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Función continua

En matemáticas , una función continua es aquella en la que una pequeña variación del argumento produce una pequeña variación en su valor . Esto implica que no existen cambios ab...

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En matemáticas , una función continua es aquella en la que una pequeña variación del argumento produce una pequeña variación en su valor . Esto implica que no existen cambios abruptos en su valor, conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiendo su argumento a variaciones suficientemente pequeñas. Una función discontinua es aquella que no es continua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaban principalmente en nociones intuitivas de continuidad y solo consideraban funciones continuas. La definición de límite épsilon-delta se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos fundamentales del cálculo y el análisis matemático , donde los argumentos y valores de las funciones son números reales y complejos . Este concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos . Estas últimas son las funciones continuas más generales, y su definición constituye la base de la topología .

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . En la teoría del orden , especialmente en la teoría de dominios , un concepto relacionado de continuidad es la continuidad de Scott .

Como ejemplo práctico, la función H ( t ), que representa la altura de una flor en crecimiento en el instante t, se consideraría continua. En cambio, la función M ( t ), que representa la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el instante t, se consideraría discontinua, ya que presenta saltos en cada momento en que se deposita o retira dinero.

Historia

Bernard Bolzano propuso por primera vez en 1817 una forma de la definición épsilon-delta de continuidad. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de la siguiente manera: un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente (véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitesimales en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad guarda un estrecho paralelismo con la definición infinitesimal que se utiliza hoy en día (véase microcontinuidad ).y=F(incógnita){\displaystyle y=f(x)}α{\displaystyle \alpha }incógnita{\displaystyle x}F(incógnita+α)−F(incógnita){\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}y{\displaystyle y} 

Las definiciones formales y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, [ 1 ] Karl Weierstrass [ 2 ] consideró que una función en un punto , es decir , , es continua si y solo si los valores de , , y están todos definidos e iguales. Édouard Goursat [ 3 ] asumió la continuidad siempre que la función esté definida en y sea igual a al menos un lado del límite , mientras que Camille Jordan [ 4 ] la permitió incluso si la función estaba definida solo en . Estas tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía se utilizan. [ 5 ] Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en las conferencias impartidas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. [ 6 ]y=F(incógnita){\displaystyle y=f(x)}incógnita=do{\displaystyle x=c}F(incógnita)|incógnita=do{\displaystyle f(x){\big |}_{x=c}} F(do){\displaystyle f(c)}F(incógnita)|incógnita→do+{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{+}}}F(incógnita)|incógnita→do−{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{-}}}F(do){\displaystyle f(c)}F(incógnita)|incógnita→do{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c}} incógnita=do{\displaystyle x=c}

Funciones reales

Definición

La función es continua en su dominio ( ), pero es discontinua en cuando se considera como una función definida a trozos en los números reales. [ 7 ]F(incógnita)=1incógnita{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}R∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}incógnita=0,{\displaystyle x=0,}

Una función real, es decir, una función de números reales a números reales, puede representarse mediante una gráfica en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, su gráfica es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es toda la recta real. A continuación se ofrece una definición matemáticamente más rigurosa.

La continuidad de las funciones reales se define generalmente en términos de límites . Una función f con variable x es continua en el número real c , si el límite de cuando x tiende a c es igual aF(incógnita),{\displaystyle f(x),}F(do).{\displaystyle f(c).}

Existen varias definiciones diferentes de la continuidad (global) de una función, que dependen de la naturaleza de su dominio .

Una función es continua en un intervalo abierto si dicho intervalo está contenido en su dominio y la función es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en todo el intervalo (la recta real completa ) se suele denominar simplemente función continua; también se dice que dicha función es continua en todas partes . Por ejemplo, todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes.(−∞,+∞){\displaystyle (-\infty,+\infty)}

Una función es continua en un intervalo semiabierto o cerrado si el intervalo está contenido en el dominio de la función, la función es continua en cada punto interior del intervalo, y el valor de la función en cada extremo del intervalo es el límite de los valores de la función cuando la variable tiende al extremo desde el interior del intervalo. Por ejemplo, la función es continua en todo su dominio, que es el intervalo semiabierto.F(incógnita)=incógnita{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}[0,+∞).{\displaystyle [0,+\infty ).}

Muchas funciones comunes son funciones parciales cuyo dominio está formado por todos los números reales, excepto algunos puntos aislados . Ejemplos de ello son la función recíproca y la función tangente. Cuando son continuas en su dominio, se dice, en algunos contextos, que son continuas, aunque no lo sean en todas partes. En otros contextos, principalmente cuando interesa su comportamiento cerca de los puntos excepcionales, se dice que son discontinuas.incógnita↦1incógnita{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}incógnita↦broncearse⁡incógnita.{\displaystyle x\mapsto \tan x.}

Una función parcial es discontinua en un punto si dicho punto pertenece a la clausura topológica de su dominio, y o bien el punto no pertenece al dominio de la función, o bien la función no es continua en ese punto. Por ejemplo, las funciones y son discontinuas en 0 , y permanecen discontinuas independientemente del valor elegido para definirlas en 0. Un punto donde una función es discontinua se denomina discontinuidad .incógnita↦1incógnita{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}incógnita↦pecado⁡(1incógnita){\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}

Utilizando notación matemática, existen varias maneras de definir funciones continuas en los tres sentidos mencionados anteriormente.

Sea una función cuyo dominio está contenido en el conjunto de números reales.F:D→R{\textstyle f:D\to \mathbb {R} }D{\displaystyle D}R{\displaystyle \mathbb {R} }

Algunas (pero no todas) las posibilidades son:D{\displaystyle D}

  • D{\displaystyle D}es toda la línea real ; es decir,D=R{\displaystyle D=\mathbb {R} }
  • D{\displaystyle D}es un intervalo cerrado de la forma donde a y b son números realesD=[a,b]={incógnita∈R∣a≤incógnita≤b},{\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}
  • D{\displaystyle D}es un intervalo abierto de la forma donde a y b son números realesD=(a,b)={incógnita∈R∣a<incógnita<b},{\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}

En el caso de un intervalo abierto, y no pertenecen a , y los valores y no están definidos, y si lo están, no importan para la continuidad en .a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}D{\displaystyle D}F(a){\displaystyle f(a)}F(b){\displaystyle f(b)}D{\displaystyle D}

Definición en términos de límites de funciones

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de cuando x se aproxima a c a través del dominio de f existe y es igual a [ 8 ]. En notación matemática, esto se escribe como En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f debe estar definida en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). Segundo, el límite de esa ecuación debe existir. Tercero, el valor de este límite debe ser igual aF(incógnita),{\displaystyle f(x),}F(do).{\displaystyle f(c).}límiteincógnita→doF(incógnita)=F(do).{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}F(do).{\displaystyle f(c).}

(Aquí hemos supuesto que el dominio de f no tiene puntos aislados ).

Definición en términos de barrios

Un entorno de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre el entorno de c se reduce a un solo punto a medida que el ancho del entorno alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier entorno, existe un entorno en su dominio tal que siempre queF(do){\displaystyle f(c)}norte1(F(do)){\displaystyle N_{1}(f(c))}norte2(do){\displaystyle N_{2}(c)}F(incógnita)∈norte1(F(do)){\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}incógnita∈norte2(do).{\displaystyle x\in N_{2}(c).}

Dado que los vecindarios se definen en cualquier espacio topológico , esta definición de función continua se aplica no solo a funciones reales, sino también cuando el dominio y el codominio son espacios topológicos, siendo así la definición más general. De ello se deduce que una función es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Por ejemplo, toda función real definida sobre los números enteros es continua.

Definición en términos de límites de sucesiones

La sucesión exp(1/ n ) converge a exp(0) = 1 .

En cambio, se puede exigir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converge a c , la secuencia correspondiente converge a En notación matemática,(incógnitanorte)norte∈norte{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}(F(incógnitanorte))norte∈norte{\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}F(do).{\displaystyle f(c).}∀(incógnitanorte)norte∈norte⊂D:límitenorte→∞incógnitanorte=do⇒límitenorte→∞F(incógnitanorte)=F(do).{\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}

Definiciones (épsilon-delta) de Weierstrass y Jordan de funciones continuas

Ilustración de la definición ε - δ : en x = 2 , cualquier valor δ ≤ 0,5 satisface la condición de la definición para ε = 0,5 .

Incluyendo explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada una función como la anterior y un elemento del dominio , se dice que es continua en el punto cuando se cumple lo siguiente: Para cualquier número real positivo, por pequeño que sea, existe algún número real positivo tal que para todo en el dominio de con el valor de satisface F:D→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }incógnita0{\displaystyle x_{0}}D{\displaystyle D}F{\displaystyle f}incógnita0{\displaystyle x_{0}}ε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}δ>0{\displaystyle \delta >0}incógnita{\displaystyle x}F{\displaystyle f}incógnita0−δ<incógnita<incógnita0+δ,{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}F(incógnita){\displaystyle f(x)}F(incógnita0)−ε<F(incógnita)<F(incógnita0)+ε.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}

Escrito de otra manera, la continuidad de en significa que para cada existe un tal que para todo : F:D→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }incógnita0∈D{\displaystyle x_{0}\in D}ε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}δ>0{\displaystyle \delta >0}incógnita∈D{\displaystyle x\in D}|incógnita−incógnita0|<δ   implica   |F(incógnita)−F(incógnita0)|<ε.{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implica }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}

De forma más intuitiva, podemos decir que si queremos que todos los valores permanezcan en un pequeño vecindario alrededor de necesitamos elegir un vecindario lo suficientemente pequeño para los valores alrededor de Si podemos hacer eso sin importar cuán pequeño sea el vecindario, entonces es continuo enF(incógnita){\displaystyle f(x)}F(incógnita0),{\displaystyle f\left(x_{0}\right),}incógnita{\displaystyle x}incógnita0.{\displaystyle x_{0}.}F(incógnita0){\displaystyle f(x_{0})}F{\displaystyle f}incógnita0.{\displaystyle x_{0}.}

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , en este caso la topología métrica .

Weierstrass había exigido que el intervalo estuviera completamente dentro del dominio , pero Jordan eliminó esa restricción.incógnita0−δ<incógnita<incógnita0+δ{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }D{\displaystyle D}

Definición en términos de control del remanente

En demostraciones y análisis numérico, a menudo necesitamos saber con qué rapidez convergen los límites, o dicho de otro modo, el control del resto. Podemos formalizar esto mediante una definición de continuidad. Una función se denomina función de control sido:[0,∞)→[0,∞]{\displaystyle C:[0,\infty )\a [0,\infty ]}

  • C es no decreciente
  • infδ>0do(δ)=0{\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}

Una función es C -continua en si existe un entorno tal que F:D→R{\displaystyle f:D\to R}incógnita0{\displaystyle x_{0}}norte(incógnita0){\textstyle N(x_{0})}|F(incógnita)−F(incógnita0)|≤do(|incógnita−incógnita0|) a pesar de incógnita∈D∩norte(incógnita0){\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ para todo }}x\in D\cap N(x_{0})}

Una función es continua si es C -continua para alguna función de control C.incógnita0{\displaystyle x_{0}}

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control, una función es -continua si es -continua para algún Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz , las funciones continuas de Hölder de exponente α y las funciones uniformemente continuas que se muestran a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control respectivamente.do{\displaystyle {\mathcal {C}}}do{\displaystyle {\mathcal {C}}}do{\displaystyle C}do∈do.{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}doLipagsdohitz={do:do(δ)=K|δ|, K>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}CHölder−α={C:C(δ)=K|δ|α, K>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}Cuniform cont.={C:C(0)=0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}}

Definición mediante oscilación

La falta de continuidad de una función en un punto se cuantifica mediante su oscilación .

La continuidad también se puede definir en términos de oscilación : una función f es continua en un punto si y solo si su oscilación en ese punto es cero; [ 9 ] en símbolos, Una ventaja de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación indica cuánto discontinuo es el funcionamiento en un punto.x0{\displaystyle x_{0}}ωf(x0)=0.{\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos –los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que (por lo tanto, un conjunto )– y proporciona una demostración rápida de una dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . [ 10 ]ε{\displaystyle \varepsilon }Gδ{\displaystyle G_{\delta }}

La oscilación es equivalente a la definición mediante una simple reordenación y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un dado no hay que satisfaga la definición, entonces la oscilación es al menos y, recíprocamente, si para cada hay un deseado la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a aplicaciones de un espacio topológico a un espacio métrico .ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}δ{\displaystyle \delta }ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }ε0,{\displaystyle \varepsilon _{0},}ε{\displaystyle \varepsilon }δ,{\displaystyle \delta ,}

Definición mediante hiperreales

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal en la variable dependiente (véase Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La recta real se amplía añadiendo números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir como sigue.

Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreales tiene la propiedad de que para todo dx infinitesimal , es infinitesimal [ 11 ].f(x+dx)−f(x){\displaystyle f(x+dx)-f(x)}

(véase microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, lo que da una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

Reglas de continuidad

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni discontinuidades. La función es continua.

Demostrar la continuidad de una función mediante la aplicación directa de su definición suele ser una tarea compleja. Afortunadamente, en la práctica, la mayoría de las funciones se construyen a partir de funciones más simples, y su continuidad puede deducirse inmediatamente a partir de su definición, aplicando las siguientes reglas:

  • Toda función constante es continua
  • La función identidad esf(x)=x{\displaystyle f(x)=x} continua
  • Suma y multiplicación : si las funciones ⁠ ⁠f{\displaystyle f} y ⁠ ⁠g{\displaystyle g} son continuas en sus respectivos dominios ⁠ ⁠Df{\displaystyle D_{f}} y ⁠ ⁠Dg{\displaystyle D_{g}} , entonces su suma ⁠ ⁠f+g{\displaystyle f+g} y su producto ⁠ ⁠f⋅g{\displaystyle f\cdot g} son continuos en la intersección ⁠ ⁠Df∩Dg{\displaystyle D_{f}\cap D_{g}} , donde ⁠ ⁠f+g{\displaystyle f+g} y ⁠ ⁠f⋅g{\displaystyle f\cdot g} están definidos por ⁠ ⁠(f+g)(x)=f(x)+g(x){\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} y ⁠ ⁠(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x){\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)} .
  • Recíproca : Si la función ⁠ ⁠f{\displaystyle f} es continua en el dominio ⁠ ⁠Df{\displaystyle D_{f}} , entonces su recíproca ⁠ ⁠1f{\displaystyle {\tfrac {1}{f}}} , definida por ⁠ ⁠(1f)(x)=1f(x){\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}} es continua en el dominio ⁠ ⁠Df∖f−1(0){\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)} , es decir, el dominio ⁠ ⁠Df{\displaystyle D_{f}} del cualse eliminan los puntos ⁠ ⁠x{\displaystyle x} tales que ⁠ ⁠ .f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}
  • Composición de funciones : Si las funciones ⁠ ⁠f{\displaystyle f} y ⁠ ⁠g{\displaystyle g} son continuas en sus respectivos dominios ⁠ ⁠Df{\displaystyle D_{f}} y ⁠ ⁠Dg{\displaystyle D_{g}} , entonces la composición ⁠ ⁠g∘f{\displaystyle g\circ f} definida por ⁠ ⁠1{\displaystyle {1}} es continua en ⁠ ⁠Df∩f−1(Dg){\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})} , de modo que la parte de ⁠ ⁠Df{\displaystyle D_{f}} que es mapeada por ⁠ ⁠f{\displaystyle f} dentro de ⁠ ⁠Dg{\displaystyle D_{g}} .
  • Las funciones seno y coseno ( ⁠ ⁠sin⁡x{\displaystyle \sin x} y ⁠ ⁠cos⁡x{\displaystyle \cos x} ) son continuas en todas partes.
  • La función exponencial es continuaex{\displaystyle e^{x}} en todas partes.
  • El logaritmo natural ⁠ ⁠ln⁡x{\displaystyle \ln x} es continuo en el dominio formado por todos los números reales positivos ⁠ ⁠{x∣x>0}{\displaystyle \{x\mid x>0\}} .
La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .x=−2.{\displaystyle x=-2.}

Estas reglas implican que toda función polinómica es continua en todos los puntos y que una función racional es continua en todos los puntos donde está definida, si el numerador y el denominador no tienen raíces comunes . En términos más generales, el cociente de dos funciones continuas es continuo fuera de las raíces del denominador.

Las funciones sinc y cos

Un ejemplo de una función para la cual las reglas anteriores no son suficientes es la función sinc , que se define por y para sinc⁡(0)=1{\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}. Las reglas anteriores muestran inmediatamente que la función es continua para , pero , para probar la continuidad en , hay que probar Como esto es cierto, se obtiene que la función sinc es una función continua en todos los números reales sinc⁡(x)=sin⁡xx{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}.x≠0{\displaystyle x\neq 0}x≠0{\displaystyle x\neq 0}0{\displaystyle 0}limx→0sin⁡xx=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}

Ejemplos de funciones discontinuas

Gráfico de la función signo. Muestra que . Por lo tanto, la función signo es discontinua en 0 (véase la sección 2.1.3 ).limn→∞sgn⁡(1n)≠sgn⁡(limn→∞1n){\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}

Un ejemplo de función discontinua es la función escalón de Heaviside , definida por H{\displaystyle H}H(x)={1 if x≥00 if x<0{\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

Por ejemplo, tomemos . Entonces no hay ningún entorno alrededor de , es decir, ningún intervalo abierto con que obligue a que todos los valores estén dentro del entorno de , es decir, dentro de . Intuitivamente, podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de la función.ε=1/2{\displaystyle \varepsilon =1/2}δ{\displaystyle \delta }x=0{\displaystyle x=0}(−δ,δ){\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}δ>0,{\displaystyle \delta >0,}H(x){\displaystyle H(x)}ε{\displaystyle \varepsilon }H(0){\displaystyle H(0)}(1/2,3/2){\displaystyle (1/2,\;3/2)}

De manera similar, la función signo es discontinua en pero continua en todos los demás puntos. Otro ejemplo: la función es continua en todos los puntos excepto en .sgn⁡(x)={ 1 if x>0 0 if x=0−1 if x<0{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}x=0{\displaystyle x=0}f(x)={sin⁡(x−2) if x≠00 if x=0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}x=0{\displaystyle x=0}

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el centro muestra f(1/2) = 1/2.

Además de las continuidades y discontinuidades plausibles como las mencionadas anteriormente, también existen funciones con un comportamiento a menudo denominado patológico ; por ejemplo, la función de Thomae es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales. De manera similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de los números racionales, no es continua en ningún punto.f(x)={1 if x=01q if x=pq(in lowest terms) is a rational number0 if x is irrational.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}D(x)={0 if x is irrational (∈R∖Q)1 if x is rational (∈Q){\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}

Propiedades

Un lema útil

Sea una función que es continua en un punto y sea un valor tal que Entonces en algún entorno de [ 12 ]f(x){\displaystyle f(x)}x0,{\displaystyle x_{0},}y0{\displaystyle y_{0}}f(x0)≠y0.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}f(x)≠y0{\displaystyle f(x)\neq y_{0}}x0.{\displaystyle x_{0}.}

Demostración: Por definición de continuidad, tomemos , entonces existe tal que Supongamos que hay un punto en la vecindad para el cual entonces tenemos la contradicción ε=|y0−f(x0)|2>0{\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}δ>0{\displaystyle \delta >0}|f(x)−f(x0)|<|y0−f(x0)|2 whenever |x−x0|<δ{\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }|x−x0|<δ{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }f(x)=y0;{\displaystyle f(x)=y_{0};}|f(x0)−y0|<|f(x0)−y0|2.{\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud de los números reales , y establece:

Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado y k es algún número entre y entonces existe algún número tal que[a,b],{\displaystyle [a,b],}f(a){\displaystyle f(a)}f(b),{\displaystyle f(b),}c∈[a,b],{\displaystyle c\in [a,b],}f(c)=k.{\displaystyle f(c)=k.}

Por ejemplo, si un niño crece de 1  m a 1,5  m entre los dos y los seis años de edad, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años, la altura del niño debe haber sido de 1,25  m.

En consecuencia, si f es continua en y y difieren en signo , entonces, en algún punto debe ser igual a cero .[a,b]{\displaystyle [a,b]}f(a){\displaystyle f(a)}f(b){\displaystyle f(b)}c∈[a,b],{\displaystyle c\in [a,b],}f(c){\displaystyle f(c)}

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremo establece que si una función f está definida en un intervalo cerrado (o cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua en él, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe tal que para todo . Lo mismo ocurre con el mínimo de f . Estas afirmaciones no son, en general, ciertas si la función está definida en un intervalo abierto (o cualquier conjunto que no sea cerrado y acotado), ya que, por ejemplo, la función continua definida en el intervalo abierto (0,1) no alcanza un máximo, al no estar acotada superiormente.[a,b]{\displaystyle [a,b]}c∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,b]}f(c)≥f(x){\displaystyle f(c)\geq f(x)}x∈[a,b].{\displaystyle x\in [a,b].}(a,b){\displaystyle (a,b)}f(x)=1x,{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}

Relación con la diferenciabilidad y la integrabilidad

Toda función diferenciable es continua, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto.f:(a,b)→R{\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }

f(x)=|x|={ x if x≥0−x if x<0{\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

es continua en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable en (pero sí en todas las demás). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna.x=0{\displaystyle x=0}

La derivada f′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) no tiene por qué ser continua. Si f′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable . El conjunto de tales funciones se denota Más generalmente, el conjunto de funciones (de un intervalo abierto (o subconjunto abierto de ) a los reales) tales que f es veces diferenciable y tales que la -ésima derivada de f es continua se denota Véase clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos por computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) a se denominan a veces (continuidad de posición), (continuidad de tangencia) y (continuidad de curvatura); véase Suavidad de curvas y superficies .C1((a,b)).{\displaystyle C^{1}((a,b)).}f:Ω→R{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }R{\displaystyle \mathbb {R} }Ω{\displaystyle \Omega }n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}Cn(Ω).{\displaystyle C^{n}(\Omega ).}C0,C1,C2{\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}G0{\displaystyle G^{0}}G1{\displaystyle G^{1}}G2{\displaystyle G^{2}}

Toda función continua es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no es cierto, como lo demuestra la función signo (integrable pero discontinua) .f:[a,b]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }

Límites puntuales y uniformes

Una sucesión de funciones continuas cuya función límite (puntual) es discontinua. La convergencia no es uniforme.fn(x){\displaystyle f_{n}(x)}f(x){\displaystyle f(x)}

Dada una sucesión de funciones tal que el límite existe para todo , la función resultante se denomina límite puntual de la sucesión de funciones. La función límite puntual no tiene por qué ser continua, incluso si todas las funciones son continuas, como muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funciones son continuas y la sucesión converge uniformemente , según el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , los logaritmos , la función raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas.f1,f2,…:I→R{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }f(x):=limn→∞fn(x){\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}x∈D,{\displaystyle x\in D,}f(x){\displaystyle f(x)}(fn)n∈N.{\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}fn{\displaystyle f_{n}}fn{\displaystyle f_{n}}

Continuidad direccional

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas por la derecha y por la izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua por la derecha si no se produce ningún salto al aproximarse al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua por la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número, por pequeño que sea, existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisface ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}δ>0{\displaystyle \delta >0}c<x<c+δ,{\displaystyle c<x<c+\delta ,}f(x){\displaystyle f(x)}|f(x)−f(c)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }

Esta es la misma condición que para las funciones continuas, excepto que se requiere que se cumpla solo para x estrictamente mayor que c . Si se requiere que se cumpla para todo x con da como resultado la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es continua por la derecha y continua por la izquierda.|f(x)−f(c)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }c−δ<x<c{\displaystyle c-\delta <x<c}

Semicontinuidad

Una función f es semicontinua inferiormente en el punto c si, aproximadamente, cualquier salto que pueda ocurrir solo va hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquier existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisface La condición inversa es la semicontinuidad superior .ε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}δ>0{\displaystyle \delta >0}|x−c|<δ,{\displaystyle |x-c|<\delta ,}f(x){\displaystyle f(x)}f(x)≥f(c)−ε.{\displaystyle f(x)\geq f(c)-\varepsilon .}

Funciones continuas entre espacios métricos

El concepto de funciones continuas de valor real puede generalizarse a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto equipado con una función (llamada métrica ) que puede pensarse como una medida de la distancia entre dos elementos cualesquiera en X. Formalmente, la métrica es una función que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad triangular . Dados dos espacios métricos y y una función, entonces es continua en el punto (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo existe un número real positivo tal que todos los que satisfacen también satisfarán Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada sucesión en con límite tenemos La última condición puede debilitarse de la siguiente manera: es continua en el punto si y solo si para cada sucesión convergente en con límite , la sucesión es una sucesión de Cauchy y está en el dominio de .X{\displaystyle X}dX,{\displaystyle d_{X},}dX:X×X→R{\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }(X,dX){\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}(Y,dY){\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}f{\displaystyle f}c∈X{\displaystyle c\in X}ε>0,{\displaystyle \varepsilon >0,}δ>0{\displaystyle \delta >0}x∈X{\displaystyle x\in X}dX(x,c)<δ{\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }dY(f(x),f(c))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}(xn){\displaystyle \left(x_{n}\right)}X{\displaystyle X}limxn=c,{\displaystyle \lim x_{n}=c,}limf(xn)=f(c).{\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}f{\displaystyle f}c{\displaystyle c}(xn){\displaystyle \left(x_{n}\right)}X{\displaystyle X}c{\displaystyle c}(f(xn)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}c{\displaystyle c}f{\displaystyle f}

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un conjunto ; esto se deduce de la definición de continuidad.Gδ{\displaystyle G_{\delta }} ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una afirmación clave en este ámbito dice que un operador lineal entre espacios vectoriales normados y (que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada ) es continuo si y solo si es acotado , es decir, existe una constante tal que para todoT:V→W{\displaystyle T:V\to W}V{\displaystyle V}W{\displaystyle W}‖x‖{\displaystyle \|x\|}K{\displaystyle K}‖T(x)‖≤K‖x‖{\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}x∈V.{\displaystyle x\in V.}

Continuidad uniforme, de Hölder y Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo de la gráfica de manera que esta siempre permanezca completamente fuera del cono.

El concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos puede reforzarse de diversas maneras limitando la forma en que depende de y c en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real exista tal que para cada con se cumpla que Por lo tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario no se cumple en general, pero sí cuando el espacio dominio X es compacto . Las aplicaciones uniformemente continuas pueden definirse en la situación más general de espacios uniformes . [ 13 ]δ{\displaystyle \delta }ε{\displaystyle \varepsilon }δ{\displaystyle \delta }ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}δ>0{\displaystyle \delta >0}c,b∈X{\displaystyle c,b\in X}dX(b,c)<δ,{\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}dY(f(b),f(c))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}

Una función es continua de Hölder con exponente α (un número real) si existe una constante K tal que para todo se cumple la desigualdad . Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular se conoce como continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si existe una constante K tal que se cumple la desigualdad para cualquier [ 14 ]. La condición de Lipschitz aparece, por ejemplo, en el teorema de Picard-Lindelöf relativo a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias .b,c∈X,{\displaystyle b,c\in X,}dY(f(b),f(c))≤K⋅(dX(b,c))α{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}α=1{\displaystyle \alpha =1}dY(f(b),f(c))≤K⋅dX(b,c){\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}b,c∈X.{\displaystyle b,c\in X.}

funciones continuas entre espacios topológicos

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos, donde generalmente no existe una noción formal de distancia, como sí la hay en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología sobre X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen ciertos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones, generalizando las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos y permitiendo, al mismo tiempo, hablar de los entornos de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función entre dos espacios topológicos X e Y es continua si para cada conjunto abierto la imagen inversa es un subconjunto abierto de X. Es decir, f es una función entre los conjuntos X e Y ( no sobre los elementos de la topología ), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas en X e Y.f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}V⊆Y,{\displaystyle V\subseteq Y,}f−1(V)={x∈X|f(x)∈V}{\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}TX{\displaystyle T_{X}}

Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y sean cerradas en X.

Un ejemplo extremo: si un conjunto X tiene topología discreta (donde cada subconjunto es abierto), todas las funciones a cualquier espacio topológico T son continuas. Por otro lado, si X tiene topología indiscreta (donde los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el espacio T es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. En consecuencia, cualquier función cuyo codominio sea indiscreto es continua.f:X→T{\displaystyle f:X\to T}

Continuidad en un punto

Continuidad en un punto: Para cada entorno V de , existe un entorno U de x tal que .f(x){\displaystyle f(x)}f(U)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}

La traducción al lenguaje de los vecindarios de la definición de continuidad conduce a la siguiente definición de continuidad en un punto:(ε,δ){\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}

Una función es continua en un punto si y solo si, para cualquier entorno V de en Y , existe un entorno U de tal que .f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}x∈X{\displaystyle x\in X}f(x){\displaystyle f(x)}x{\displaystyle x}f(U)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}

Esta definición es equivalente a la misma afirmación con vecindarios restringidos a vecindarios abiertos y puede reformularse de varias maneras utilizando preimágenes en lugar de imágenes. Una de esas maneras es la siguiente. Como todo conjunto que contiene un vecindario es también un vecindario, y es el subconjunto más grande tal que la definición anterior puede simplificarse a:f−1(V)=U{\displaystyle f^{-1}(V)=U}U⊆X{\displaystyle U\subseteq X}f(U)⊆V,{\displaystyle f(U)\subseteq V,}

Una función es continua en un punto si y solo si, para cada entorno V de en Y , es un entorno de .f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}x∈X{\displaystyle x\in X}f(x){\displaystyle f(x)}f−1(V){\displaystyle f^{-1}(V)}x{\displaystyle x}

Así como un conjunto abierto es un conjunto que es un entorno de todos sus puntos, una función es continua en cada punto de X si y solo si es una función continua.f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

Si X e Y son espacios métricos, es equivalente considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto nos devuelve la definición anterior de continuidad en el contexto de los espacios métricos. En los espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía ni de distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x tiende a a es f ( a ). En un punto aislado, toda función es continua.ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }

Dado que un mapa es continuo en si y solo si siempre que es un filtro en que converge a en que se expresa escribiendo entonces necesariamente en Si denota el filtro de vecindad en entonces es continuo en si y solo si en [ 15 ] Además, esto sucede si y solo si el prefiltro es una base de filtro para el filtro de vecindad de en [ 15 ]x∈X,{\displaystyle x\in X,}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}x{\displaystyle x}B{\displaystyle {\mathcal {B}}}X{\displaystyle X}x{\displaystyle x}X,{\displaystyle X,}B→x,{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}f(B)→f(x){\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}Y.{\displaystyle Y.}N(x){\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}x{\displaystyle x}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}x{\displaystyle x}f(N(x))→f(x){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}Y.{\displaystyle Y.}f(N(x)){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}f(x){\displaystyle f(x)}Y.{\displaystyle Y.}

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica ; por lo tanto, existen varias formas equivalentes de definir una función continua.

Secuencias y redes

En diversos contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . Esto se logra a menudo especificando cuándo un punto es el límite de una sucesión . Sin embargo, para algunos espacios que son demasiado grandes en cierto sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos de puntos más generales indexados por un conjunto dirigido , conocidos como redes . Una función es (Heine-)continua solo si transforma límites de sucesiones en límites de sucesiones. En el primer caso, la conservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede conservar todos los límites de sucesiones y aun así no ser continua, y la conservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función es secuencialmente continua si siempre que una sucesión en converge a un límite, la sucesión converge a Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si es un espacio numerable de primer orden y se cumple la elección numerable , entonces también se cumple la inversa: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios no numerables de primer orden, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los cuales las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de sucesiones en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes, y esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}(xn){\displaystyle \left(x_{n}\right)}X{\displaystyle X}x,{\displaystyle x,}(f(xn)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}f(x).{\displaystyle f(x).}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}

Por ejemplo, consideremos el caso de funciones de valor real de una variable real: [ 16 ]

Teorema : Una función es continua en un punto si y solo si es secuencialmente continua en ese punto.f:A⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }x0{\displaystyle x_{0}}

Prueba

Supongamos que es continua en (en el sentido de continuidad ). Sea una sucesión que converge en (tal sucesión siempre existe, por ejemplo, ); dado que es continua en Para cualquier tal podemos encontrar un número natural tal que para todo ya que converge en ; combinando esto con obtenemos Supongamos por el contrario que es secuencialmente continua y procedamos por contradicción: supongamos que no es continua en entonces podemos tomar y llamar al punto correspondiente : de esta manera hemos definido una sucesión tal que por construcción pero , lo cual contradice la hipótesis de continuidad secuencial.f:A⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }x0{\displaystyle x_{0}}ε−δ{\displaystyle \varepsilon -\delta }(xn)n≥1{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}}x0{\displaystyle x_{0}}xn=x0, for all n{\displaystyle x_{n}=x_{0},{\text{ for all }}n}f{\displaystyle f}x0{\displaystyle x_{0}}∀ε>0∃δε>0:0<|x−x0|<δε⟹|f(x)−f(x0)|<ε.(∗){\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \delta _{\varepsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .\quad (*)}δε{\displaystyle \delta _{\varepsilon }}νε>0{\displaystyle \nu _{\varepsilon }>0}n>νε,{\displaystyle n>\nu _{\varepsilon },}|xn−x0|<δε,{\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon },}(xn){\displaystyle \left(x_{n}\right)}x0{\displaystyle x_{0}}(∗){\displaystyle (*)}∀ε>0∃νε>0:∀n>νε|f(xn)−f(x0)|<ε.{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \nu _{\varepsilon }>0:\forall n>\nu _{\varepsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\varepsilon .}f{\displaystyle f}f{\displaystyle f}x0{\displaystyle x_{0}}∃ε>0:∀δε>0,∃xδε:0<|xδε−x0|<δε⟹|f(xδε)−f(x0)|>ε{\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall \delta _{\varepsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\varepsilon }}:0<|x_{\delta _{\varepsilon }}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x_{\delta _{\varepsilon }})-f(x_{0})|>\varepsilon }δε=1/n,∀n>0{\displaystyle \delta _{\varepsilon }=1/n,\,\forall n>0}xδε=:xn{\displaystyle x_{\delta _{\varepsilon }}=:x_{n}}(xn)n≥1{\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}∀n>0|xn−x0|<1n,|f(xn)−f(x0)|>ε{\displaystyle \forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\varepsilon }xn→x0{\displaystyle x_{n}\to x_{0}}f(xn)↛f(x0){\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}◼{\displaystyle \blacksquare }

Definiciones de operador de cierre y operador interior

En términos de los operadores de interior y cierre , tenemos las siguientes equivalencias:

Teorema — Sea una aplicación entre espacios topológicos. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

  1. f{\displaystyle f}es continuo;
  2. para cada subconjuntoB⊆Y,{\displaystyle B\subseteq Y,}f−1(intY⁡B)⊆intX⁡(f−1(B));{\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right);}
  3. para cada subconjuntoA⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}f(clX⁡A)⊆clY⁡(f(A)).{\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right).}

Si declaramos que un punto está cerca de un subconjunto si entonces esta terminología permite una descripción sencilla en inglés de la continuidad: es continuo si y solo si para cada subconjunto asigna puntos que están cerca de a puntos que están cerca de De manera similar, es continuo en un punto fijo dado si y solo si siempre que esté cerca de un subconjunto entonces está cerca dex{\displaystyle x}A⊆X{\displaystyle A\subseteq X}x∈clX⁡A,{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}f{\displaystyle f}A⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}f{\displaystyle f}A{\displaystyle A}f(A).{\displaystyle f(A).}f{\displaystyle f}x∈X{\displaystyle x\in X}x{\displaystyle x}A⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}f(x){\displaystyle f(x)}f(A).{\displaystyle f(A).}

En lugar de especificar espacios topológicos por sus subconjuntos abiertos , cualquier topología en puede determinarse alternativamente por un operador de cierre o por un operador interior . Específicamente, la aplicación que envía un subconjunto de un espacio topológico a su cierre topológico satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Recíprocamente, para cualquier operador de cierre existe una topología única en (específicamente, ) tal que para cada subconjunto es igual al cierre topológico de en Si los conjuntos y están asociados cada uno con operadores de cierre (ambos denotados por ), entonces una aplicación es continua si y solo si para cada subconjuntoX{\displaystyle X}A{\displaystyle A}X{\displaystyle X}clX⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}A↦cl⁡A{\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}τ{\displaystyle \tau }X{\displaystyle X}τ:={X∖cl⁡A:A⊆X}{\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}} A⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}cl⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} A}cl(X,τ)⁡A{\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}A{\displaystyle A}(X,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}cl{\displaystyle \operatorname {cl} }f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}f(cl⁡A)⊆cl⁡(f(A)){\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}A⊆X.{\displaystyle A\subseteq X.}

De manera similar, el mapa que envía un subconjunto de a su interior topológico define un operador interior . Recíprocamente, cualquier operador interior induce una topología única en (específicamente, ) tal que para cada es igual al interior topológico de en Si los conjuntos y están cada uno asociados con operadores interiores (ambos denotados por ), entonces un mapa es continuo si y solo si para cada subconjunto [ 17 ]A{\displaystyle A}X{\displaystyle X}intX⁡A{\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}A↦int⁡A{\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}τ{\displaystyle \tau }X{\displaystyle X}τ:={int⁡A:A⊆X}{\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}} A⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}int⁡A{\displaystyle \operatorname {int} A}int(X,τ)⁡A{\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}A{\displaystyle A}(X,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}int{\displaystyle \operatorname {int} }f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}f−1(int⁡B)⊆int⁡(f−1(B)){\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}B⊆Y.{\displaystyle B\subseteq Y.}

Filtros y prefiltros

La continuidad también puede caracterizarse en términos de filtros . Una función es continua si y solo si, siempre que un filtro en converge en un punto , entonces el prefiltro converge en . Esta caracterización sigue siendo válida si se reemplaza la palabra "filtro" por "prefiltro". [ 15 ]f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}B{\displaystyle {\mathcal {B}}}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}x∈X,{\displaystyle x\in X,}f(B){\displaystyle f({\mathcal {B}})}Y{\displaystyle Y}f(x).{\displaystyle f(x).}

Propiedades

Si y son continuas, entonces también lo es la composición Si es continua yf:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}g:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}g∘f:X→Z.{\displaystyle g\circ f:X\to Z.}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

  • Si X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
  • Si X está conectado , entonces f ( X ) está conectado.
  • Si X es conexo por caminos , entonces f ( X ) es conexo por caminos.
  • X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
  • Si X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología es más gruesa que otra topología (notación: ) si todo subconjunto abierto con respecto a también es abierto con respecto a . Entonces, la aplicación identidad es continua si y solo si (véase también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua permanece continua si la topología se reemplaza por una topología más gruesa y/o se reemplaza por una topología más fina .τ1{\displaystyle \tau _{1}}τ2{\displaystyle \tau _{2}}τ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}τ1{\displaystyle \tau _{1}}τ2.{\displaystyle \tau _{2}.}idX:(X,τ2)→(X,τ1){\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}τ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}(X,τX)→(Y,τY){\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}τY{\displaystyle \tau _{Y}}τX{\displaystyle \tau _{X}}

Homeomorfismos

De forma simétrica al concepto de aplicación continua, existe una aplicación abierta , para la cual las imágenes de conjuntos abiertos también son abiertas. Si una aplicación abierta f tiene una función inversa , dicha inversa es continua, y si una aplicación continua g tiene una inversa, dicha inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa no tiene por qué ser continua. Una función biyectiva continua con una función inversa continua se denomina homeomorfismo .f−1{\displaystyle f^{-1}}

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas

Dada una función donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define considerando los conjuntos abiertos de S como aquellos subconjuntos A de S para los cuales es abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más gruesa que la topología final en S. Por lo tanto, la topología final es la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .f:X→S,{\displaystyle f:X\to S,}f−1(A){\displaystyle f^{-1}(A)}

De manera dual, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico X , la topología inicial en S se define designando como conjunto abierto todo subconjunto A de S tal que para algún subconjunto abierto U de X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S. Por lo tanto, la topología inicial es la topología más gruesa en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología de subespacio de S , vista como un subconjunto de X.A=f−1(U){\displaystyle A=f^{-1}(U)}

Una topología en un conjunto S está determinada unívocamente por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológicos X. De manera dual , una idea similar puede aplicarse a mapas .S→X{\displaystyle S\to X}X→S.{\displaystyle X\to S.}

Si es una función continua de algún subconjunto de un espacio topológico, entoncesf:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}S{\displaystyle S}X{\displaystyle X}La extensión continua deaes cualquier función continuatal quepara cada, condición que a menudo se escribe como. En otras palabras, es cualquier función continuaquese restringeaen. Esta noción se utiliza, por ejemplo, en elteorema de extensión de Tietzey en elteorema de Hahn-Banach. Sino es continua, entonces no podría tener una extensión continua. Sies unespacio de Hausdorffyes unsubconjunto densodeentonces una extensión continua dea, si existe, será única. Elteorema de Blumbergestablece que sies una función arbitraria, entonces existe un subconjunto densodetal que la restricciónes continua; en otras palabras, toda funciónpuede restringirse a algún subconjunto denso en el que sea continua.f{\displaystyle f}X{\displaystyle X}F:X→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}F(s)=f(s){\displaystyle F(s)=f(s)}s∈S{\displaystyle s\in S}f=F|S{\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}}F:X→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}f{\displaystyle f}S{\displaystyle S}f:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}Y{\displaystyle Y}S{\displaystyle S}X{\displaystyle X}f:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}X{\displaystyle X}f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }D{\displaystyle D}R{\displaystyle \mathbb {R} }f|D:D→R{\displaystyle f{\big \vert }_{D}\colon D\to \mathbb {R} }R→R{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

Diversos dominios matemáticos utilizan el concepto de continuidad con significados diferentes pero relacionados. Por ejemplo, en la teoría del orden , una función que preserva el orden entre tipos particulares de conjuntos parcialmente ordenados y es continua si para cada subconjunto dirigido de se cumple que Aquí es el supremo con respecto a los ordenamientos en y respectivamente. Esta noción de continuidad es la misma que la continuidad topológica cuando a los conjuntos parcialmente ordenados se les da la topología de Scott . [ 18 ] [ 19 ]f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}A{\displaystyle A}X,{\displaystyle X,}supf(A)=f(supA).{\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}sup{\displaystyle \,\sup \,}X{\displaystyle X}Y,{\displaystyle Y,}

En teoría de categorías , un functor entre dos categorías se denomina continuo si conmuta con límites pequeños . Es decir, para cualquier diagrama pequeño (es decir, indexado por un conjunto en lugar de una clase ) de objetos en .F:C→D{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}lim←i∈I⁡F(Ci)≅F(lim←i∈I⁡Ci){\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}I,{\displaystyle I,}C{\displaystyle {\mathcal {C}}}

Un espacio de continuidad es una generalización de los espacios métricos y los conjuntos parcialmente ordenados, [ 20 ] [ 21 ] que utiliza el concepto de cuantales y que puede utilizarse para unificar las nociones de espacios métricos y dominios . [ 22 ]

En teoría de la medida , una función definida en un conjunto medible de Lebesgue se denomina aproximadamente continua en un punto si el límite aproximado de en existe y es igual a . Esto generaliza la noción de continuidad al reemplazar el límite ordinario por el límite aproximado . Un resultado fundamental conocido como el teorema de Stepanov-Denjoy establece que una función es medible si y solo si es aproximadamente continua casi en todas partes . [ 23 ]f:E→Rk{\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{k}}E⊆Rn{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}x0∈E{\displaystyle x_{0}\in E}f{\displaystyle f}x0{\displaystyle x_{0}}f(x0){\displaystyle f(x_{0})}

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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