Clases especiales de semigrupos

En matemáticas , un semigrupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . Una clase especial de semigrupos es aquella que satisface propiedades o condiciones adicionales . Así, la clase de semigrupos conmutativos está formada por todos aquellos semigrupos en los que la operación binaria satisface la propiedad de conmutatividad de que ab = ba para todos los elementos a y b del semigrupo. La clase de semigrupos finitos está formada por aquellos semigrupos cuyo conjunto subyacente tiene cardinalidad finita . Los miembros de la clase de semigrupos de Brandt deben satisfacer no solo una condición, sino un conjunto de propiedades adicionales. Se ha definido una amplia colección de clases especiales de semigrupos, aunque no todas han sido estudiadas con la misma intensidad.

En la teoría algebraica de semigrupos, al construir clases especiales, la atención se centra únicamente en aquellas propiedades, restricciones y condiciones que pueden expresarse en términos de las operaciones binarias en los semigrupos y, ocasionalmente, en la cardinalidad y propiedades similares de los subconjuntos del conjunto subyacente . No se supone que los conjuntos subyacentes posean otras estructuras matemáticas como el orden o la topología .

Como en cualquier teoría algebraica, uno de los principales problemas de la teoría de semigrupos es la clasificación de todos los semigrupos y una descripción completa de su estructura. En el caso de los semigrupos, dado que la operación binaria solo debe satisfacer la propiedad de asociatividad, el problema de la clasificación se considera extremadamente difícil. Se han obtenido descripciones de estructuras para ciertas clases especiales de semigrupos. Por ejemplo, la estructura de los conjuntos de idempotentes de semigrupos regulares es completamente conocida. Las descripciones de estructuras se presentan en términos de tipos de semigrupos mejor conocidos. El tipo de semigrupo mejor conocido es el grupo .

A continuación se presenta una lista (necesariamente incompleta) de diversas clases especiales de semigrupos. En la medida de lo posible, las propiedades que los definen se formulan en términos de las operaciones binarias de los semigrupos. Las referencias indican las fuentes de donde se obtienen dichas propiedades.

Para describir las propiedades que definen las distintas clases especiales de semigrupos, se adoptan las siguientes convenciones de notación.

Por ejemplo, la definición xab = xba debe leerse como:

• Existe un elemento x del semigrupo tal que, para cada a y b del semigrupo, xab y xba son iguales.

La tercera columna indica si este conjunto de semigrupos forma una variedad y si el conjunto de semigrupos finitos de esta clase especial forma una variedad de semigrupos finitos . Cabe destacar que, si este conjunto es una variedad, su conjunto de elementos finitos es automáticamente una variedad de semigrupos finitos.