Semigrupo de Markov cuántico

En general, los semigrupos dinámicos cuánticos se pueden definir en álgebras de von Neumann , por lo que la dimensionalidad del sistema podría ser infinita. Sea${\displaystyle {\mathcal {A}}}$sea ​​un álgebra de von Neumann que actúa sobre el espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, un semigrupo dinámico cuántico en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una colección de operadores acotados en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, denotado por${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\left({\mathcal {T}}_{t}\right)_{t\geq 0}}$, con las siguientes propiedades: ^{[ 5 ]}

1. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a}$,${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$,
2. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)}$,${\displaystyle \forall s,t\geq 0}$,${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$,
3. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$es completamente positivo para todos${\displaystyle t\geq 0}$,
4. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$es un${\displaystyle \sigma }$-operador débilmente continuo en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$a pesar de${\displaystyle t\geq 0}$,
5. A pesar de${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, el mapa${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)}$es continuo con respecto a la${\displaystyle \sigma }$-topología débil en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Bajo la condición de positividad completa, los operadores${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$son${\displaystyle \sigma }$-débilmente continua si y solo si${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$son normales. ^{[ 5 ]} Recuerde que, dejando${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$denotamos el cono convexo de elementos positivos en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, un operador positivo${\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$Se dice que es normal si por cada aumento neto${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ en${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$con el límite superior más bajo${\displaystyle x}$en${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$uno tiene

${\displaystyle \lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle }$

para cada${\displaystyle u}$en una subvariedad lineal densa en norma de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Un semigrupo dinámico cuántico${\displaystyle {\mathcal {T}}}$Se dice que es preservador de la identidad (o conservador, o markoviano) si

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}}$es el elemento de identidad. Para simplificar,${\displaystyle {\mathcal {T}}}$se denomina semigrupo de Markov cuántico. Nótese que la propiedad de preservación de la identidad y la positividad de${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$implicar${\displaystyle \left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1}$a pesar de${\displaystyle t\geq 0}$y luego${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es un semigrupo de contracción . ^{[ 6 ]}

La condición ( 1 ) juega un papel importante no solo en la prueba de unicidad y unitariedad de la solución de una ecuación diferencial estocástica cuántica de Hudson - Parthasarathy , sino también en la deducción de condiciones de regularidad para trayectorias de procesos de Markov clásicos en vista de la teoría de operadores . ^{[ 7 ]}

El generador infinitesimal de un semigrupo dinámico cuántico${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es el operador${\displaystyle {\mathcal {L}}}$con dominio${\displaystyle \operatorname {Dom} ({\mathcal {L}})}$, dónde

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\mathcal {L}}\right):=\left\{a\in {\mathcal {A}}~\left\vert ~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}}=b{\text{ in }}\sigma {\text{-weak topology}}\right.\right\}}$

y${\displaystyle {\mathcal {L}}(a):=b}$.