Semigrupo con tres elementos

En álgebra abstracta , un semigrupo de tres elementos es un objeto compuesto por tres elementos y una operación asociativa definida sobre ellos. El ejemplo básico serían los tres números enteros 0, 1 y -1, junto con la operación de multiplicación. La multiplicación de enteros es asociativa, y el producto de dos cualesquiera de estos tres enteros es, de nuevo, uno de estos tres enteros.

Hay 18 formas no equivalentes de definir una operación asociativa sobre tres elementos: si bien hay, en total, 3 ⁹ = 19683 operaciones binarias diferentes que se pueden definir, solo 113 de ellas son asociativas, y muchas de ellas son isomorfas o antiisomorfas, por lo que esencialmente solo hay 18 posibilidades. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Uno de ellos es C ₃ , el grupo cíclico con tres elementos. Los demás tienen un semigrupo con dos elementos como subsemigrupos . En el ejemplo anterior, el conjunto {−1,0,1} bajo la multiplicación contiene tanto {0,1} como {−1,1} como subsemigrupos (este último es un subgrupo , C 2 ₎ .

Seis de estas son bandas , lo que significa que los tres elementos son idempotentes , de modo que el producto de cualquier elemento consigo mismo es también el mismo elemento. Dos de estas bandas son conmutativas , por lo tanto, semirretículos (uno de ellos es el conjunto totalmente ordenado de tres elementos, y el otro es un semirretículo de tres elementos que no es un retículo). Los otros cuatro se presentan en pares antiisomorfos.

Una de estas bandas no conmutativas resulta de adjuntar un elemento identidad a LO ₂ , el semigrupo cero izquierdo con dos elementos (o, dualmente, a RO ₂ , el semigrupo cero derecho ). A veces se le llama monoide de biestable , en referencia a los circuitos de biestable utilizados en electrónica: los tres elementos se pueden describir como "establecer", "reiniciar" y "no hacer nada". Este semigrupo aparece en la descomposición de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos. ^{[ 3 ]} Los elementos irreducibles en esta descomposición son los grupos simples finitos más este semigrupo de tres elementos y sus subsemigrupos.

Existen dos semigrupos cíclicos : uno descrito por la ecuación x⁴ = x³ , que tiene a O₂ ^, _el semigrupo nulo con dos elementos, como subgrupo; y otro descrito por x⁴ = x² _, que tiene a C₂ ^{, el} grupo con dos elementos, como subgrupo. (La ecuación x⁴ = x describe a C₃ ^, _{el grupo con tres} ^elementos , ya mencionado).

Existen otros siete semigrupos conmutativos no cíclicos y no de banda, incluyendo el ejemplo inicial de {−1, 0, 1} y O ₃ , el semigrupo nulo con tres elementos. También existen otros dos pares antiisomorfos de semigrupos no conmutativos y no de banda.

• Clases especiales de semigrupos
• Semigrupo con dos elementos
• Semigrupo con un elemento
• semigrupo vacío