemáticas y el desarrollo histórico de muchos temas matemáticos muestra una progresión de lo concreto a lo abstracto. Por ejemplo, los primeros pasos en la abstracción de la geometría fueron dados históricamente por los antiguos griegos, siendo los Elementos de Euclides la documentación más antigua que se conserva de los axiomas de la geometría plana, aunque Proclo menciona una axiomatización anterior por Hipócrates de Quíos . ^{[ 5 ]} En el siglo XVII, Descartes introdujo las coordenadas cartesianas, lo que permitió el desarrollo de la geometría analítica . Lobachevsky , Bolyai , Riemann y Gauss dieron pasos más en la abstracción , generalizando los conceptos de geometría para desarrollar geometrías no euclidianas . Más tarde, en el siglo XIX, los matemáticos generalizaron aún más la geometría, desarrollando áreas como la geometría en n dimensiones , la geometría proyectiva , la geometría afín y la geometría finita . Finalmente, el « programa de Erlangen » de Felix Klein identificó el tema subyacente de todas estas geometrías, definiendo cada una de ellas como el estudio de propiedades invariantes bajo un grupo dado de simetrías . Este nivel de abstracción reveló conexiones entre la geometría y el álgebra abstracta . ^{[ 6 ]}

En matemáticas, la abstracción puede ser ventajosa de las siguientes maneras:

• Revela profundas conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas.
• Los resultados conocidos en un área pueden sugerir conjeturas en otra área relacionada.
• Las técnicas y los métodos de un área pueden aplicarse para demostrar resultados en otras áreas relacionadas.
• Los patrones de un objeto matemático pueden generalizarse a otros objetos similares de la misma clase.

Por otro lado, la abstracción también puede ser desventajosa, ya que los conceptos altamente abstractos pueden ser difíciles de aprender. ^{[ 7 ]} Puede ser necesario cierto grado de madurez y experiencia matemática para la asimilación conceptual de abstracciones.

Bertrand Russell , en *The Scientific Outlook * (1931), escribe que «el lenguaje ordinario es totalmente inadecuado para expresar lo que la física realmente afirma, ya que las palabras de la vida cotidiana no son suficientemente abstractas. Solo las matemáticas y la lógica matemática pueden decir tan poco como el físico pretende decir». ^{[ 8 ]}

• Detalle del resumen
• Generalización
• Pensamiento abstracto
• Lógica abstracta
• lógica algebraica abstracta
• Teoría de modelos abstractos
• Tonterías abstractas
• Concepto
• Madurez matemática

• Bajnok, Béla (2013). Una invitación a las matemáticas abstractas . Saltador. ISBN 978-1-4614-6635-2.