Grupo derecho

Clifford proporciona el siguiente ejemplo. ^{[ 2 ]} Tomemos el grupo${\displaystyle G=\{e,a,b\}}$, el semigrupo cero derecho${\displaystyle Z=\{1,2\}}$y construir el grupo adecuado${\displaystyle R_{gz}}$como producto directo de${\displaystyle G}$y${\displaystyle Z}$.

${\displaystyle G}$es simplemente el grupo cíclico de orden 3, con${\displaystyle e}$como su identidad y${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$como inversas entre sí.

${\displaystyle Z}$es el semigrupo cero derecho de orden 2. Nótese que cada elemento se repite a lo largo de su columna, ya que por definición${\displaystyle x\cdot y=y}$, para cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle Z}$.

El producto directo${\displaystyle R_{gz}=G\times Z}$La definición de estas dos estructuras es la siguiente:

• Los elementos de${\displaystyle R_{gz}}$son pares ordenados${\displaystyle (g,z)}$de tal manera que${\displaystyle g}$está en${\displaystyle G}$y${\displaystyle z}$está en${\displaystyle Z}$.
• El${\displaystyle R_{gz}}$La operación se define elemento a elemento:

  Fórmula 1:${\displaystyle (x,y)\cdot (u,v)=(xu,v)}$

Los elementos de${\displaystyle R_{gz}}$se verá como${\displaystyle (e,1),(e,2),(a,1)}$y así sucesivamente. Para abreviar, vamos a renombrarlos como${\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}, a_ {1}}$y así sucesivamente. La tabla de Cayley de${\displaystyle R_{gz}}$es el siguiente:

Aquí hay algunos datos sobre${\displaystyle R_{gz}}$:

• ${\displaystyle R_{gz}}$tiene dos identidades izquierdas:${\displaystyle e_{1}}$y${\displaystyle e_{2}}$Algunos ejemplos:

  ${\displaystyle e2\cdot b1=b1}$

  ${\displaystyle e1\cdot a2=a2}$

• Cada elemento tiene dos inversos derechos. Por ejemplo, los inversos derechos de${\displaystyle a_{2}}$con respecto a${\displaystyle e_{1}}$y${\displaystyle e_{2}}$son${\displaystyle b_{1}}$y${\displaystyle b_{2}}$, respectivamente.

  ${\displaystyle a2\cdot b1=e1}$

  ${\displaystyle a2\cdot b2=e2}$

Clifford da un segundo ejemplo ^{[ 4 ]} que involucra números complejos . Dados dos números complejos distintos de cero, a y b , la siguiente operación forma un grupo derecho:

${\displaystyle a\cdot b=|a|\,b}$

Todos los números complejos con módulo igual a 1 son identidades por la izquierda, y todos los números complejos tendrán un inverso por la derecha con respecto a cualquier identidad por la izquierda.

La estructura interna de este grupo derecho se hace evidente cuando usamos coordenadas polares : sea${\displaystyle a=Ae^{i\alpha }}$y${\displaystyle b=Be^{i\beta }}$, donde A y B son las magnitudes y${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son los argumentos (ángulos) de a y b , respectivamente.${\displaystyle a\cdot b}$(esta no es la multiplicación regular de números complejos) entonces se convierte en${\displaystyle Ae^{i\alpha }\cdot Be^{i\beta }=ABe^{i\beta }}$Si representamos las magnitudes y los argumentos como pares ordenados, podemos escribirlo como:

Fórmula 2:${\displaystyle (A,\alpha )\cdot (B,\beta )=(AB,\beta )}$

Este grupo derecho es el producto directo de un grupo ( números reales positivos bajo la multiplicación) y un semigrupo derecho cero inducido por los números reales. Estructuralmente, es idéntico a la fórmula 1 anterior. De hecho, así es como se ven todas las operaciones de grupo derecho cuando se escriben como pares ordenados del producto directo de sus factores.

Si tomamos los números complejos y definimos una operación similar al ejemplo 2, pero usamos coordenadas cartesianas en lugar de polares y suma en lugar de multiplicación, obtenemos otro grupo derecho, con la operación definida de la siguiente manera:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=a+c+di}$, o equivalentemente:

Fórmula 3:${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(a+c,d)}$

Consideremos el siguiente ejemplo de la informática, donde un conjunto se implementaría como un tipo de lenguaje de programación .

• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​el conjunto de fechas y horas en un lenguaje de programación arbitrario.
• Dejar${\displaystyle D}$sea ​​el conjunto de transformaciones equivalente a agregar una duración a un elemento de${\displaystyle X}$.
• Dejar${\displaystyle Z}$ser el conjunto de transformaciones de zona horaria en elementos de${\displaystyle X}$.

Ambos${\displaystyle D}$y${\displaystyle Z}$son subconjuntos de${\displaystyle T_{x}}$, el semigrupo de transformación completa en${\displaystyle X}$.${\displaystyle D}$se comporta como un grupo , donde hay una duración cero y cada duración tiene una duración inversa. Si tratamos estas transformaciones como acciones de semigrupo derecho ,${\displaystyle Z}$se comporta como un semigrupo cero derecho , de modo que una transformación de zona horaria siempre cancela cualquier transformación de zona horaria anterior en una fecha y hora dadas.

Dados dos tiempos de fecha arbitrarios${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$(ignorando los problemas relacionados con los límites de representación), se puede encontrar un par de duración y zona horaria que transformará${\displaystyle a}$en${\displaystyle b}$Esta transformación compuesta de conversión de zona horaria y adición de duración es isomorfa al grupo derecho.${\displaystyle D\times Z}$.

Tomando como ejemplo el paquete java.time, ^{[ 5 ]} los conjuntos${\displaystyle X,D}$y${\displaystyle Z}$corresponderían a la clase ZonedDateTime , la función plus y la función withZoneSameInstant , respectivamente. Más concretamente, para cualquier ZonedDateTime t 1 y t 2, existe una Duration d y un ZoneId z , tales que:

t2 = t1.plus(d).withZoneSomeInstant(z)

La expresión anterior se puede escribir de forma más concisa utilizando la notación de acción correcta tomada de la teoría de grupos como:

${\displaystyle t2=t1.d.z}$

También se puede verificar que las duraciones y las zonas horarias, vistas como transformaciones de fechas/horas, además de obedecer los axiomas de grupos y semigrupos cero derechos, respectivamente, conmutan entre sí. Es decir, para cualquier fecha/hora t, cualquier duración d y cualquier zona horaria z:

${\displaystyle t.d.z=t.z.d}$

Esto es lo mismo que decir:

${\displaystyle d\cdot z=z\cdot d}$