Intersección (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos , la intersección de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$denotado por${\displaystyle A\cap B,}$^{[ 1 ]} es el conjunto que contiene todos los elementos de${\displaystyle A}$que también pertenecen a${\displaystyle B}$o equivalentemente, todos los elementos de${\displaystyle B}$que también pertenecen a${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]} La noción de intersección como unaoperación algebraicacon conjuntos como operandosse ha generalizado desdela geometría, donde seencuentraen el caso de conjuntos geométricos depuntos, como puntos individuales, líneas (conjuntos infinitos no numerablesde puntos), planos, etc.

La intersección se escribe utilizando el símbolo "${\displaystyle \cap }$" entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo: $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como: $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$ lo cual es similar a la notación sigma mayúscula .

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

La intersección de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$denotado por${\displaystyle A\cap B}$, ^{[ 3 ]} es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos conjuntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B.}$ En símbolos: $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

Eso es,${\displaystyle x}$es un elemento de la intersección${\displaystyle A\cap B}$si y solo si${\displaystyle x}$es a la vez un elemento de${\displaystyle A}$y un elemento de${\displaystyle B.}$^{[ 3 ]}

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, porque 9 no es primo.
• La intersección de dos conjuntos geométricos de puntos, como dos líneas, es un conjunto unitario de un solo punto para líneas distintas no paralelas en el mismo plano.

La intersección binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto${\displaystyle A,B,}$y${\displaystyle C,}$uno tiene

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como${\displaystyle A\cap B\cap C}$. La intersección también es conmutativa . Es decir, para cualquier${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$uno tiene$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$ La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ Además, la operación de intersección es idempotente ; es decir, cualquier conjunto${\displaystyle A}$satisface que${\displaystyle A\cap A=A}$Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica .

La intersección distribuye sobre la unión y la unión distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto${\displaystyle A,B,}$y${\displaystyle C,}$uno tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ Dentro de un universo${\displaystyle U,}$uno puede definir el complemento${\displaystyle A^{c}}$de${\displaystyle A}$ser el conjunto de todos los elementos de${\displaystyle U}$no en${\displaystyle A.}$Además, la intersección de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan :$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria no vacía de conjuntos. Si${\displaystyle M}$es un conjunto no vacío cuyos elementos son a su vez conjuntos, entonces${\displaystyle x}$es un elemento de la intersección de${\displaystyle M}$si y solo si para cada elemento${\displaystyle A}$de${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$es un elemento de${\displaystyle A.}$ En símbolos: $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

La notación para este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben "${\displaystyle \bigcap M}$", mientras que otros escribirán en cambio "${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$". Esta última notación puede generalizarse a "${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$", que se refiere a la intersección de la colección${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ Aquí${\displaystyle I}$es un conjunto no vacío, y${\displaystyle A_{i}}$es un conjunto para cada${\displaystyle i\in I.}$

En el caso de que el conjunto de índices${\displaystyle I}$es el conjunto de los números naturales , se puede observar una notación análoga a la de un producto infinito :$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

Cuando el formato es difícil, también se puede escribir "${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$". Este último ejemplo, una intersección de una cantidad numerable de conjuntos, es en realidad muy común; para un ejemplo, véase el artículo sobre σ-álgebras .

En la sección anterior, excluimos el caso en el que${\displaystyle M}$era el conjunto vacío (${\displaystyle \varnothing }$). La razón es la siguiente: La intersección de la colección${\displaystyle M}$se define como el conjunto (ver notación de construcción de conjuntos ) $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ Si${\displaystyle M}$está vacío, no hay conjuntos${\displaystyle A}$en${\displaystyle M,}$entonces la pregunta se convierte en "¿cuál?"${\displaystyle x}$¿ Satisfacen la condición establecida? La respuesta parece ser todas las posibles${\displaystyle x}$. Cuando${\displaystyle M}$está vacío, la condición dada anteriormente es un ejemplo de una verdad vacía . Por lo tanto, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento identidad para la operación de intersección), ^{[ 4 ]} pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZF ), el conjunto universal no existe.

Sin embargo, cuando se restringe al contexto de subconjuntos de un conjunto fijo dado${\displaystyle X}$, la noción de la intersección de una colección vacía de subconjuntos de${\displaystyle X}$está bien definido. En ese caso, si${\displaystyle M}$está vacío, su intersección es${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$. Dado que todos${\displaystyle x\in X}$satisfacen vagamente la condición requerida, la intersección de la colección vacía de subconjuntos de${\displaystyle X}$es todo de${\displaystyle X.}$ En fórmulas,${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$ Esto coincide con la intuición de que, a medida que las colecciones de subconjuntos se hacen más pequeñas, sus intersecciones respectivas se hacen más grandes; en el caso extremo, la colección vacía tiene una intersección igual a todo el conjunto subyacente.

Además, en la teoría de tipos${\displaystyle x}$es de un tipo prescrito${\displaystyle \tau ,}$por lo que se entiende que la intersección es de tipo${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$(el tipo de conjuntos cuyos elementos están en${\displaystyle \tau }$), y podemos definir${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$ser el conjunto universal de${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$(el conjunto cuyos elementos son exactamente todos los términos de tipo${\displaystyle \tau }$).

• Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones que involucran conjuntos. 
• Cardinalidad : tamaño de un conjunto en matemáticas. 
• Complemento – Conjunto de elementos que no pertenecen a un subconjunto dado 
• Intersección (geometría euclidiana) : figura formada por puntos comunes a otras figuras. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Gráfico de intersección : gráfico que representa las intersecciones entre conjuntos dados. 
• Teoría de la intersección – Rama de la geometría algebraica 
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos – Igualdades para combinaciones de conjuntos 
• Conjunción lógica – Conector lógico Y 
• MinHash – Técnica de minería de datos 
• Teoría ingenua de conjuntos – Teorías informales de conjuntos 
• Diferencia simétrica : elementos que pertenecen exactamente a uno de dos conjuntos. 
• Unión – Conjunto de elementos en cualquiera de algunos conjuntos 

• Devlin, KJ (1993). El placer de los conjuntos: Fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). «Teoría de conjuntos y lógica». Topología (Segunda  edición). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). «Estructuras básicas: conjuntos, funciones, sucesiones y sumas». Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta  ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

• Weisstein, Eric W. "Intersección" . MathWorld .