Elemento de identidad

En matemáticas , un elemento neutro o identidad de una operación binaria es un elemento que deja inalterados todos los demás elementos cuando se aplica la operación. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Por ejemplo, 0 es el elemento neutro de la suma de números reales . Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento neutro se abrevia a menudo como identidad (como en el caso de la identidad aditiva y la identidad multiplicativa) ^{[ 3 ]} cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria con la que está asociada.

Sea ( S , ∗) un conjunto S equipado con una operación binaria ∗. Entonces un elemento e de S se llama    identidad izquierda sie∗s=spara todosenS, y a  identidad derecha sis∗e=spara todosenS. ^{[ 4 ]} Siees a la vez una identidad izquierda y una identidad derecha, entonces se llama una identidad derecha.  identidad de dos lados , o simplemente unaidentidad . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Una identidad con respecto a la suma se llamauna identidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llamaidentidad multiplicativa (a menudo denotada como 1). ^{[ 3 ]} Estas no tienen por qué ser sumas y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de ungrupo, por ejemplo, el elemento identidad a veces se denota simplemente con el símbolo${\displaystyle e}$La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se utiliza con mayor frecuencia para conjuntos que admiten operaciones binarias, como anillos , dominios de integridad y cuerpos . La identidad multiplicativa se denomina a menudo identidad .unidad en este último contexto (un anillo con unidad). ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Esto no debe confundirse con unaunidaden la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tiene uninverso multiplicativo. Por su propia definición, la unidad misma es necesariamente una unidad. ^{[ 13 ] [ 14 ]} El símboloefue elegido porque es la primera letra deEinheit, la palabra alemana para "unidad". ^{[ 15 ]}

En el ejemplo S = { e, f } con las igualdades dadas, S es un semigrupo . Esto demuestra la posibilidad de que ( S , ∗) tenga varias identidades izquierdas. De hecho, cada elemento puede ser una identidad izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades derechas. Pero si hay una identidad derecha y una identidad izquierda, entonces deben ser iguales, lo que resulta en una única identidad bilateral.

Para ver esto, observe que si l es una identidad izquierda y r es una identidad derecha, entonces l = l ∗ r = r . En particular, nunca puede haber más de una identidad bilateral: si hubiera dos, digamos e y f , entonces e ∗ f tendría que ser igual a e y a f .

También es bastante posible que ( S , ∗) no tenga elemento identidad, ^{[ 16 ]} como en el caso de los enteros pares bajo la operación de multiplicación. ^{[ 3 ]} Otro ejemplo común es el producto vectorial de vectores , donde la ausencia de un elemento identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto vectorial no nulo es siempre ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector no nulo en la misma dirección que el original. Otro ejemplo de estructura sin elemento identidad involucra el semigrupo aditivo de números naturales positivos .

• Elemento absorbente
• Inverso aditivo
• Inversa generalizada
• Identidad (ecuación)
• función identidad
• Elemento inverso
• Monoide
• Pseudoanillo
• Cuasigrupo
• Unital (desambiguación)

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