semigrupo monogénico

En matemáticas , un semigrupo monogénico es un semigrupo generado por un solo elemento. ^{[ 1 ]} Los semigrupos monogénicos también se denominan semigrupos cíclicos . ^{[ 2 ]}

El semigrupo monogénico generado por el conjunto unitario { a } se denota por${\displaystyle \langle a\rangle }$. El conjunto de elementos de${\displaystyle \langle a\rangle }$es { a , a ² , a ³ , ...}. Hay dos posibilidades para el semigrupo monogénico.${\displaystyle \langle a\rangle }$:

• a ^m = a ⁿ ⇒ m = n .
• Existen m ≠ n tales que a ^m = a ⁿ .

En el primer caso${\displaystyle \langle a\rangle }$es isomorfo al semigrupo ({1, 2, ...}, +) de los números naturales bajo la suma . En tal caso,${\displaystyle \langle a\rangle }$es un semigrupo monogénico infinito y se dice que el elemento a tiene orden infinito . A veces se le llama semigrupo monogénico libre porque también es un semigrupo libre con un generador.

En este último caso, sea m el entero positivo más pequeño tal que a ^m = a ^x para algún entero positivo x ≠ m , y sea r el entero positivo más pequeño tal que a ^m = a ^{m + r} . El entero positivo m se denomina índice y el entero positivo r, período del semigrupo monogénico .${\displaystyle \langle a\rangle }$El orden de a se define como m + r −1. El período y el índice satisfacen las siguientes propiedades:

• a ^m = a ^{m + r}
• a ^{m + x} = a ^{m + y} si y solo si m + x ≡ m + y (mod r )
• ${\displaystyle \langle a\rangle }$= { a , a ² , ... , a ^{m + r −1} }
• K _a = { a ^m , a ^{m +1} , ... , a ^{m + r −1} } es un subgrupo cíclico y también un ideal de${\displaystyle \langle a\rangle }$Se le llama núcleo de un y es el ideal mínimo del semigrupo monogénico.${\displaystyle \langle a\rangle }$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El par ( m , r ) de enteros positivos determina la estructura de los semigrupos monogénicos. Para cada par ( m , r ) de enteros positivos, existe un semigrupo monogénico con índice m y período r . El semigrupo monogénico con índice m y período r se denota por M ( m , r ). El semigrupo monogénico M (1, r ) es el grupo cíclico de orden r .

Los resultados de esta sección son válidos para cualquier elemento a de un semigrupo arbitrario y el subsemigrupo monogénico.${\displaystyle \langle a\rangle }$genera.

Una noción relacionada es la de semigrupo periódico (también llamado semigrupo de torsión ), en el que cada elemento tiene un orden finito (o, equivalentemente, en el que cada subsemigrupo monogénico es finito). Una clase más general es la de semigrupos cuasiperiódicos (también llamados semigrupos ligados a grupos o epigrupos ), en los que cada elemento del semigrupo tiene una potencia que pertenece a un subgrupo. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Un semigrupo aperiódico es aquel en el que cada subsemigrupo monogénico tiene un período de 1.

• Detección de ciclos , el problema de encontrar los parámetros de un semigrupo monogénico finito utilizando una cantidad limitada de espacio de almacenamiento.
• Clases especiales de semigrupos