Mapa completamente positivo

En matemáticas, una función positiva es una función entre álgebras C* que envía elementos positivos a elementos positivos. Una función completamente positiva es aquella que satisface una condición más sólida y robusta.

Sean y C *-álgebras . Una función lineal se denomina función positiva si asigna elementos positivos a elementos positivos: . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi :A\to B}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0}$

Cualquier mapa lineal induce otro mapa ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

de forma natural. Si se identifica con el C*-álgebra de matrices con entradas en , entonces actúa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$${\displaystyle A^{k\times k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \phi }$Se llama k-positivo si es una función positiva y completamente positivo si es k-positivo para todo k. ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$${\displaystyle \phi }$

• Los mapas positivos son monótonos, es decir, para todos los elementos autoadjuntos .${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• Dado que para todos los elementos autoadjuntos , cada función positiva es automáticamente continua con respecto a las C*-normas y su norma de operador es igual a . Una afirmación similar con unidades aproximadas se aplica a las álgebras no unitarias.${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$${\displaystyle a\in A_{sa}}$${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• El conjunto de funcionales positivos es el cono dual del cono de elementos positivos de .${\displaystyle \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A}$

• Todo homomorfismo *- es completamente positivo. ^[1]
• Para cada operador lineal entre espacios de Hilbert, la función es completamente positiva. ^[2] El teorema de Stinespring dice que todas las funciones completamente positivas son composiciones de *-homomorfismos y estas funciones especiales.${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• Toda función positiva (y en particular todo estado ) es automáticamente completamente positiva.${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• Dadas las álgebras y de funciones continuas de valor complejo en espacios de Hausdorff compactos , toda aplicación positiva es completamente positiva.${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• La transposición de matrices es un ejemplo estándar de una función positiva que no es 2-positiva. Sea T la que denota esta función en . La siguiente es una matriz positiva en : La imagen de esta matriz bajo es que claramente no es positiva, ya que tiene determinante −1. Además, los valores propios de esta matriz son 1,1,1 y −1. (Esta matriz resulta ser la matriz Choi de T , de hecho).${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle I_{2}\otimes T}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  Por cierto, se dice que una función Φ es copositiva si la composición Φ T es positiva. La función de transposición en sí es una función copositiva.${\displaystyle \circ }$

• Teorema de Choi sobre mapas completamente positivos