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Semigrupoide

En matemáticas , un semigrupoide (también llamado semicategoría , categoría desnuda o precategoría ) es un álgebra parcial que satisface los axiomas de una pequeña [ 1 ] [ 2 ] [...

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En matemáticas , un semigrupoide (también llamado semicategoría , categoría desnuda o precategoría ) es un álgebra parcial que satisface los axiomas de una pequeña [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] categoría , excepto posiblemente por el requisito de que haya una identidad en cada objeto. Si bien esta definición se debe a Tilson, Exel ha introducido una definición diferente, en la que no hay un grafo subyacente. [ 4 ] El término semicategoría generalmente se refiere a un semigrupoide grafografiado de Tilson. Los semigrupoides generalizan los semigrupos de la misma manera que las pequeñas categorías generalizan los monoides y los grupoides generalizan los grupos . Los semigrupoides tienen aplicaciones en la teoría estructural de los semigrupos.

Formalmente, un semigrupoide consta de:

  • un conjunto de cosas llamadas objetos .
  • Para cada par de objetos A y B existe un conjunto Mor( A , B ) de cosas llamadas morfismos de A a B. Si f está en Mor( A , B ), escribimos f  : A → B.
  • Para cada conjunto de tres objetos A , B y C, existe una operación binaria Mor( A , B ) × Mor( B , C ) → Mor( A , C ), denominada composición de morfismos . La composición de f  : A → B y g  : B → C se escribe como g ∘ f o gf . (Algunos autores la escriben como fg ).

De tal manera que se cumple el siguiente axioma:

  • (asociatividad) si f  : A → B , g  : B → C y h  : C → D entonces h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f .

Ejemplos

  • El lema de Yoneda no se cumple en general para las semicategorías.

Referencias

  1. ↑ Tilson, Bret (1987). "Categorías como álgebra: un ingrediente esencial en la teoría de los monoides" . J. Pure Appl. Algebra . 48 ( 1–2 ): 83–198 . doi : 10.1016/0022-4049(87)90108-3 .Apéndice B
  2. ↑ Rhodes, John; Steinberg, Ben (2009), The q-Theory of Finite Semigroups , Springer, p. 26, ISBN  9780387097817
  3. ↑ Véase, por ejemplo , Gomes, Gracinda MS (2002), Semigroups, Algorithms, Automata and Languages , World Scientific, p. 41, ISBN  9789812776884, lo que requiere que los objetos de un semigrupoide formen un conjunto.
  4. ↑ Exel, R. (mayo de 2011). "Álgebras C ⁎ semigrupoide". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 377 (1): 303– 318. doi : 10.1016/j.jmaa.2010.10.061 .
  • Mitchell, Barry (1972). "El dominio de Isbell" . Transactions of the American Mathematical Society . 167 : 319–331 . doi : 10.1090/S0002-9947-1972-0294441-0 . JSTOR 1996142 . 
  • Moens, M.; Berni-Canani, U.; Borceux, F. (2002). "Sobre gavillas regulares y semicategorías regulares" (PDF) . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques .
  • Stubbe, Isar (2005). "Estructuras categóricas enriquecidas en un cuantoide  : prehaces regulares, semicategorías regulares" (PDF) . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 46 (2): 99-121 .
  • "Lema de Yoneda 6. El lema de Yoneda en semicategorías" . ncatlab.org .
  • El Programa de Fundamentos Univalentes (2013). "Teoría de tipos homotópicos: Fundamentos Univalentes de las Matemáticas" . Teoría de tipos homotópicos .