Semigrupo del factor de Rees

En matemáticas , en la teoría de semigrupos , un semigrupo factor de Rees (también llamado semigrupo cociente de Rees o simplemente factor de Rees ), que recibe su nombre de David Rees , es un cierto semigrupo construido utilizando un semigrupo y un ideal del semigrupo .

Sea S un semigrupo e I un ideal de S. Usando S e I , se puede construir un nuevo semigrupo reduciendo I a un solo elemento, mientras que los elementos de S fuera de I conservan su identidad. El nuevo semigrupo obtenido de esta manera se llama semigrupo factor de Rees de S módulo I y se denota por S / I.

El concepto de semigrupo factorial de Rees fue introducido por David Rees en 1940. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un subconjunto${\displaystyle I}$de un semigrupo${\displaystyle S}$se llama un ideal de${\displaystyle S}$si ambos${\displaystyle SI}$y${\displaystyle ES}$son subconjuntos de${\displaystyle I}$(dónde${\displaystyle SI=\{sx\mid s\in S{\text{ y }}x\in I\}}$y de manera similar para${\displaystyle ES}$). Dejar${\displaystyle I}$ser un ideal de un semigrupo${\displaystyle S}$. La relación${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle S}$definido por

x ρ y  ⇔  o x = y o tanto x como y están en I

es una relación de equivalencia en${\displaystyle S}$. Las clases de equivalencia bajo${\displaystyle \rho }$son los conjuntos unitarios${\displaystyle \{x\}}$con${\displaystyle x}$no en${\displaystyle I}$y el conjunto${\displaystyle I}$. Desde${\displaystyle I}$es un ideal de${\displaystyle S}$, la relación${\displaystyle \rho }$es una congruencia en${\displaystyle S}$. ^{[ 3 ]} El semigrupo cociente${\displaystyle S/{\rho }}$es, por definición, el semigrupo factorial de Rees de${\displaystyle S}$módulo ${\displaystyle I}$. Para mayor comodidad notacional, el semigrupo${\displaystyle S/\rho }$también se denota como${\displaystyle S/I}$. El semigrupo factorial de Rees ^{[ 4 ]} tiene un conjunto subyacente${\displaystyle (S\setminus I)\cup \{0\}}$, dónde${\displaystyle 0}$es un nuevo elemento y el producto (aquí denotado por ${\displaystyle *}$) se define por

${\displaystyle s*t={\begin{cases}st&{\text{si }}s,t,st\in S\setminus I\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

La congruencia${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle S}$como se define arriba se llama congruencia de Rees en${\displaystyle S}$módulo${\displaystyle I}$.

Consideremos el semigrupo S = { a , b , c , d , e } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:

Sea I = { a , d } que es un subconjunto de S . Dado que

SI = { aa , ba , ca , da , ea , ad , bd , cd , dd , ed } = { a , d } ⊆ I

IS = { aa , da , ab , db , ac , dc , ad , dd , ae , de } = { a , d } ⊆ I

El conjunto I es un ideal de S. El semigrupo factor de Rees de S módulo I es el conjunto S / I = { b , c , e , I } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:

Un semigrupo S se denomina extensión ideal de un semigrupo A por un semigrupo B si A es un ideal de S y el semigrupo factor de Rees ^S / A es isomorfo a B. ^{[ 5} ]

Algunos de los casos que se han estudiado extensamente incluyen: extensiones ideales de semigrupos completamente simples , de un grupo por un semigrupo completamente 0-simple , de un semigrupo conmutativo con cancelación por un grupo con cero añadido. En general, el problema de describir todas las extensiones ideales de un semigrupo sigue abierto. ^{[ 6 ]}

• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.

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