Semigrupo con dos elementos

En matemáticas , un semigrupo con dos elementos es un semigrupo cuya cardinalidad del conjunto subyacente es dos. Existen exactamente cinco semigrupos no isomorfos que tienen dos elementos:

• O ₂ , el semigrupo nulo de orden dos.
• LO ₂ , el semigrupo cero izquierdo de orden dos.
• RO ₂ , el semigrupo cero derecho de orden dos.
• ({0,1}, ∧) (donde "∧" es el conector lógico " y "), o equivalentemente el conjunto {0,1} bajo la multiplicación: el único semirretículo con dos elementos y el único semigrupo no nulo con cero de orden dos, también un monoide , y en última instancia el álgebra booleana de dos elementos ; esto también es isomorfo a (Z ₂ , · ₂ ), el grupo multiplicativo de {0,1} módulo 2.
• (Z ₂ , + ₂ ) (donde Z ₂ = {0,1} y "+ ₂ " es "suma módulo 2"), o equivalentemente ({0,1}, ⊕) (donde "⊕" es el conector lógico " xor "), o equivalentemente el conjunto {−1,1} bajo la multiplicación: el único grupo de orden dos.

Los semigrupos LO ₂ y RO ₂ son antiisomorfos . O ₂ , ({0,1}, ∧) y (Z ₂ , + ₂ ) son conmutativos , y LO ₂ y RO ₂ no son conmutativos. LO ₂ , RO ₂ y ({0,1}, ∧) son bandas .

Eligiendo el conjunto A = { 1, 2 } como el conjunto subyacente con dos elementos, se pueden definir dieciséis operaciones binarias en A. Estas operaciones se muestran en la tabla siguiente. En la tabla, una matriz de la forma

indica una operación binaria en A que tiene la siguiente tabla de Cayley .

En esta tabla:

• El semigrupo ({0,1},${\displaystyle \wedge }$) denota el semigrupo de dos elementos que contiene el elemento cero 0 y el elemento unidad 1. Las dos operaciones binarias definidas por matrices en un fondo verde son asociativas y emparejar cualquiera de ellas con A crea un semigrupo isomorfo al semigrupo ({0,1},${\displaystyle \wedge }$) . Cada elemento es idempotente en este semigrupo, por lo que es una banda . Además, es conmutativo (abeliano) y por lo tanto un semiretículo . El orden inducido es un orden lineal , por lo que de hecho es un retículo y también es un retículo distributivo y complementado , es decir, es en realidad el álgebra booleana de dos elementos .
• Las dos operaciones binarias definidas por matrices sobre fondo azul son asociativas y al emparejarlas con A se crea un semigrupo isomorfo al semigrupo nulo O ₂ con dos elementos.
• La operación binaria definida por la matriz de fondo naranja es asociativa y, al combinarla con A, se crea un semigrupo. Este es el semigrupo cero izquierdo LO2 _. No es conmutativo.
• La operación binaria definida por la matriz de fondo púrpura es asociativa y, al combinarla con A, _se crea un semigrupo. Este es el semigrupo cero derecho RO₂ . Tampoco es conmutativo.
• Las dos operaciones binarias definidas por matrices sobre fondo rojo son asociativas y al emparejarlas con A se crea un semigrupo isomorfo al grupo (Z ₂ , + ₂ ) .
• Las ocho operaciones binarias restantes definidas por matrices sobre fondo blanco no son asociativas y, por lo tanto , ninguna de ellas crea un semigrupo cuando se combina con A.

La tabla de Cayley para el semigrupo ({0,1},${\displaystyle \wedge }$) se muestra a continuación:

Este es el ejemplo no trivial más sencillo de un semigrupo que no es un grupo. Este semigrupo tiene un elemento neutro, el 1, lo que lo convierte en un monoide . Además, es conmutativo. No es un grupo porque el elemento 0 no tiene inverso, y ni siquiera es un semigrupo cancelativo, ya que no podemos cancelar el 0 en la ecuación 1·0 = 0·0.

Este semigrupo surge en diversos contextos. Por ejemplo, si elegimos 1 como el valor de verdad " verdadero " y 0 como el valor de verdad " falso ", y la operación como el conector lógico " y ", obtenemos este semigrupo en lógica . Es isomorfo al monoide {0,1} bajo la multiplicación. También es isomorfo al semigrupo

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right\}}$

bajo multiplicación de matrices .

La tabla de Cayley para el semigrupo (Z ₂ , + ₂ ) se muestra a continuación:

Este grupo es isomorfo al grupo cíclico Z ₂ y al grupo simétrico S ₂ .

Sea A el conjunto de tres elementos {1, 2, 3} . En total, se pueden definir 3 ^{9 = 19683 operaciones binarias diferentes en} A. 113 de las 19683 operaciones binarias determinan 24 semigrupos no isomorfos, o 18 semigrupos no equivalentes (siendo la equivalencia isomorfismo o antiisomorfismo). ^{[ 1 ]} Con la excepción del grupo con tres elementos , cada uno de estos tiene uno (o más) de los semigrupos de dos elementos anteriores como subsemigrupos. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, el conjunto {−1, 0, 1} bajo la multiplicación es un semigrupo de orden 3, y contiene tanto {0, 1} como {−1, 1} como subsemigrupos.

Se han desarrollado algoritmos y programas informáticos para determinar semigrupos finitos no isomorfos de un orden dado. Estos se han aplicado para determinar semigrupos no isomorfos de orden pequeño. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} El número de semigrupos no isomorfos con n elementos, para n un entero no negativo, se encuentra en OEIS : A027851  en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . OEIS : A001423  enumera el número de semigrupos no equivalentes, y OEIS : A023814  el número de operaciones binarias asociativas, de un total de n ^{n 2} , que determinan un semigrupo.

• semigrupo vacío
• Semigrupo trivial (semigrupo con un elemento)
• Semigrupo con tres elementos
• Clases especiales de semigrupos