semigrupo nulo

En matemáticas , un semigrupo nulo (también llamado semigrupo cero ) es un semigrupo con un elemento absorbente , llamado cero , en el que el producto de dos elementos cualesquiera es cero. ^{[ 1 ]} Si cada elemento de un semigrupo es un cero izquierdo , entonces el semigrupo se llama semigrupo cero izquierdo ; un semigrupo cero derecho se define de forma análoga. ^{[ 2 ]}

Según AH Clifford y GB Preston , "A pesar de su trivialidad, estos semigrupos surgen naturalmente en varias investigaciones". ^{[ 1 ]}

semigrupo nulo

Sea S un semigrupo con elemento cero 0. Entonces S se llama semigrupo nulo si xy = 0 para todo x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo nulo

Sea S = {0, a , b , c } (el conjunto subyacente de) un semigrupo nulo. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

Semigrupo cero izquierdo

Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento cero por la izquierda se llama semigrupo cero por la izquierda . Por lo tanto, un semigrupo S es un semigrupo cero por la izquierda si xy = x para todo x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo cero izquierdo

Sea S = { a , b , c } un semigrupo cero izquierdo. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

semigrupo cero derecho

Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento cero por la derecha se llama semigrupo cero por la derecha . Por lo tanto , un semigrupo S es un semigrupo cero por la derecha si xy = y para todo x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo cero derecho

Sea S = { a , b , c } un semigrupo cero derecho. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

Propiedades

Un semigrupo nulo (izquierdo/derecho cero) no trivial no contiene un elemento identidad . Por lo tanto, el único monoide nulo (izquierdo/derecho cero) es el monoide trivial. Por otro lado, un semigrupo nulo (izquierdo/derecho cero) con un elemento identidad adjunto se denomina monoide único (primero/último).

La clase de semigrupos nulos es:

cerrado bajo la toma de subsemigrupos
cerrado bajo la toma del cociente del subsemigrupo
cerrado bajo productos directos arbitrarios .

De ello se deduce que la clase de semigrupos nulos (cero por la izquierda/derecha) es una variedad de álgebra universal y, por lo tanto, una variedad de semigrupos finitos . La variedad de semigrupos nulos finitos se define por la identidad ab = cd .

Véase también

Grupo derecho

Referencias

1 2 A H Clifford; GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos, volumen I. Mathematical Surveys. Vol. 1 (2.ª ed.). American Mathematical Society . págs. 3–4 . ISBN 978-0-8218-0272-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
^ M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7pág. 19

[clifford-1] 1 2 A H Clifford; GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos, volumen I. Mathematical Surveys. Vol. 1 (2.ª ed.). American Mathematical Society . págs. 3–4 . ISBN 978-0-8218-0272-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[2] M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7pág. 19

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