semigrupo vacío

En matemáticas , un semigrupo sin elementos (el semigrupo vacío ) es un semigrupo cuyo conjunto subyacente es el conjunto vacío . Muchos autores no admiten la existencia de tal semigrupo. Para ellos, un semigrupo es, por definición, un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sin embargo, no todos los autores insisten en que el conjunto subyacente de un semigrupo no sea vacío. ^{[ 3 ]} Se puede definir lógicamente un semigrupo cuyo conjunto subyacente S es vacío. La operación binaria en el semigrupo es la función vacía de S × S a S . Esta operación satisface trivialmente los axiomas de cierre y asociatividad de un semigrupo. No excluir el semigrupo vacío simplifica ciertos resultados sobre semigrupos. Por ejemplo, el resultado de que la intersección de dos subsemigrupos de un semigrupo T es un subsemigrupo de T se vuelve válido incluso cuando la intersección es vacía.

Cuando se define un semigrupo con una estructura adicional, este problema puede no presentarse. Por ejemplo, la definición de un monoide requiere un elemento identidad , lo que excluye al semigrupo vacío como monoide.

En la teoría de categorías , el semigrupo vacío siempre es admitido. Es el único objeto inicial de la categoría de semigrupos.

Un semigrupo sin elementos es un semigrupo inverso , puesto que la condición necesaria se satisface trivialmente.

• Campo con un elemento
• Semigrupo con un elemento
• Semigrupo con dos elementos
• Semigrupo con tres elementos
• Clases especiales de semigrupos