Ecuación lineal

En matemáticas , una ecuación lineal es una ecuación que puede expresarse de la forma $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ dónde $x_{1},\ldots ,x_{n}$ son las variables (o incógnitas ), y $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ son los coeficientes , que a menudo son números reales . Los coeficientes pueden considerarse parámetros de la ecuación y pueden ser expresiones arbitrarias , siempre que no contengan ninguna de las variables. Para obtener una ecuación significativa, los coeficientes $a_{1},\ldots ,a_{n}$ No es necesario que todos sean cero.

Alternativamente, se puede obtener una ecuación lineal igualando a cero un polinomio lineal sobre algún campo , del cual se toman los coeficientes.

Las soluciones de dicha ecuación son los valores que, al sustituirlos por las incógnitas, hacen que la igualdad sea verdadera.

En el caso de una sola variable, existe exactamente una solución (siempre que $a_{1}\neq 0$ ). A menudo, el término ecuación lineal se refiere implícitamente a este caso particular, en el que la variable se denomina sensatamente la incógnita .

En el caso de dos variables, cada solución puede interpretarse como las coordenadas cartesianas de un punto del plano euclidiano . Las soluciones de una ecuación lineal forman una recta en el plano euclidiano y, a la inversa, toda recta puede considerarse como el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal con dos variables. Este es el origen del término «lineal» para describir este tipo de ecuación. De forma más general, las soluciones de una ecuación lineal con $n$ variables forman un hiperplano (un subespacio de dimensión $n - 1$ ) en el espacio euclidiano de dimensión $n$ .

Las ecuaciones lineales aparecen con frecuencia en todas las ramas de las matemáticas y en sus aplicaciones en física e ingeniería , en parte porque los sistemas no lineales a menudo se aproximan bien mediante ecuaciones lineales.

Este artículo considera el caso de una ecuación simple con coeficientes del cuerpo de los números reales , para la cual se estudian las soluciones reales. Todo su contenido se aplica a soluciones complejas y, más generalmente, a ecuaciones lineales con coeficientes y soluciones en cualquier cuerpo . Para el caso de varias ecuaciones lineales simultáneas, véase sistema de ecuaciones lineales .

Una variable

Una ecuación lineal en una variable $x$ se puede escribir como $ax+b=0,$ con $a\neq 0$ .

La solución es $x=-{\frac {b}{a}}$ .

Dos variables

Una ecuación lineal en dos variables $x$ $e y$ se puede escribir como $ax+by+c=0,$ donde $a$ y $b$ no son ^ambos $0.$ ^[¹ ]

Si $a$ y $b$ son números reales, tiene infinitas soluciones.

Función lineal

Si $b \neq 0$ , la ecuación

ax+by+c=0

es una ecuación lineal en la variable única $y$ para cada valor de $x$ . Por lo tanto, tiene una solución única para $y$ , que viene dada por

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

Esto define una función . La gráfica de esta función es una línea con pendiente $-{\frac {a}{b}}$ y la intersección $con el eje y$ $-{\frac {c}{b}}.$ En cálculo , las funciones cuya gráfica es una línea se denominan generalmente funciones lineales . Sin embargo, en álgebra lineal , una función lineal es aquella que asigna a una suma la suma de las imágenes de los sumandos. Por lo tanto, según esta definición, la función anterior es lineal solo cuando $c$ $= 0$ , es decir, cuando la línea pasa por el origen. Para evitar confusiones, las funciones cuya gráfica es una línea arbitraria se denominan a menudo funciones afines , y las funciones lineales tales que $c$ $= 0$ se denominan a menudo funciones lineales .

Interpretación geométrica

Cada solución $(x, y)$ de una ecuación lineal

ax+by+c=0

Se puede considerar como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano euclidiano . Con esta interpretación, todas las soluciones de la ecuación forman una recta , siempre que $a$ y $b$ no sean ambos cero. Recíprocamente, toda recta es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal.

La expresión "ecuación lineal" tiene su origen en esta correspondencia entre líneas y ecuaciones: una ecuación lineal con dos variables es una ecuación cuyas soluciones forman una línea.

Si $b \neq 0$ , la línea es la gráfica de la función de $x$ que se ha definido en la sección anterior. Si $b = 0$ , la línea es una línea vertical (es decir, una línea paralela al eje $y$ ) de ecuación $x=-{\frac {c}{a}},$ que no es la gráfica de una función de $x$ .

De manera similar, si $a \neq 0$ , la línea es la gráfica de una función de $y$ , y, si $a = 0$ , se tiene una línea horizontal de ecuación $y=-{\frac {c}{b}}.$

Ecuación de una recta

Existen diversas maneras de definir una línea. En las siguientes subsecciones, se proporciona la ecuación lineal de la línea en cada caso.

Forma pendiente-ordenada al origen o forma pendiente-ordenada al origen

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ y su intersección $con el eje$ $y, y₀$ (la coordenada $y$ de su intersección con el eje $y$ ). En este caso, su ecuación lineal se puede escribir

y=mx+y_{0}.

Si, además, la línea no es horizontal, se puede definir por su pendiente y su intersección con el eje $x,$ $x₀$ $.$ En este caso, su ecuación se puede escribir

y=m(x-x_{0}),

o, equivalentemente,

y=mx-mx_{0}.

Estas formas se basan en el hábito de considerar una línea no vertical como la gráfica de una función . ^{[ 2 ]} Para una línea dada por una ecuación

ax+by+c=0,

Estas formas se pueden deducir fácilmente de las relaciones.

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

Forma punto-pendiente o forma punto-gradiente

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ y las coordenadas $x_{1},y_{1}$ de cualquier punto de la línea. En este caso, la ecuación lineal de la línea es

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

o

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

Esta ecuación también se puede escribir

y-y_{1}=m(x-x_{1})

para enfatizar que la pendiente de una línea se puede calcular a partir de las coordenadas de dos puntos cualesquiera.

Forma de intercepción

Una línea que no es paralela a un eje y no pasa por el origen corta los ejes en dos puntos diferentes. Los valores de intersección $x 0$ e $y 0$ de estos dos puntos son distintos de cero, y la ecuación de la línea es ^{[ 3 ].}

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.

(Es fácil verificar que la línea definida por esta ecuación tiene como valores de intersección $x = 0$ e $y = 0 ).$

Forma de dos puntos

Dados dos puntos distintos $(x₁, y₁)$ y $(x₂, y₂),$ existe exactamente una recta que pasa por ellos. Hay varias maneras de escribir la ecuación lineal de $esta$ $recta$ $.$

Si $x 1 \neq x 2$ , la pendiente de la recta es ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ Por lo tanto, una forma de punto-pendiente es ^{[ 3 ]}

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).

Al eliminar los denominadores , se obtiene la ecuación.

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

lo cual es válido también cuando $x 1 = x 2$ (para verificar esto, basta con comprobar que los dos puntos dados satisfacen la ecuación).

Esta forma no es simétrica en los dos puntos dados, pero se puede obtener una forma simétrica reagrupando los términos constantes:

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(Intercambiar los dos puntos cambia el signo del lado izquierdo de la ecuación).

Forma determinante

La ecuación de una recta en dos puntos se puede expresar simplemente en términos de un determinante . Hay dos formas comunes de hacerlo.

La ecuación $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ es el resultado de expandir el determinante en la ecuación

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

La ecuación $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ se puede obtener expandiendo con respecto a su primera fila el determinante en la ecuación

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

Además de ser muy simple y mnemotécnica, esta forma tiene la ventaja de ser un caso especial de la ecuación más general de un hiperplano que pasa por $n$ puntos en un espacio de dimensión $n - 1.$ Estas ecuaciones se basan en la condición de dependencia lineal de los puntos en un espacio proyectivo .

Más de dos variables

Siempre se puede suponer que una ecuación lineal con más de dos variables tiene la forma

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

El coeficiente $b$ , a menudo denotado $a 0,$ se llama término constante (a veces término absoluto en libros antiguos ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} ). Dependiendo del contexto, el término coeficiente puede reservarse para a $i con$ i $> 0$ .

Cuando se trata de $n=3$ variables, es común usar $x,\;y$ y $z$ en lugar de variables indexadas.

Una solución de dicha ecuación es una $n$ -tupla tal que al sustituir cada elemento de la tupla por la variable correspondiente, la ecuación se transforma en una igualdad verdadera.

Para que una ecuación tenga sentido, el coeficiente de al menos una variable debe ser distinto de cero. Si todas las variables tienen un coeficiente cero, entonces, como se mencionó para una variable, la ecuación es inconsistente (para $b \neq 0$ ) al no tener solución, o bien todas $las n$ -tuplas son soluciones.

Las $n$ -tuplas que son soluciones de una ecuación lineal en $n$ variables son las coordenadas cartesianas de los puntos de un hiperplano $(n -1)$ -dimensional en un espacio euclidiano $n-$ dimensional (o espacio afín si los coeficientes son números complejos o pertenecen a algún cuerpo). En el caso de tres variables, este hiperplano es un plano .

Si se da una ecuación lineal con $j \neq 0,$ entonces la ecuación se puede resolver para $x j$ , obteniendo

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

Si los coeficientes son números reales , esto define una función de valor real de $n$ variables reales .

Véase también

Notas

↑ Barnett, Ziegler y Byleen 2008 , pág. 15
↑ Larson y Hostetler 2007 , pág. 25
1 2 Wilson y Tracey 1925 , págs. 52-53
↑ Charles Hiram Chapman (1892). Un curso elemental de teoría de ecuaciones . J. Wiley & Sons. pág. 17.Extracto de la página 17
↑ David Martin Sensenig (1890). Números universalizados: Álgebra avanzada . American Book Company. pág. 113. Extracto de la página 113

Referencias

Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008), Matemáticas universitarias para negocios, economía, ciencias biológicas y ciencias sociales (11.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precálculo: Un curso conciso , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica ( edición revisada), DC Heath

Enlaces externos

"Ecuación lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Barnett, Ziegler y Byleen 2008 , pág. 15

[2] Larson y Hostetler 2007 , pág. 25

[WilsonTracey-3] 1 2 Wilson y Tracey 1925 , págs. 52-53

[4] Charles Hiram Chapman (1892). Un curso elemental de teoría de ecuaciones . J. Wiley & Sons. pág. 17.Extracto de la página 17

[5] David Martin Sensenig (1890). Números universalizados: Álgebra avanzada . American Book Company. pág. 113. Extracto de la página 113

ambos

[ 2 ]

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]