Semigrupo

En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria interna asociativa sobre él. En análisis matemático , el término también aparece en la teoría de semigrupos de operadores uniparamétricos: véase semigrupo C0 .

La operación binaria de un semigrupo se suele denotar de forma multiplicativa:${\displaystyle x\cdot y}$o simplemente${\displaystyle xy}$, denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado${\displaystyle (x,y)}$. La asociatividad se expresa formalmente como que${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$a pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$en el semigrupo. Un ejemplo de semigrupo es el formado por la concatenación de cadenas , que une cadenas . Por ejemplo, la concatenación de las cadenas "spot " y "run" es la cadena "spot " • "run" = "spot run". La asociatividad significa que

"Ver " • ("punto " • "correr") = "Ver " • "correr punto" = "Ver punto correr" = "Ver punto " • "correr" = ("Ver " • "punto ") • "correr".

El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Entre los primeros resultados se incluye un teorema de Cayley para semigrupos que realiza cualquier semigrupo como un semigrupo de transformación , en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones en la teoría de grupos. Un resultado fundamental en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes , análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green , no guardan ninguna relación con la teoría de grupos.

La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico . En la teoría de la probabilidad , los semigrupos se asocian con los procesos de Markov . ^{[ 1 ]} En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En ecuaciones diferenciales parciales , un semigrupo se asocia a cualquier ecuación cuya evolución espacial es independiente del tiempo.

Los semigrupos pueden considerarse un caso especial de magmas , donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos , sin requerir la existencia de un elemento identidad o inversos. ^{[ a ]} ​​Al igual que en el caso de grupos o magmas, la operación de semigrupo no tiene por qué ser conmutativa , por lo que${\displaystyle x\cdot y}$no es necesariamente igual a${\displaystyle y\cdot x}$Un ejemplo bien conocido de una operación asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices . Si la operación de semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se denomina semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en el caso análogo de los grupos ) se puede denominar semigrupo abeliano .

Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre semigrupos y grupos, y es un semigrupo que posee un elemento identidad , cumpliendo así todos los axiomas de un grupo excepto uno: la existencia de inversos no es un requisito para un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con la concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento identidad. Restringirnos a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativos sí forman un monoide. Un semigrupo sin elemento identidad puede convertirse fácilmente en un monoide simplemente añadiéndole un elemento identidad. Por consiguiente, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos en lugar de en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son generalizaciones de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no tiene por qué ser asociativa, pero los cuasigrupos conservan de los grupos la noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.

Existen numerosas clases especiales de semigrupos , semigrupos con propiedades adicionales, que aparecen en aplicaciones particulares. Algunas de estas clases se asemejan aún más a los grupos al exhibir algunas propiedades adicionales, aunque no todas. Entre ellas, cabe mencionar: semigrupos regulares , semigrupos ortodoxos , semigrupos con involución , semigrupos inversos y semigrupos cancelativos . También existen clases interesantes de semigrupos que no contienen ningún grupo, salvo el grupo trivial ; ejemplos de este último tipo son las bandas y su subclase conmutativa: las semirretículas , que también son estructuras algebraicas ordenadas .

Un semigrupo es un conjunto${\displaystyle S}$junto con una operación binaria${\displaystyle \cdot }$(es decir, una función)${\displaystyle \cdot :S\times S\to S}$) que satisface la propiedad asociativa :

a pesar de${\displaystyle a,b,c\in S}$, la ecuación${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$sostiene.

En resumen, un semigrupo es un magma asociativo .

• Semigrupo vacío : el conjunto vacío forma un semigrupo con la función vacía como operación binaria.
• Semigrupo con un elemento : esencialmente solo hay uno (específicamente, solo uno salvo isomorfismo ), el singleton.${\displaystyle \{a\}}$con operación${\displaystyle a\cdot a=a}$.
• Semigrupo con dos elementos : hay cinco que son esencialmente diferentes.
• Un semigrupo nulo en cualquier conjunto no vacío con un cero elegido, o un semigrupo cero izquierdo/derecho en cualquier conjunto.
• El monoide "flip-flop": un semigrupo con tres elementos que representan las tres operaciones de un interruptor: activar, desactivar y no hacer nada. Este monoide desempeña un papel fundamental en la teoría de Krohn-Rhodes.
• El conjunto de los enteros positivos con suma. (Incluyendo el 0, se convierte en un monoide ).
• El conjunto de los números enteros con mínimo o máximo. (Incluyendo el infinito positivo/negativo, se convierte en un monoide).
• Matrices cuadradas no negativas de un tamaño dado con multiplicación de matrices (esto es un monoide).
• Cualquier ideal de un anillo con la multiplicación del anillo.
• El conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto fijo.${\displaystyle \Sigma }$con la concatenación de cadenas como la operación de semigrupo, llamada semigrupo libre sobre${\displaystyle \Sigma }$. Con la cadena vacía incluida, este semigrupo se convierte en el monoide libre sobre${\displaystyle \Sigma }$.
• Una distribución de probabilidad${\displaystyle F}$junto con todas las potencias de convolución de${\displaystyle F}$, con la convolución como operación. Esto se denomina semigrupo de convolución.
• Semigrupos y monoides de transformación .
• El conjunto de funciones continuas de un espacio topológico en sí mismo, con composición de funciones, forma un monoide donde la función identidad actúa como elemento neutro. De forma más general, los endomorfismos de cualquier objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.
• El producto de las caras de una disposición de hiperplanos .

Para cualquier subconjunto A de S existe un subsemigrupo T de S más pequeño que contiene a A , y decimos que A genera T. Un solo elemento x de S genera el subsemigrupo { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ } . Si este es finito, entonces se dice que x es de orden finito ; de lo contrario, es de orden infinito . Se dice que un semigrupo es periódico si todos sus elementos son de orden finito. Un semigrupo generado por un solo elemento se dice monogénico (o cíclico ). Si un semigrupo monogénico es infinito, entonces es isomorfo al semigrupo de los enteros positivos con la operación de suma. Si es finito y no vacío, entonces debe contener al menos un idempotente . De ello se deduce que todo semigrupo periódico no vacío tiene al menos un idempotente.

Un subsemigrupo que también es un grupo se denomina subgrupo . Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotentes. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, a saber, el elemento identidad del subgrupo. Para cada idempotente e del semigrupo, existe un único subgrupo maximal que lo contiene . Cada subgrupo maximal surge de esta manera, por lo que existe una correspondencia biunívoca entre idempotentes y subgrupos maximales. Aquí, el término subgrupo maximal difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.

A menudo se puede decir más cuando el orden es finito. Por ejemplo, todo semigrupo finito no vacío es periódico y tiene un ideal mínimo y al menos un idempotente. El número de semigrupos finitos de un tamaño dado (mayor que 1) es (obviamente) mayor que el número de grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, de las dieciséis posibles "tablas de multiplicación" para un conjunto de dos elementos { a , b } , ocho forman semigrupos ^{[ b ]} , mientras que solo cuatro de estos son monoides y solo dos forman grupos. Para más información sobre la estructura de los semigrupos finitos, véase la teoría de Krohn-Rhodes .

• Un monoide es un semigrupo con un elemento identidad .
• Un grupo es un monoide en el que cada elemento tiene un elemento inverso .
• Un subsemigrupo es un subconjunto de un semigrupo que es cerrado bajo la operación de semigrupo.
• Un semigrupo cancelativo es aquel que tiene la propiedad de cancelación : ^{[ 9 ]} a · b = a · c implica b = c y de manera similar para b · a = c · a . Todo grupo es un semigrupo cancelativo, y todo semigrupo cancelativo finito es un grupo.
• Una banda es un semigrupo cuyo funcionamiento es idempotente .
• Un semirretículo es un semigrupo cuya operación es idempotente y conmutativa .
• 0- semigrupos simples.
• Semigrupos de transformación : cualquier semigrupo finito S puede representarse mediante transformaciones de un conjunto (de estados) Q de como máximo | S | + 1 estados. Cada elemento x de S se transforma en sí mismo mediante la transformación x : Q → Q , y la secuencia xy se define como q ( xy ) = ( qx ) y para cada q en Q. La secuenciación es claramente una operación asociativa, equivalente en este caso a la composición de funciones . Esta representación es fundamental para cualquier autómata o máquina de estados finitos (MEF). 
• El semigrupo bicíclico es de hecho un monoide, que puede describirse como el semigrupo libre en dos generadores p y q , bajo la relación pq = 1 .
• C ₀ -semigrupos .
• Semigrupos regulares . Cada elemento x tiene al menos un inverso y que satisface xyx = x e yxy = y ; los elementos x e y a veces se denominan "mutuamente inversos".
• Los semigrupos inversos son semigrupos regulares donde cada elemento tiene exactamente un inverso. En otras palabras, un semigrupo regular es inverso si y solo si dos elementos idempotentes cualesquiera conmutan.
• Semigrupo afín: un semigrupo que es isomorfo a un subsemigrupo finitamente generado de Z ^d . Estos semigrupos tienen aplicaciones en el álgebra conmutativa .

Existe un teorema de estructura para semigrupos conmutativos en términos de semirretículos . ^{[ 10 ]} Un semirretículo (o más precisamente un semirretículo de intersección) ( L , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos a , b ∈ L tiene una cota inferior máxima , denotada a ∧ b . La operación ∧ convierte a L en un semigrupo que satisface la ley de idempotencia adicional a ∧ a = a .

Dado un homomorfismo f  : S → L de un semigrupo arbitrario a un semiretículo, cada imagen inversa S _a = f ⁻¹ { a } es un semigrupo (posiblemente vacío). Además, S se vuelve graduado por L , en el sentido de que S _a S _b ⊆ S _{a ∧ b} .

Si f es sobreyectiva, el semirretículo L es isomorfo al cociente de S por la relación de equivalencia ~ tal que x ~ y si y solo si f ( x ) = f ( y ) . Esta relación de equivalencia es una congruencia de semigrupo, como se definió anteriormente.

Siempre que tomamos el cociente de un semigrupo conmutativo por una congruencia, obtenemos otro semigrupo conmutativo. El teorema de estructura establece que para cualquier semigrupo conmutativo S , existe una congruencia ~ tal que el cociente de S por esta relación de equivalencia es un semirretículo. Denotando este semirretículo por L , obtenemos un homomorfismo f de S sobre L. Como se mencionó, S se convierte en un semirretículo graduado.

Además, los componentes S _a son todos semigrupos arquimedianos . Un semigrupo arquimediano es aquel en el que, dado cualquier par de elementos x , y , existe un elemento z y n > 0 tal que x ⁿ = yz .

La propiedad arquimediana se deduce inmediatamente del ordenamiento en el semirretículo L , puesto que con este ordenamiento tenemos f ( x ) ≤ f ( y ) si y solo si x ⁿ = yz para algún z y n > 0 .

El grupo de fracciones o completación de grupo de un semigrupo S es el grupo G = G ( S ) generado por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que se cumplen en S como relaciones . ^{[ 11 ]} Hay un homomorfismo de semigrupo obvio j  : S → G ( S ) que envía cada elemento de S al generador correspondiente. Esto tiene una propiedad universal para morfismos de S a un grupo: ^{[ 12 ]} dado cualquier grupo H y cualquier homomorfismo de semigrupo k  : S → H , existe un homomorfismo de grupo único f  : G → H con k = fj . Podemos pensar en G como el grupo "más general" que contiene una imagen homomórfica de S .

Una cuestión importante es caracterizar aquellos semigrupos para los cuales este mapa es una incrustación. Esto no tiene por qué ser siempre el caso: por ejemplo, tomemos S como el semigrupo de subconjuntos de algún conjunto X con intersección de teoría de conjuntos como operación binaria (este es un ejemplo de un semiretículo). Dado que A . A = A se cumple para todos los elementos de S , esto también debe ser cierto para todos los generadores de G ( S ), que es por lo tanto el grupo trivial . Es claramente necesario para la incrustabilidad que S tenga la propiedad de cancelación . Cuando S es conmutativo, esta condición también es suficiente, ^{[ 13 ]} y el grupo de fracciones puede construirse como el grupo de Grothendieck del semigrupo, o a través de una variante menor de la construcción estándar del cuerpo de fracciones de un dominio integral. ^{[ 14 ]} El problema para semigrupos no conmutativos puede rastrearse al primer artículo sustancial sobre semigrupos. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Anatoly Maltsev dio condiciones necesarias y suficientes para la incrustabilidad en 1937. ^{[ 17 ]}

La teoría de semigrupos puede utilizarse para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . En términos generales, el enfoque de semigrupos consiste en considerar una ecuación diferencial parcial dependiente del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio de funciones. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema de valores iniciales/de contorno para la ecuación del calor en el intervalo espacial (0, 1) ⊂ R y tiempos t ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

Sea X = L ² ((0, 1) R ) el espacio L ^p de funciones reales de cuadrado integrable con dominio el intervalo (0, 1) y sea A el operador de segunda derivada con dominio

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

dónde${\displaystyle H^{2}}$es un espacio de Sobolev . Entonces, el problema de valores iniciales/de contorno anterior puede interpretarse como un problema de valores iniciales para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

A nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser $${\displaystyle u(t)=\exp(tA)u_{0}.}$$ Sin embargo, para un tratamiento riguroso, es necesario definir el significado de la exponencial de tA . Como función de t , exp( tA ) es un semigrupo _de operadores de X en sí mismo, que transforma el estado inicial u₀ en el instante t ₌ 0 en el estado u ( t ) = exp( tA ) u₀ en el instante t . Se dice que el operador A es el generador infinitesimal del semigrupo.

El estudio de los semigrupos se desarrolló más tarde que el de otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos, como grupos o anillos . Varias fuentes ^{[ 18 ] [ 19 ]} atribuyen el primer uso del término (en francés) a J.-A. de Séguier en Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementos de la teoría de los grupos abstractos) en 1904. El término se utiliza en inglés en 1908 en Theory of Groups of Finite Order de Harold Hinton .

Anton Sushkevich obtuvo los primeros resultados no triviales sobre semigrupos. Su artículo de 1928, "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Sobre grupos finitos sin la regla de invertibilidad única"), determinó la estructura de los semigrupos simples finitos y mostró que el ideal mínimo (o clase J de relaciones de Green ) de un semigrupo finito es simple. ^{[ 19 ]} A partir de ese momento, los fundamentos de la teoría de semigrupos fueron establecidos por David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford y Gordon Preston . Estos dos últimos publicaron una monografía en dos volúmenes sobre la teoría de semigrupos en 1961 y 1967, respectivamente. En 1970, una nueva revista llamada Semigroup Forum (actualmente publicada por Springer Verlag ) se convirtió en una de las pocas revistas matemáticas dedicadas por completo a la teoría de semigrupos.

La teoría de la representación de semigrupos fue desarrollada en 1963 por Boris Schein utilizando relaciones binarias en un conjunto A y la composición de relaciones para el producto de semigrupos. ^{[ 20 ]} En una conferencia de álgebra en 1972, Schein revisó la literatura sobre B _A , el semigrupo de relaciones en A . ^{[ 21 ]} En 1997, Schein y Ralph McKenzie demostraron que todo semigrupo es isomorfo a un semigrupo transitivo de relaciones binarias. ^{[ 22 ]}

En los últimos años, los investigadores en este campo se han especializado más, con la aparición de monografías dedicadas a clases importantes de semigrupos, como los semigrupos inversos , así como monografías centradas en aplicaciones en la teoría de autómatas algebraicos , particularmente para autómatas finitos, y también en el análisis funcional .

Si se elimina el axioma de asociatividad de un semigrupo, el resultado es un magma , que no es más que un conjunto M equipado con una operación binaria cerrada M × M → M.

Generalizando en una dirección diferente, un semigrupo n -ario (también n -semigrupo , semigrupo poliádico o semigrupo multiario ) es una generalización de un semigrupo a un conjunto G con una operación n -aria en lugar de una operación binaria. ^{[ 23 ]} La ley asociativa se generaliza de la siguiente manera: la asociatividad ternaria es ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la cadena abcde con cualesquiera tres elementos adyacentes entre corchetes. La asociatividad n -aria es una cadena de longitud n + ( n − 1) con cualesquiera n elementos adyacentes entre corchetes. Un semigrupo 2-ario es simplemente un semigrupo. Otros axiomas conducen a un grupo n -ario .

Una tercera generalización es el semigrupoide , en el que se elimina el requisito de que la relación binaria sea total. Como las categorías generalizan los monoides de la misma manera, un semigrupoide se comporta de forma muy similar a una categoría, pero carece de identidades.

En ocasiones, varios autores han considerado generalizaciones infinitas de semigrupos conmutativos. ^{[ c ]}

• Elemento absorbente
• Conjunto biordenado
• Semigrupo compacto
• semigrupo vacío
• Inversa generalizada
• Elemento de identidad
• Prueba de asociatividad de la luz
• Factor principal
• Semigrupo dinámico cuántico
• Acción de semigrupo
• anillo de semigrupo
• Inverso débil