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Articulo de referencia

Optimización matemática

Gráfica de una superficie dada por z = f( x , y ) = −( x ² + y ²) + 4. El máximo global en ( x, y, z ) = (0, 0, 4) está indicado por un punto azul. Búsqueda mínima de Nelder-Mea...

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Gráfica de una superficie dada por z = f( x , y ) = −( x ² + y ²) + 4. El máximo global en ( x, y, z ) = (0, 0, 4) está indicado por un punto azul.
Búsqueda mínima de Nelder-Mead de la función de Simionescu . Los vértices del simplex están ordenados por sus valores, siendo 1 el que tiene el valor más bajo (F(incógnita){\displaystyle f(x)}mejor) valor.

La optimización matemática (también escrita como optimización ) o programación matemática consiste en la selección del mejor elemento, según ciertos criterios , de entre un conjunto de alternativas disponibles. [ 1 ] [ 2 ] Generalmente se divide en dos subcampos: optimización discreta y optimización continua . Los problemas de optimización surgen en todas las disciplinas cuantitativas, desde la informática y la ingeniería [ 3 ] hasta la investigación operativa y la economía , y el desarrollo de métodos de solución ha sido de interés para las matemáticas durante siglos. [ 4 ]

En un enfoque más general, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real seleccionando sistemáticamente valores de entrada dentro de un conjunto permitido y calculando el valor de la función. La generalización de la teoría y las técnicas de optimización a otras formulaciones constituye un amplio campo de las matemáticas aplicadas .

Problemas de optimización

Los problemas de optimización se pueden dividir en dos categorías, dependiendo de si las variables son continuas o discretas :

Un problema de optimización puede representarse de la siguiente manera:

Dado: una funciónF:A→R{\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }desde algún conjunto A a los números reales
Se busca: un elemento x 0 ∈ A tal que f ( x 0 ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ A ("minimización") o tal que f ( x 0 ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ A ("maximización").

Dicha formulación se denomina problema de optimización o problema de programación matemática (un término no directamente relacionado con la programación informática , pero que aún se utiliza, por ejemplo, en la programación lineal ; véase el apartado de Historia más adelante). Muchos problemas teóricos y del mundo real pueden modelarse dentro de este marco general.

Dado que lo siguiente es válido:

F(incógnita0)≥F(incógnita)⇔−F(incógnita0)≤−F(incógnita),{\displaystyle f(\mathbf {x} _{0})\geq f(\mathbf {x} )\Leftrightarrow -f(\mathbf {x} _{0})\leq -f(\mathbf {x} ),}

Basta con resolver únicamente problemas de minimización. Sin embargo, la perspectiva opuesta, que consiste en considerar solo problemas de maximización, también sería válida.

Los problemas formulados utilizando esta técnica en el campo de la física pueden referirse a ella como minimización de energía , [ 5 ] hablando del valor de la función f como representante de la energía del sistema que se está modelando . En el aprendizaje automático , siempre es necesario evaluar continuamente la calidad de un modelo de datos utilizando una función de costo donde un mínimo implica un conjunto de parámetros posiblemente óptimos con un error óptimo (mínimo).

Típicamente, A es algún subconjunto del espacio euclidiano.Rnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, a menudo especificado por un conjunto de restricciones , igualdades o desigualdades que los miembros de A deben satisfacer. El dominio A de f se llama espacio de búsqueda o conjunto de elección , mientras que los elementos de A se llaman soluciones candidatas o soluciones factibles .

La función f se denomina de diversas maneras: función objetivo , función de criterio , función de pérdida , función de coste (minimización), [ 6 ] función de utilidad o función de aptitud (maximización) o, en ciertos campos, función de energía o funcional de energía . Una solución factible que minimiza (o maximiza) la función objetivo se denomina solución óptima .

En matemáticas, los problemas de optimización convencionales suelen plantearse en términos de minimización.

Un mínimo local x * se define como un elemento para el cual existe algún δ > 0 tal que

∀incógnita∈Adónde‖incógnita−incógnita∗‖≤δ,{\displaystyle \forall \mathbf {x} \in A\;{\text{donde}}\;\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\ast }\right\Vert \leq \delta ,\,}

La expresión f ( x *) ≤ f ( x ) se cumple;

Es decir, en alguna región alrededor de x * todos los valores de la función son mayores o iguales al valor en ese elemento. Los máximos locales se definen de manera similar.

Si bien un mínimo local es al menos tan bueno como cualquier elemento cercano, un mínimo global es al menos tan bueno como cualquier elemento factible. En general, a menos que la función objetivo sea convexa en un problema de minimización, puede haber varios mínimos locales. En un problema convexo , si existe un mínimo local que se encuentra en el interior (no en el borde del conjunto de elementos factibles), también es el mínimo global; sin embargo, un problema no convexo puede tener más de un mínimo local, no todos los cuales tienen por qué ser mínimos globales.

Un gran número de algoritmos propuestos para resolver problemas no convexos —incluida la mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente— no distinguen entre soluciones óptimas locales y globales, y tratan las primeras como soluciones reales del problema original. La optimización global es la rama de las matemáticas aplicadas y el análisis numérico que se ocupa del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar la convergencia en tiempo finito a la solución óptima real de un problema no convexo.

Notación

Los problemas de optimización suelen expresarse con una notación especial. Aquí hay algunos ejemplos:

Valor mínimo y máximo de una función

Considere la siguiente notación:

minincógnita∈R(incógnita2+1){\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;\left(x^{2}+1\right)}

Esto denota el valor mínimo de la función objetivo x² + 1 , cuando se elige x del conjunto de números reales .R{\displaystyle \mathbb {R} }. El valor mínimo en este caso es 1, que se produce en x = 0 .

De manera similar, la notación

máximoincógnita∈R2incógnita{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}

Se solicita el valor máximo de la función objetivo 2x , donde x puede ser cualquier número real. En este caso, no existe tal máximo, ya que la función objetivo no está acotada, por lo que la respuesta es " infinito " o " indefinido ".

Argumentos de entrada óptimos

Considere la siguiente notación:

argramometroinorteincógnita∈(−∞,−1]incógnita2+1,{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}

o equivalentemente

argramometroinorteincógnitaincógnita2+1,sujeto a:incógnita∈(−∞,−1].{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{sujeto a:}}\;x\in (-\infty ,-1].}

Esto representa el valor (o valores) del argumento x en el intervalo (−∞,−1] que minimiza (o minimiza) la función objetivo x 2 + 1 (el valor mínimo real de esa función no es lo que pide el problema). En este caso, la respuesta es x = −1 , ya que x = 0 es infactible, es decir, no pertenece al conjunto factible .

Similarmente,

argramometroaincógnitaincógnita∈[−5,5],y∈Rincógnitaporque⁡y,{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,}

o equivalentemente

argramometroaincógnitaincógnita,yincógnitaporque⁡y,sujeto a:incógnita∈[−5,5],y∈R,{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,\;{\text{sujeto a:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}

representa el par (o pares) { x , y } que maximiza (o maximiza) el valor de la función objetivo x cos y , con la restricción adicional de que x se encuentre en el intervalo [−5,5] (nuevamente, el valor máximo real de la expresión no importa). En este caso, las soluciones son los pares de la forma {5, 2 k π } y {−5, (2 k + 1) π } , donde k recorre todos los enteros .

Los operadores arg min y arg max a veces también se escriben como argmin y argmax , y significan argumento del mínimo y argumento del máximo .

Historia

Fermat y Lagrange hallaron fórmulas basadas en el cálculo para identificar óptimos, mientras que Newton y Gauss propusieron métodos iterativos para acercarse a un óptimo.

El término " programación lineal " para ciertos casos de optimización se debe a George  B. Dantzig , aunque gran parte de la teoría había sido introducida por Leonid Kantorovich en 1939. ( En este contexto, "programación " no se refiere a la programación informática , sino que proviene del uso del término "programa" por parte del ejército estadounidense para referirse a los planes de entrenamiento y logística propuestos , que eran los problemas que Dantzig estudiaba en ese momento). Dantzig publicó el algoritmo Simplex en 1947, y John von Neumann y otros investigadores también trabajaron en los aspectos teóricos de la programación lineal (como la teoría de la dualidad ) aproximadamente en la misma época. [ 7 ]

Otros investigadores destacados en optimización matemática incluyen los siguientes:

Subcampos principales

  • La programación convexa estudia el caso en que la función objetivo es convexa (minimización) o cóncava (maximización) y el conjunto de restricciones es convexo . Esto puede considerarse un caso particular de programación no lineal o una generalización de la programación lineal o cuadrática convexa.
    • La programación lineal (PL), un tipo de programación convexa, estudia el caso en el que la función objetivo f es lineal y las restricciones se especifican utilizando únicamente igualdades y desigualdades lineales. Dicho conjunto de restricciones se denomina poliedro o politopo si es acotado .
    • La programación de cono de segundo orden (SOCP, por sus siglas en inglés) es un programa convexo e incluye ciertos tipos de programas cuadráticos.
    • La programación semidefinida (PSD) es un subcampo de la optimización convexa donde las variables subyacentes son matrices semidefinidas . Es una generalización de la programación lineal y cuadrática convexa.
    • La programación cónica es una forma general de programación convexa. Los problemas de programación lineal (PL), programación de control de orden superior (PCOS) y programación dinámica estocástica (PDE) pueden considerarse programas cónicos con el tipo de cono apropiado.
    • La programación geométrica es una técnica mediante la cual las restricciones de objetivos y desigualdades expresadas como posinomios y las restricciones de igualdad como monomios pueden transformarse en un programa convexo.
  • La programación entera estudia programas lineales en los que algunas o todas las variables están restringidas a tomar valores enteros . Este tipo de programación no es convexa y, en general, es mucho más difícil que la programación lineal convencional.
  • La programación cuadrática permite que la función objetivo tenga términos cuadráticos, mientras que el conjunto factible debe especificarse mediante igualdades y desigualdades lineales. Para formas específicas del término cuadrático, se trata de un tipo de programación convexa.
  • La programación fraccionaria estudia la optimización de cocientes entre dos funciones no lineales. La clase especial de programas fraccionarios cóncavos puede transformarse en un problema de optimización convexa.
  • La programación no lineal estudia el caso general en el que la función objetivo, las restricciones o ambas contienen componentes no lineales. Este programa puede ser convexo o no. En general, la convexidad del programa influye en la dificultad de su resolución.
  • La programación estocástica estudia el caso en el que algunas de las restricciones o parámetros dependen de variables aleatorias .
  • La optimización robusta , al igual que la programación estocástica, busca capturar la incertidumbre presente en los datos subyacentes al problema de optimización. Su objetivo es encontrar soluciones válidas para todas las posibles realizaciones de las incertidumbres definidas por un conjunto de incertidumbres.
  • La optimización combinatoria se ocupa de problemas en los que el conjunto de soluciones factibles es discreto o puede reducirse a un conjunto discreto .
  • La optimización estocástica se utiliza con mediciones de funciones aleatorias (con ruido) o entradas aleatorias en el proceso de búsqueda.
  • La optimización en dimensión infinita estudia el caso en que el conjunto de soluciones factibles es un subconjunto de un espacio de dimensión infinita , como un espacio de funciones.
  • Las heurísticas y metaheurísticas no hacen suposiciones, o hacen muy pocas, sobre el problema que se está optimizando. Por lo general, las heurísticas no garantizan que se encuentre una solución óptima. Por otro lado, se utilizan para hallar soluciones aproximadas en muchos problemas de optimización complejos.
  • La satisfacción de restricciones estudia el caso en el que la función objetivo f es constante (esto se utiliza en inteligencia artificial , particularmente en razonamiento automatizado ).
  • La programación disyuntiva se utiliza cuando se debe cumplir al menos una restricción, pero no todas. Es especialmente útil en la planificación de tareas.
  • El mapeo espacial es un concepto para modelar y optimizar un sistema de ingeniería con una precisión de modelo de alta fidelidad (fina), explotando un modelo aproximado o sustituto físicamente significativo adecuado .

En varios subcampos, las técnicas están diseñadas principalmente para la optimización en contextos dinámicos (es decir, la toma de decisiones a lo largo del tiempo):

Optimización multiobjetivo

Agregar más de un objetivo a un problema de optimización aumenta su complejidad. Por ejemplo, para optimizar un diseño estructural, se busca un diseño que sea a la vez ligero y rígido. Cuando dos objetivos entran en conflicto, es necesario establecer un compromiso. Puede existir un diseño más ligero, un diseño más rígido y un número infinito de diseños que representen un equilibrio entre peso y rigidez. El conjunto de diseños que mejoran un criterio a expensas de otro se conoce como conjunto de Pareto . La curva que representa el peso frente a la rigidez de los mejores diseños se conoce como frontera de Pareto .

Se considera que un diseño es "óptimo en el sentido de Pareto" (o, equivalentemente, "eficiente en el sentido de Pareto" o pertenece al conjunto de Pareto) si no está dominado por ningún otro diseño: si es peor que otro diseño en algunos aspectos y no es mejor en ningún otro, entonces está dominado y no es óptimo en el sentido de Pareto.

La elección entre soluciones "óptimas de Pareto" para determinar la "solución preferida" se delega al responsable de la toma de decisiones. En otras palabras, definir el problema como una optimización multiobjetivo indica que falta información: se proporcionan los objetivos deseables, pero no se evalúan sus combinaciones en relación con las demás. En algunos casos, la información faltante puede obtenerse mediante sesiones interactivas con el responsable de la toma de decisiones.

Los problemas de optimización multiobjetivo se han generalizado aún más en problemas de optimización vectorial, donde el orden (parcial) ya no viene dado por el orden de Pareto.

Optimización multimodal o global

Los problemas de optimización suelen ser multimodales; es decir, poseen múltiples soluciones válidas. Estas pueden ser todas globalmente buenas (con el mismo valor en la función de coste) o puede haber una combinación de soluciones globalmente buenas y localmente buenas. El objetivo de un optimizador multimodal es obtener todas (o al menos algunas) de las múltiples soluciones.

Las técnicas de optimización clásicas, debido a su enfoque iterativo, no funcionan satisfactoriamente cuando se utilizan para obtener múltiples soluciones, ya que no se garantiza que se obtengan soluciones diferentes incluso con diferentes puntos de partida en múltiples ejecuciones del algoritmo.

Entre los enfoques comunes para los problemas de optimización global , donde pueden existir múltiples extremos locales, se incluyen los algoritmos evolutivos , la optimización bayesiana y el recocido simulado .

Clasificación de puntos críticos y extremos

Problema de viabilidad

El problema de satisfacibilidad , también llamado problema de factibilidad , consiste simplemente en encontrar cualquier solución factible sin tener en cuenta el valor de la función objetivo. Esto puede considerarse un caso especial de optimización matemática donde el valor de la función objetivo es el mismo para todas las soluciones, por lo que cualquier solución es óptima.

Muchos algoritmos de optimización necesitan partir de un punto factible. Una forma de obtener dicho punto es flexibilizar las condiciones de factibilidad mediante una variable de holgura ; con suficiente holgura, cualquier punto de partida es factible. A continuación, se minimiza dicha variable de holgura hasta que sea nula o negativa.

Existencia

El teorema del valor extremo de Karl Weierstrass establece que una función continua de valores reales definida en un conjunto compacto alcanza su valor máximo y mínimo. De forma más general, una función semicontinua inferior definida en un conjunto compacto alcanza su mínimo; una función semicontinua superior definida en un conjunto compacto alcanza su máximo.

Condiciones necesarias para la optimalidad

Uno de los teoremas de Fermat establece que los óptimos de problemas sin restricciones se encuentran en puntos estacionarios , donde la primera derivada o el gradiente de la función objetivo es cero (véase la prueba de la primera derivada ). De forma más general, pueden encontrarse en puntos críticos , donde la primera derivada o el gradiente de la función objetivo es cero o no está definido, o en el límite del conjunto de elección. Una ecuación (o conjunto de ecuaciones) que establece que la(s) primera(s) derivada(s) es/son igual(es) a cero en un óptimo interior se denomina «condición de primer orden» o conjunto de condiciones de primer orden.

Los óptimos de problemas con restricciones de igualdad se pueden encontrar mediante el método de los multiplicadores de Lagrange . Los óptimos de problemas con restricciones de igualdad y/o desigualdad se pueden encontrar utilizando las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker .

Condiciones suficientes para la optimalidad

Si bien la prueba de la primera derivada identifica puntos que podrían ser extremos, no distingue entre un mínimo, un máximo o ninguno de los dos. Cuando la función objetivo es dos veces diferenciable, estos casos se pueden diferenciar comprobando la segunda derivada o la matriz de segundas derivadas (denominada matriz hessiana ) en problemas sin restricciones, o la matriz de segundas derivadas de la función objetivo y las restricciones, denominada hessiana con borde, en problemas con restricciones. Las condiciones que distinguen los máximos o mínimos de otros puntos estacionarios se denominan «condiciones de segundo orden» (véase « Prueba de la segunda derivada »). Si una solución candidata satisface las condiciones de primer orden, entonces la satisfacción también de las condiciones de segundo orden es suficiente para establecer al menos la optimalidad local.

Sensibilidad y continuidad de los óptimos

El teorema de la envolvente describe cómo cambia el valor de una solución óptima cuando cambia un parámetro subyacente . El proceso de calcular este cambio se denomina estática comparativa .

El teorema del máximo de Claude Berge (1963) describe la continuidad de una solución óptima en función de parámetros subyacentes.

Cálculo de optimización

Para problemas sin restricciones con funciones dos veces diferenciables, se pueden encontrar algunos puntos críticos hallando aquellos donde el gradiente de la función objetivo es cero (es decir, los puntos estacionarios). De forma más general, un subgradiente cero certifica que se ha encontrado un mínimo local para problemas de minimización con funciones convexas y otras funciones localmente Lipschitz , que coinciden en la minimización de la función de pérdida de la red neuronal. La estimación del momento positivo-negativo permite evitar el mínimo local y converge en el mínimo global de la función objetivo. [ 8 ]

Además, los puntos críticos se pueden clasificar utilizando la definición de la matriz hessiana : si la matriz hessiana es definida positiva en un punto crítico, entonces el punto es un mínimo local; si la matriz hessiana es definida negativa, entonces el punto es un máximo local; finalmente, si es indefinida, entonces el punto es algún tipo de punto de silla .

Los problemas con restricciones a menudo pueden transformarse en problemas sin restricciones con la ayuda de los multiplicadores de Lagrange . La relajación lagrangiana también puede proporcionar soluciones aproximadas a problemas con restricciones difíciles.

Cuando la función objetivo es convexa , cualquier mínimo local será también un mínimo global. Existen técnicas numéricas eficientes para minimizar funciones convexas, como los métodos de punto interior .

Convergencia global

En términos más generales, si la función objetivo no es cuadrática, muchos métodos de optimización utilizan otros métodos para asegurar que una subsecuencia de iteraciones converja a una solución óptima. El primer método, aún popular, para asegurar la convergencia se basa en búsquedas lineales , que optimizan una función a lo largo de una dimensión. Un segundo método, cada vez más popular, utiliza regiones de confianza . Tanto las búsquedas lineales como las regiones de confianza se emplean en métodos modernos de optimización no diferenciable . Generalmente, un optimizador global es mucho más lento que los optimizadores locales avanzados (como BFGS ), por lo que a menudo se puede construir un optimizador global eficiente partiendo del optimizador local desde diferentes puntos de partida.

Técnicas de optimización computacional

Para resolver problemas, los investigadores pueden utilizar algoritmos que finalizan en un número finito de pasos, o métodos iterativos que convergen a una solución (en alguna clase específica de problemas), o heurísticas que pueden proporcionar soluciones aproximadas a algunos problemas (aunque sus iteraciones no tienen por qué converger).

Algoritmos de optimización

Métodos iterativos

Los métodos iterativos utilizados para resolver problemas de programación no lineal difieren según evalúen matrices hessianas , gradientes o solo valores de la función. Si bien la evaluación de matrices hessianas (H) y gradientes (G) mejora la tasa de convergencia, para funciones que poseen estas cantidades y varían de forma suficientemente suave, dichas evaluaciones aumentan la complejidad computacional (o el costo computacional) de cada iteración. En algunos casos, la complejidad computacional puede ser excesivamente alta.

Un criterio fundamental para los optimizadores es el número de evaluaciones de función necesarias, ya que esto suele suponer un gran esfuerzo computacional, generalmente mucho mayor que el del propio optimizador, que principalmente opera sobre las N variables. Las derivadas proporcionan información detallada para dichos optimizadores, pero son aún más difíciles de calcular; por ejemplo, aproximar el gradiente requiere al menos N+1 evaluaciones de función. Para las aproximaciones de las segundas derivadas (recopiladas en la matriz hessiana), el número de evaluaciones de función es del orden de N². El método de Newton requiere las derivadas de segundo orden, por lo que, en cada iteración, el número de llamadas a la función es del orden de N², mientras que para un optimizador de gradiente puro más simple es solo N. Sin embargo, los optimizadores de gradiente suelen necesitar más iteraciones que el algoritmo de Newton. La elección del mejor optimizador en cuanto al número de llamadas a la función depende del problema en sí.

Heurísticas

Además de los algoritmos (de terminación finita) y los métodos iterativos (convergentes) , existen heurísticas . Una heurística es cualquier algoritmo que no garantiza (matemáticamente) encontrar la solución, pero que, sin embargo, resulta útil en ciertas situaciones prácticas. Lista de algunas heurísticas conocidas:

Aplicaciones

Mecánica

Los problemas en dinámica de cuerpos rígidos (en particular, dinámica de cuerpos rígidos articulados) a menudo requieren técnicas de programación matemática, ya que se puede considerar la dinámica de cuerpos rígidos como un intento de resolver una ecuación diferencial ordinaria en una variedad de restricciones; [ 9 ] las restricciones son diversas restricciones geométricas no lineales, tales como "estos dos puntos siempre deben coincidir", "esta superficie no debe penetrar ninguna otra" o "este punto siempre debe estar en algún lugar de esta curva". Además, el problema de calcular las fuerzas de contacto se puede resolver mediante un problema de complementariedad lineal , que también puede considerarse un problema de programación cuadrática (QP).

Muchos problemas de diseño también pueden expresarse como programas de optimización. Esta aplicación se denomina optimización del diseño. Un subconjunto es la optimización de ingeniería , y otro subconjunto reciente y en auge dentro de este campo es la optimización del diseño multidisciplinario , que, si bien es útil en muchos problemas, se ha aplicado particularmente a problemas de ingeniería aeroespacial .

Este enfoque puede aplicarse en cosmología y astrofísica. [ 10 ]

Economía y finanzas

La economía está tan estrechamente vinculada a la optimización de agentes que una definición influyente la describe como ciencia, en este sentido , como el "estudio del comportamiento humano como una relación entre fines y medios escasos ", con usos alternativos. [ 11 ] La teoría moderna de la optimización incluye la teoría tradicional de la optimización, pero también se solapa con la teoría de juegos y el estudio de los equilibrios económicos . Los códigos del Journal of Economic Literature clasifican la programación matemática, las técnicas de optimización y temas relacionados bajo JEL:C61-C63 .

En microeconomía, el problema de maximización de la utilidad y su problema dual , el de minimización del gasto , son problemas de optimización económica. En la medida en que se comportan de forma consistente, se supone que los consumidores maximizan su utilidad , mientras que las empresas suelen maximizar sus beneficios . Además, a menudo se modela a los agentes como aversos al riesgo , prefiriendo así evitarlo. Los precios de los activos también se modelan utilizando la teoría de la optimización, aunque las matemáticas subyacentes se basan en la optimización de procesos estocásticos en lugar de la optimización estática. La teoría del comercio internacional también utiliza la optimización para explicar los patrones comerciales entre naciones. La optimización de carteras es un ejemplo de optimización multiobjetivo en economía.

Desde la década de 1970, los economistas han modelado decisiones dinámicas a lo largo del tiempo utilizando la teoría de control . [ 12 ] Por ejemplo, los modelos de búsqueda dinámica se utilizan para estudiar el comportamiento del mercado laboral . [ 13 ] Una distinción crucial es entre modelos deterministas y estocásticos. [ 14 ] Los macroeconomistas construyen modelos de equilibrio general estocástico dinámico (DSGE) que describen la dinámica de toda la economía como resultado de las decisiones de optimización interdependientes de trabajadores, consumidores, inversores y gobiernos. [ 15 ] [ 16 ]

Electrotecnia

Algunas aplicaciones comunes de las técnicas de optimización en ingeniería eléctrica incluyen el diseño de filtros activos , [ 17 ] la reducción de campos dispersos en sistemas de almacenamiento de energía magnética superconductores, el diseño de mapeo espacial de estructuras de microondas , [ 18 ] antenas de teléfonos móviles, [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] diseño basado en electromagnetismo. La optimización del diseño validada electromagnéticamente de componentes y antenas de microondas ha hecho un uso extensivo de un modelo sustituto empírico o basado en la física apropiado y metodologías de mapeo espacial desde el descubrimiento del mapeo espacial en 1993. [ 22 ] [ 23 ] Las técnicas de optimización también se utilizan en el análisis de flujo de potencia . [ 24 ]

Ingeniería civil

La optimización se ha utilizado ampliamente en la ingeniería civil. La gestión de la construcción y la ingeniería del transporte se encuentran entre las principales ramas de la ingeniería civil que dependen en gran medida de la optimización. Los problemas más comunes de ingeniería civil que se resuelven mediante la optimización son el corte y relleno de carreteras, el análisis del ciclo de vida de estructuras e infraestructuras, [ 25 ] la nivelación de recursos , [ 26 ] [ 27 ] la asignación de recursos hídricos , la gestión del tráfico [ 28 ] y la optimización de la programación.

Investigación operativa

Otro campo que utiliza ampliamente técnicas de optimización es la investigación operativa . [ 29 ] La investigación operativa también utiliza modelos y simulaciones estocásticas para mejorar la toma de decisiones. Cada vez más, la investigación operativa utiliza programación estocástica para modelar decisiones dinámicas que se adaptan a eventos; estos problemas pueden resolverse con métodos de optimización a gran escala y optimización estocástica .

Ingeniería de control

La optimización matemática se utiliza en gran parte del diseño de controladores modernos. Los controladores de alto nivel, como el control predictivo basado en modelos (MPC) o la optimización en tiempo real (RTO), emplean la optimización matemática. Estos algoritmos se ejecutan en línea y determinan repetidamente los valores de las variables de decisión, como la apertura de las válvulas de estrangulamiento en una planta de proceso, mediante la resolución iterativa de un problema de optimización matemática que incluye restricciones y un modelo del sistema a controlar.

Geofísica

Las técnicas de optimización se utilizan habitualmente en problemas de estimación de parámetros geofísicos . A partir de un conjunto de mediciones geofísicas, como registros sísmicos , es común calcular las propiedades físicas y la geometría de las rocas y fluidos subyacentes. La mayoría de los problemas en geofísica son no lineales, y se emplean ampliamente tanto métodos deterministas como estocásticos.

Modelado molecular

Los métodos de optimización no lineal se utilizan ampliamente en el análisis conformacional .

Biología de sistemas computacionales

Las técnicas de optimización se utilizan en muchas facetas de la biología de sistemas computacional, como la construcción de modelos, el diseño experimental óptimo, la ingeniería metabólica y la biología sintética. [ 30 ] La programación lineal se ha aplicado para calcular los rendimientos máximos posibles de productos de fermentación, [ 30 ] y para inferir redes reguladoras de genes a partir de múltiples conjuntos de datos de microarrays [ 31 ] así como redes reguladoras transcripcionales a partir de datos de alto rendimiento. [ 32 ] La programación no lineal se ha utilizado para analizar el metabolismo energético [ 33 ] y se ha aplicado a la ingeniería metabólica y la estimación de parámetros en vías bioquímicas. [ 34 ]

Aprendizaje automático

Solucionadores

Véase también

Notas

  1. ↑ " La naturaleza de la programación matemática Archivado el 5 de marzo de 2014 en Wayback Machine ", Glosario de programación matemática , INFORMS Computing Society.
  2. ↑ "Programación matemática: una visión general" (PDF) . Consultado el 26 de abril de 2024 .
  3. ↑ Martins, Joaquim RRA; Ning, Andrew (1 de octubre de 2021). Optimización del diseño de ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417.
  4. ↑ Du, DZ; Pardalos, PM; Wu, W. (2008). "Historia de la optimización". En Floudas, C. ; Pardalos, P. (eds.). Enciclopedia de la optimización . Boston: Springer. pp. 1538– 1542. 
  5. ^ Hartmann, Alejandro K; Rieger, Heiko (2002). Algoritmos de optimización en física . Citeseeer.
  6. ↑ Erwin Diewert, W. (2017), "Funciones de coste" , The New Palgrave Dictionary of Economics , Londres: Palgrave Macmillan UK, pp. 1–12 , doi : 10.1057/978-1-349-95121-5_659-2 , ISBN  978-1-349-95121-5, consultado el 18 de agosto de 2024
  7. ↑ Bixby, Robert E (2012). "Una breve historia de la computación en programación lineal y de enteros mixtos" . Documenta Mathematica . Serie Documenta Mathematica. 2012 : 107–121 . doi : 10.4171/dms/6/16 . ISBN 978-3-936609-58-5.
  8. ↑ Abdulkadirov, R.; Lyakhov, P.; Bergerman, M.; Reznikov, D. (febrero de 2024). "Reconocimiento de imágenes satelitales mediante redes neuronales de conjunto y momento positivo-negativo de gradiente de diferencia" . Chaos, Solitons & Fractals . 179 114432. Bibcode : 2024CSF...17914432A . doi : 10.1016/j.chaos.2023.114432 .
  9. ↑ Vereshchagin, AF (1989). "Modelado y control del movimiento de robots manipuladores". Revista Soviética de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 27 (5): 29– 38.
  10. ↑ Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M. (2017). "Un modelo inflacionario cosmológico que utiliza control óptimo". Gravitation and Cosmology . 23 (3): 236– 239. Bibcode : 2017GrCo...23..236H . doi : 10.1134/S0202289317030069 . ISSN 1995-0721 . S2CID 125980981 .  
  11. ↑ Lionel Robbins (1935, 2.ª ed.) Ensayo sobre la naturaleza y el significado de la ciencia económica , Macmillan, pág. 16.
  12. ↑ Dorfman, Robert (1969). "Una interpretación económica de la teoría del control óptimo". American Economic Review . 59 (5): 817– 831. JSTOR 1810679 . 
  13. ↑ Sargent, Thomas J. (1987). "Búsqueda" . Teoría macroeconómica dinámica . Harvard University Press. págs. 57–91 . ISBN  9780674043084.
  14. ↑ AG Malliaris (2008). "control óptimo estocástico", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2.ª edición. Resumen archivado el 18 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
  15. ↑ Rotemberg, Julio ; Woodford, Michael (1997). "Un marco econométrico basado en la optimización para la evaluación de la política monetaria" (PDF) . NBER Macroeconomics Annual . 12 : 297–346 . doi : 10.2307/3585236 . JSTOR 3585236 . 
  16. ↑ Del New Palgrave Dictionary of Economics (2008), 2.ª edición con enlaces al resumen:• " Métodos de optimización numérica en economía " por Karl Schmedders• " Programación convexa " por Lawrence E. Blume • " Modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu " por John Geanakoplos .
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Lecturas adicionales

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  • Lee, Jon (2004). Un primer curso de optimización combinatoria . Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8.
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  • R. Fletcher: Métodos prácticos de optimización , 2.ª ed., Wiley, (2000).
  • Panos M. Pardalos: Aproximación y complejidad en la optimización numérica: problemas continuos y discretos , Springer, ISBN 978-1-44194829-8, (2000).
  • Xiaoqi Yang, KL Teo, Lou Caccetta (Eds.): Métodos y aplicaciones de optimización , Springer, ISBN 978-0-79236866-3, (2001).
  • Panos M. Pardalos y Mauricio GC Resende (Eds.): Manual de optimización aplicada , Oxford Univ Pr on Demand, ISBN 978-0-19512594-8, (2002).
  • Wil Michiels, Emile Aarts y Jan Korst: aspectos teóricos de la búsqueda local , Springer, ISBN 978-3-64207148-5, (2006).
  • Der-San Chen, Robert G. Batson y Yu Dang: Programación entera aplicada: modelado y solución , Wiley, ISBN 978-0-47037306-4, (2010).
  • Mykel J. Kochenderfer y Tim A. Wheeler: Algoritmos para la optimización , The MIT Press, ISBN 978-0-26203942-0, (2019).
  • Vladislav Bukshtynov: Optimización: Éxito en la práctica , CRC Press (Taylor & Francis), ISBN 978-1-03222947-8, (2023).
  • Rosario Toscano: Resolución de problemas de optimización con el algoritmo heurístico de Kalman: nuevos métodos estocásticos , Springer, ISBN 978-3-031-52458-5 (2024).
  • Immanuel M. Bomze, Tibor Csendes, Reiner Horst y Panos M. Pardalos: Desarrollos en optimización global , Kluwer Academic, ISBN 978-1-4419-4768-0 (2010).
  • "Árbol de decisiones para software de optimización" .Enlaces a los códigos fuente de optimización
  • "Optimización global" . Archivado del original el 29/01/2022 . Consultado el 18/05/2019 .
  • "EE364a: Optimización Convexa I" . Curso de la Universidad de Stanford .
  • Varoquaux, Gaël. "Optimización matemática: Encontrar mínimos de funciones" .
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