Semigrupo compacto

En matemáticas, un semigrupo compacto es un semigrupo en el que los conjuntos de soluciones de ecuaciones pueden describirse mediante conjuntos finitos de ecuaciones. El término "compacto" aquí no se refiere a ninguna topología del semigrupo.

Sea S un semigrupo y X un conjunto finito de letras. Un sistema de ecuaciones es un subconjunto E del producto cartesiano X ^∗ × X ^∗ del monoide libre (cadenas finitas) sobre X consigo mismo. El sistema E es satisfacible en S si existe una aplicación f de X a S que se extiende a un morfismo de semigrupo f de X ⁺ a S , tal que para todo ( u , v ) en E se cumple f ( u ) = f ( v ) en S . Dicha f es una solución , o asignación satisfactoria , para el sistema E . ^{[ 1 ]}

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de asignaciones que los satisfacen. Un sistema de ecuaciones es independiente si no es equivalente a un subconjunto propio de sí mismo. ^{[ 1 ]} Un semigrupo es compacto si todo sistema de ecuaciones independiente es finito. ^{[ 2 ]}

• Un monoide libre sobre un alfabeto finito es compacto. ^{[ 3 ]}
• Un monoide libre sobre un alfabeto numerable es compacto. ^{[ 4 ]}
• Un grupo libre finitamente generado es compacto. ^{[ 5 ]}
• Un monoide traza sobre un conjunto finito de generadores es compacto. ^{[ 4 ]}
• El monoide bicíclico no es compacto. ^{[ 6 ]}

• La clase de semigrupos compactos es cerrada al tomar subsemigrupos y productos directos finitos. ^{[ 7 ]}
• La clase de semigrupos compactos no es cerrada al tomar imágenes mórficas o productos directos infinitos. ^{[ 7 ]}

The class of compact semigroups does not form an equational variety. However, a variety of monoids has the property that all its members are compact if and only if all finitely generated members satisfy the maximal condition on congruences (any family of congruences, ordered by inclusion, has a maximal element).^[8]

• Lothaire, M. (2011). Algebraic combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 90. With preface by Jean Berstel and Dominique Perrin (Reprint of the 2002 hardback ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183.