Antiisomorfismo

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un antiisomorfismo (o anti-isomorfismo ) entre conjuntos estructurados A y B es un isomorfismo de A al opuesto de B (o equivalentemente del opuesto de A a B ). ^[1] Si existe un antiisomorfismo entre dos estructuras, se dice que son antiisomórficas.

Intuitivamente, decir que dos estructuras matemáticas son antiisomorfas es decir que son básicamente opuestas entre sí.

El concepto es particularmente útil en un entorno algebraico, como, por ejemplo, cuando se aplica a anillos .

Sea A la relación binaria (o grafo dirigido ) que consta de los elementos {1,2,3} y la relación binaria se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \flecha derecha}$

• ${\displaystyle 1\flecha derecha 2,}$
• ${\displaystyle 1\flecha derecha 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

Sea B el conjunto de relación binaria formado por los elementos { a , b , c } y la relación binaria se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \Flecha derecha}$

• ${\displaystyle b\Flecha derecha a,}$
• ${\displaystyle c\Flecha derecha a,}$
• ${\displaystyle a\Flecha derecha b.}$

Nótese que el opuesto de B (denotado B ^op ) es el mismo conjunto de elementos con la relación binaria opuesta (es decir, invertir todos los arcos del gráfico dirigido): ${\displaystyle \Flecha izquierda}$

• ${\displaystyle b\flecha izquierda a,}$
• ${\displaystyle c\flecha izquierda a,}$
• ${\displaystyle a\flecha izquierda b.}$

Si reemplazamos a , b y c por 1, 2 y 3 respectivamente, vemos que cada regla en B ^op es la misma que alguna regla en A . Es decir, podemos definir un isomorfismo de A a B ^op por . es entonces un antiisomorfismo entre A y B . ${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$${\estilo de visualización \phi}$

Especializando el lenguaje general de la teoría de categorías al tema algebraico de los anillos, tenemos: Sean R y S anillos y f : R → S una biyección . Entonces f es un antiisomorfismo de anillos ^[2] si

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{y}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{para todo}}x,y\en R.}$

Si R = S entonces f es un antiautomorfismo de anillo .

Un ejemplo de un antiautomorfismo de anillo lo da la función conjugada de los cuaterniones : ^[3]

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{ 1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k}.}$

• Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 0-486-44565-8
• Jacobson, Nathan (1948), La teoría de los anillos , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1502-4
• Pareigis, Bodo (1970), Categorías y funciones , Academic Press, ISBN 0-12-545150-4