Optimización cónica

La optimización cónica es un subcampo de la optimización convexa que estudia problemas que consisten en minimizar una función convexa sobre la intersección de un subespacio afín y un cono convexo .

La clase de problemas de optimización cónica incluye algunas de las clases más conocidas de problemas de optimización convexa, a saber, la programación lineal y la programación semidefinida .

Dado un espacio vectorial real X , una función convexa de valores reales

${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$

definido en un cono convexo${\displaystyle C\subset X}$y un subespacio afín${\displaystyle {\mathcal {H}}}$definido por un conjunto de restricciones afines${\displaystyle h_{i}(x)=0\ }$, un problema de optimización cónica consiste en encontrar el punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle C\cap {\mathcal {H}}}$para el cual el número${\displaystyle f(x)}$es el más pequeño.

Ejemplos de${\displaystyle C}$incluir el ortante positivo${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\,x\geq \mathbf {0} \right\}}$matrices semidefinidas positivas${\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{n}}$y el cono de segundo orden${\displaystyle \left\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ :\lVert x\rVert \leq t\right\}} . A menudo${\displaystyle f\ }$es una función lineal, en cuyo caso el problema de optimización cónica se reduce a un programa lineal , un programa semidefinido y un programa de cono de segundo orden , respectivamente.

Ciertos casos especiales de problemas de optimización cónica tienen expresiones analíticas notables para sus problemas duales.

• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (PDF) . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
• Paquete Splitting Conic Solver (SCS) para resolver problemas de conos convexos a gran escala.
• El software MOSEK es capaz de resolver problemas de optimización cónica.