Geometría diferencial de superficies

Es intuitivamente claro que una esfera es lisa, mientras que un cono o una pirámide, debido a sus vértices o aristas, no lo son. La noción de "superficie regular" es una formalización de la noción de superficie lisa. La definición utiliza la representación local de una superficie mediante aplicaciones entre espacios euclidianos . Existe una noción estándar de suavidad para dichas aplicaciones; una aplicación entre dos subconjuntos abiertos del espacio euclidiano es lisa si sus derivadas parciales de cualquier orden existen en cada punto del dominio. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Una superficie regular en el espacio euclidiano ^ℝ³ es un subconjunto S de ℝ³ tal que cada punto de S admite cualquiera de los siguientes tres conceptos: parametrizaciones locales , parches de Monge o funciones implícitas . La siguiente tabla proporciona definiciones de dichos objetos; ^el concepto de parches de Monge es quizás el más intuitivo visualmente, ya que esencialmente indica que una superficie regular es un subconjunto de ℝ³ que es localmente la gráfica de una función suave (ya sea sobre una región en el ^plano yz , el plano xz o el plano xy ).

Los homeomorfismos que aparecen en la primera definición se conocen como parametrizaciones locales o sistemas de coordenadas locales ^{o cartas locales en S. [ 14 ]} La equivalencia de las ^{dos primeras} definiciones afirma que, alrededor de cualquier punto en una superficie regular, siempre existen parametrizaciones locales de la forma ( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v ) , ( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v ), v ) , o ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , conocidas como parches de MongeLas funciones F, como en la tercera definición, se denominan funciones definitorias locales . La equivalencia de las tres definiciones se deduce del teorema de la función implícita . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

Dadas dos parametrizaciones locales cualesquiera f  : V → U y f ′  : V ′→ U ′ de una superficie regular, la composición f ⁻¹ ∘ f ′ es necesariamente suave como una aplicación entre subconjuntos abiertos de ℝ ² . ^{[ 18 ]} Esto muestra que cualquier superficie regular tiene naturalmente la estructura de una variedad suave , con un atlas suave dado por las inversas de las parametrizaciones locales.

En la teoría clásica de la geometría diferencial, las superficies se estudian generalmente solo en el caso regular. ^{[ 8 ] [ 19 ]} Sin embargo, también es común estudiar superficies no regulares, en las que las dos derivadas parciales ∂ _u f y ∂ _v f de una parametrización local pueden no ser linealmente independientes . En este caso, S puede tener singularidades como bordes cuspidales . Dichas superficies se estudian típicamente en la teoría de singularidades . Otras formas debilitadas de superficies regulares aparecen en el diseño asistido por computadora , donde una superficie se divide en piezas disjuntas, y las derivadas de las parametrizaciones locales ni siquiera son continuas a lo largo de los límites.

Ejemplos sencillos. Un ejemplo sencillo de una superficie regular viene dado por la 2-esfera {( x , y , z ) | x ² + y ² + z ² = 1 }; esta superficie puede cubrirse con seis parches de Monge (dos de cada uno de los tres tipos dados anteriormente), tomando h ( u , v ) = ± (1 − u ² − v ² ) ^1/2 . También puede cubrirse con dos parametrizaciones locales, utilizando proyección estereográfica . El conjunto {( x , y , z )  : (( x ² + y ² ) ^1/2 − r ) ² + z ² = R ² } es un toro de revolución con radios r y R . Es una superficie regular; se pueden dar parametrizaciones locales de la forma

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

El hiperboloide en dos hojas {( x , y , z )  : z ² = 1 + x ² + y ² } es una superficie regular; puede cubrirse con dos parches de Monge, con h ( u , v ) = ±(1 + u ² + v ² ) ^1/2 . El helicoide aparece en la teoría de superficies mínimas . Está cubierto por una única parametrización local, f ( u , v ) = ( u sin v , u cos v , v ) .

Sea S una superficie regular en ℝ ³ , y sea p un elemento de S . Usando cualquiera de las definiciones anteriores, se pueden seleccionar ciertos vectores en ℝ ³ como tangentes a S en p , y ciertos vectores en ℝ ³ como ortogonales (o normales) a S en p .

Se observa que el espacio tangente o plano tangente a S en p , que se define como el conjunto de todos los vectores tangentes a S en p , es un subespacio lineal bidimensional de ℝ ³ ; a menudo se denota por T _p S.

El espacio normal a S en p , que se define como el conjunto de todos los vectores normales a ^S en p , es un subespacio lineal unidimensional de ℝ³ que es ortogonal al espacio tangente T _p S. Por lo tanto, en cada punto p de S , hay dos vectores normales de longitud unitaria (vectores normales unitarios). Los vectores normales unitarios en p se pueden expresar en términos de parametrizaciones locales, parches de Monge o funciones definitorias locales, mediante las fórmulas

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{\left\|{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}\right\|}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {\left({\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial v}}\right)^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

siguiendo las mismas notaciones que en las definiciones anteriores.

También es útil notar una definición "intrínseca" de vectores tangentes, que es típica de la generalización de la teoría de superficies regulares al contexto de variedades suaves . Define el espacio tangente como un espacio vectorial real bidimensional abstracto , en lugar de como un subespacio lineal de ℝ³ ^. En esta definición, se dice que un vector tangente a S en p es una asignación, a cada parametrización local f  : V → S con p ∈ f ( V ) , de dos números X₁ y X₂ ^, tales que para cualquier otra parametrización local f ′  : V → S con p ∈ f ( V ) (y con ^los números correspondientes ( X ′) ^₁ y ( X ′) ^₂ ), se tiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

donde A _{f ′( p )} es la matriz jacobiana de la aplicación f ⁻¹ ∘ f ′ , evaluada en el punto f ′( p ) . La colección de vectores tangentes a S en p tiene naturalmente la estructura de un espacio vectorial bidimensional. Un vector tangente en este sentido corresponde a un vector tangente en el sentido anterior al considerar el vector

${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.}$

en ℝ ³ . La condición jacobiana sobre X ¹ y X ² asegura, por la regla de la cadena , que este vector no depende de f .

Para funciones suaves en una superficie, los campos vectoriales (es decir, los campos vectoriales tangentes) tienen una interpretación importante como operadores o derivaciones de primer orden.${\displaystyle S}$ser una superficie regular,${\displaystyle U}$un subconjunto abierto del plano y${\displaystyle f:U\rightarrow S}$un diagrama de coordenadas. Si${\displaystyle V=f(U)}$, el espacio${\displaystyle C^{\infty }(U)}$puede identificarse con${\displaystyle C^{\infty }(V)}$. Similarmente${\displaystyle f}$identifica campos vectoriales en${\displaystyle U}$con campos vectoriales en${\displaystyle V}$Tomando las variables estándar u y v , un campo vectorial tiene la forma${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$, con funciones suaves a y b . Si${\displaystyle X}$es un campo vectorial y${\displaystyle g}$es una función suave, entonces${\displaystyle Xg}$También es una función suave. El operador diferencial de primer orden${\displaystyle X}$es una derivación , es decir, satisface la regla de Leibniz.${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$^{[ 20 ]}

Para los campos vectoriales X e Y es sencillo comprobar que el operador${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$Es una derivación que corresponde a un campo vectorial. Se denomina corchete de Lie.${\displaystyle [X,Y]}$Es antisimétrico.${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$y satisface la identidad de Jacobi :

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

En resumen, campos vectoriales en${\displaystyle U}$o${\displaystyle V}$formar un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie. ^{[ 21 ]}

Sea S una superficie regular en ℝ³ ^. Dada una parametrización local f  : V → S y un campo vectorial normal unitario n en f ( V ) , se definen los siguientes objetos como funciones de valor real o matricial en V. La primera forma fundamental depende solo de f , y no de n . La cuarta columna registra la forma en que estas funciones dependen de f , relacionando las funciones E ′, F ′, G ′, L ′, etc., que surgen para una elección diferente de parametrización local, f ′  : V ′ → S , con las que surgen para f . Aquí A denota la matriz jacobiana de f⁻¹ ^∘ f ′ . La relación clave para establecer las fórmulas de la cuarta columna es entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

como sigue por la regla de la cadena .

Mediante un cálculo directo con la matriz que define el operador de forma, se puede comprobar que la curvatura gaussiana es el determinante del operador de forma, la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma, y ​​las curvaturas principales son los autovalores del operador de forma; además, la curvatura gaussiana es el producto de las curvaturas principales y la curvatura media es su suma. Estas observaciones también pueden formularse como definiciones de estos objetos. Asimismo, estas observaciones dejan claro que las últimas tres filas de la cuarta columna se derivan inmediatamente de la fila anterior, ya que matrices similares tienen determinante, traza y autovalores idénticos. Es fundamental observar ^que E , G y EG − F² son necesariamente positivos. Esto garantiza que la inversa de la matriz en la definición del operador de forma esté bien definida y que las curvaturas principales sean números reales.

Cabe señalar también que la negación de la elección del campo vectorial normal unitario anulará la segunda forma fundamental, el operador de forma, la curvatura media y las curvaturas principales, pero dejará la curvatura gaussiana inalterada. En resumen, esto ha demostrado que, dada una superficie regular S , la curvatura gaussiana de S puede considerarse una función de valor real en S ; en relación con la elección de un campo vectorial normal unitario en toda S , las dos curvaturas principales y la curvatura media también son funciones de valor real en S.

Geométricamente, la primera y la segunda forma fundamental pueden considerarse como información sobre cómo se mueve f ( u , v ) en ℝ ³ a medida que ( u , v ) se mueve en V . En particular, la primera forma fundamental codifica la rapidez con la que se mueve f , mientras que la segunda forma fundamental codifica la medida en que su movimiento se produce en la dirección del vector normal n . En otras palabras, la segunda forma fundamental en un punto p codifica la longitud de la proyección ortogonal de S al plano tangente a S en p ; en particular, proporciona la función cuadrática que mejor aproxima esta longitud. Este razonamiento puede precisarse mediante las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

Como se deduce directamente de las definiciones de las formas fundamentales y del teorema de Taylor en dos dimensiones, las curvaturas principales pueden visualizarse de la siguiente manera: en un punto dado p de S , consideremos el conjunto de todos los planos que contienen la línea ortogonal a S. Cada uno de estos planos tiene una curva de intersección con S , que puede considerarse como una curva plana dentro del propio plano. Las dos curvaturas principales en p son los valores máximo y mínimo posibles de la curvatura de esta curva plana en p , a medida que el plano considerado gira alrededor de la línea normal.

A continuación se resume el cálculo de las cantidades anteriores en relación con un parche de Monge f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . Aquí , h _u y h _v denotan las dos derivadas parciales de h , con notación análoga para las segundas derivadas parciales. La segunda forma fundamental y todas las cantidades subsiguientes se calculan en relación con la elección dada del campo vectorial normal unitario.

Sea S una superficie regular en ℝ ³ . Los símbolos de Christoffel asignan, a cada parametrización local f  : V → S , ocho funciones en V , definidas por ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

También pueden definirse mediante las siguientes fórmulas, en las que n es un campo vectorial normal unitario a lo largo de f ( V ) y L , M , N son los componentes correspondientes de la segunda forma fundamental:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

La clave de esta definición es que ⁠ ∂ f / ∂ u ⁠ , ⁠ ∂ f / ∂ v ⁠ , y n forman una base de ℝ ³ en cada punto, con respecto a la cual cada una de las tres ecuaciones especifica de forma única los símbolos de Christoffel como coordenadas de las segundas derivadas parciales de f . La elección de la normal unitaria no afecta a los símbolos de Christoffel, puesto que si n se intercambia por su negación, entonces los componentes de la segunda forma fundamental también se niegan, y por lo tanto los signos de Ln , Mn , Nn permanecen sin cambios.

La segunda definición muestra, en el contexto de las parametrizaciones locales, que los símbolos de Christoffel son geométricamente naturales. Si bien las fórmulas de la primera definición parecen menos naturales, tienen la importancia de demostrar que los símbolos de Christoffel pueden calcularse a partir de la primera forma fundamental, lo cual no resulta evidente de inmediato en la segunda definición. La equivalencia de las definiciones puede comprobarse sustituyendo directamente la primera definición en la segunda y utilizando las definiciones de E , F y G.

Las ecuaciones de Codazzi afirman que ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones se pueden derivar directamente de la segunda definición de símbolos de Christoffel dada anteriormente; por ejemplo, la primera ecuación de Codazzi se obtiene diferenciando la primera ecuación con respecto a v , la segunda ecuación con respecto a u , restando ambas y tomando el producto escalar con n . La ecuación de Gauss afirma que ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Estas pueden derivarse de forma similar a las ecuaciones de Codazzi, utilizando una de ellas las ecuaciones de Weingarten en lugar del producto escalar con n . Aunque se escriben como tres ecuaciones separadas, son idénticas cuando se sustituyen las definiciones de los símbolos de Christoffel, en términos de la primera forma fundamental. Existen muchas maneras de escribir la expresión resultante, una de ellas derivada en 1852 por Brioschi mediante un uso hábil de determinantes: ^{[ 26 ] [ 27 ]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

When the Christoffel symbols are considered as being defined by the first fundamental form, the Gauss and Codazzi equations represent certain constraints between the first and second fundamental forms. The Gauss equation is particularly noteworthy, as it shows that the Gaussian curvature can be computed directly from the first fundamental form, without the need for any other information; equivalently, this says that LN − M² can actually be written as a function of E, F, G, even though the individual components L, M, N cannot. This is known as the theorema egregium, and was a major discovery of Carl Friedrich Gauss. It is particularly striking when one recalls the geometric definition of the Gaussian curvature of S as being defined by the maximum and minimum radii of osculating circles; they seem to be fundamentally defined by the geometry of how S bends within ℝ³. Nevertheless, the theorem shows that their product can be determined from the "intrinsic" geometry of S, having only to do with the lengths of curves along S and the angles formed at their intersections. As said by Marcel Berger:^[28]

This theorem is baffling. [...] It is the kind of theorem which could have waited dozens of years more before being discovered by another mathematician since, unlike so much of intellectual history, it was absolutely not in the air. [...] To our knowledge there is no simple geometric proof of the theorema egregium today.

Las ecuaciones de Gauss-Codazzi también pueden expresarse y derivarse sucintamente en el lenguaje de las formas de conexión debido a Élie Cartan . ^{[ 29 ]} En el lenguaje del cálculo tensorial , utilizando métricas naturales y conexiones en haces tensoriales , la ecuación de Gauss puede escribirse como H ² − | h | ² = R y las dos ecuaciones de Codazzi pueden escribirse como ∇ ₁ h ₁₂ = ∇ ₂ h ₁₁ y ∇ ₁ h ₂₂ = ∇ ₂ h ₁₂ ; las expresiones complicadas relacionadas con los símbolos de Christoffel y la primera forma fundamental se absorben completamente en las definiciones de la derivada tensorial covariante ∇ h y la curvatura escalar R . Pierre Bonnet demostró que dos formas cuadráticas que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi siempre determinan de forma única una superficie incrustada localmente. ^{[ 30 ]} Por esta razón, las ecuaciones de Gauss-Codazzi se denominan a menudo ecuaciones fundamentales para superficies embebidas, ya que identifican con precisión de dónde provienen las curvaturas intrínsecas y extrínsecas. Admiten generalizaciones a superficies embebidas en variedades riemannianas más generales .

Un difeomorfismo${\displaystyle \varphi }$entre conjuntos abiertos${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$en una superficie regular${\displaystyle S}$Se dice que es una isometría si conserva la métrica, es decir, la primera forma fundamental. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} Por lo tanto, para cada punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle U}$y vectores tangentes${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$en${\displaystyle p}$, hay igualdades

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

En términos del producto interno que proviene de la primera forma fundamental, esto se puede reescribir como

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$.

Por otro lado, la longitud de una curva parametrizada${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$se puede calcular como

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

y, si la curva se encuentra en${\displaystyle U}$, las reglas para el cambio de variables muestran que

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

Por el contrario, si${\displaystyle \varphi }$conserva las longitudes de todos los parámetros en las curvas entonces${\displaystyle \varphi }$es una isometría. De hecho, para elecciones adecuadas de${\displaystyle \gamma }$, los vectores tangentes${\displaystyle {\dot {x}}}$y${\displaystyle {\dot {y}}}$generar vectores tangentes arbitrarios${\displaystyle w_{1}}$y${\displaystyle w_{2}}$Las igualdades deben cumplirse para cualquier elección de vectores tangentes.${\displaystyle w_{1}}$y${\displaystyle w_{2}}$así como${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$y${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$, de modo que${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$. ^{[ 34 ]}

Un ejemplo sencillo de isometría lo proporcionan dos parametrizaciones.${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$de un conjunto abierto${\displaystyle U}$en superficies regulares${\displaystyle S_{1}}$y${\displaystyle S_{2}}$. Si${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$,${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$y${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$, entonces${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$es una isometría de${\displaystyle f_{1}(U)}$sobre${\displaystyle f_{2}(U)}$. ^{[ 35 ]}

El cilindro y el plano son ejemplos de superficies localmente isométricas que, por razones topológicas, no pueden extenderse a una isometría. ^{[ 36 ]} Como otro ejemplo, el catenoide y el helicoide son localmente isométricos. ^{[ 37 ]}

Un campo vectorial tangente X en S asigna, a cada p en S , un vector tangente X _p a S en p . Según la definición "intrínseca" de vectores tangentes dada anteriormente, un campo vectorial tangente X asigna entonces, a cada parametrización local f  : V → S , dos funciones de valor real X ¹ y X ² en V , de modo que

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

para cada p en S. Se dice que X es suave si las funciones X ¹ y X ² son suaves, para cualquier elección de f . ^{[ 38 ]} Según las otras definiciones de vectores tangentes dadas anteriormente, también se puede considerar un campo vectorial tangente X en S como una aplicación X  : S → ℝ ³ tal que X ( p ) está contenido en el espacio tangente T _p S ⊂ ℝ ³ para cada p en S. Como es común en la situación más general de variedades suaves , los campos vectoriales tangentes también pueden definirse como ciertos operadores diferenciales en el espacio de funciones suaves en S.

Las derivadas covariantes (también llamadas "derivadas tangenciales") de Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro proporcionan un medio para diferenciar campos vectoriales tangenciales suaves. Dado un campo vectorial tangencial X y un vector tangente Y a S en p , la derivada covariante ∇ _Y X es un cierto vector tangente a S en p . En consecuencia, si X e Y son ambos campos vectoriales tangenciales, entonces ∇ _Y X también puede considerarse un campo vectorial tangencial; iterativamente, si X , Y y Z son campos vectoriales tangenciales, se puede calcular ∇ _Z ∇ _Y X , que será otro campo vectorial tangencial. Hay varias maneras de definir la derivada covariante; la primera que se presenta a continuación utiliza los símbolos de Christoffel y la definición "intrínseca" de vectores tangentes, y la segunda es más claramente geométrica.

Dado un campo vectorial tangente X y un vector tangente Y a S en p , se define ∇ _Y X como el vector tangente a p que asigna a una parametrización local f  : V → S los dos números

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

donde D _{( Y ¹ , Y ² )} es la derivada direccional . ^{[ 39 ]} Esto se abrevia a menudo en la forma menos engorrosa (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^k _ij X ^j , utilizando la notación de Einstein y con las ubicaciones de evaluación de la función implícitamente comprendidas. Esto sigue una prescripción estándar en geometría riemanniana para obtener una conexión a partir de una métrica riemanniana . Es un hecho fundamental que el vector

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

en ℝ ³ es independiente de la elección de la parametrización local f , aunque esto es bastante tedioso de comprobar.

También se puede definir la derivada covariante mediante el siguiente enfoque geométrico, que no utiliza símbolos de Christoffel ni parametrizaciones locales. ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} Sea X un campo vectorial en S , visto como una función S → ℝ ³ . Dada cualquier curva c  : ( a , b ) → S , se puede considerar la composición X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³ . Como una aplicación entre espacios euclidianos, se puede diferenciar en cualquier valor de entrada para obtener un elemento ( X ∘ c )′( t ) de ℝ ³ . La proyección ortogonal de este vector sobre T _{c ( t )} S define la derivada covariante ∇ _{c ′( t )} X . Aunque esta es una definición geométricamente muy limpia, es necesario demostrar que el resultado solo depende de c ′( t ) y X , y no de c y X ; se pueden utilizar parametrizaciones locales para este pequeño argumento técnico.

No resulta inmediatamente evidente a partir de la segunda definición que la diferenciación covariante dependa únicamente de la primera forma fundamental de S ; sin embargo, esto es inmediato a partir de la primera definición, ya que los símbolos de Christoffel pueden definirse directamente a partir de la primera forma fundamental. Es sencillo comprobar que las dos definiciones son equivalentes. La clave reside en que, cuando se considera X ¹ ⁠ ∂ f / ∂ u ⁠ + X ² ⁠ ∂ f / ∂ v ⁠ como una función con valores en ℝ ³ , su diferenciación a lo largo de una curva da como resultado segundas derivadas parciales ∂ ² f ; los símbolos de Christoffel aparecen con proyección ortogonal al espacio tangente, debido a la formulación de los símbolos de Christoffel como componentes tangenciales de las segundas derivadas de f con respecto a la base ⁠ ∂ f / ∂ u ⁠ , ⁠ ∂ f / ∂ v ⁠ , n . ^{[ 39 ]} Esto se analiza en la sección anterior.

El lado derecho de las tres ecuaciones de Gauss se puede expresar utilizando diferenciación covariante. Por ejemplo, el lado derecho

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

puede ser reconocida como la segunda coordenada de

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

en relación con la base ⁠ ∂ f / ∂ u ⁠ , ⁠ ∂ f / ∂ v ⁠ , como se puede verificar directamente usando la definición de diferenciación covariante por símbolos de Christoffel. En el lenguaje de la geometría riemanniana , esta observación también se puede expresar diciendo que los lados derechos de las ecuaciones de Gauss son varios componentes de la curvatura de Ricci de la conexión de Levi-Civita de la primera forma fundamental, cuando se interpreta como una métrica riemanniana .

Una superficie de revolución se obtiene al rotar una curva en el plano xz alrededor del eje z . Dichas superficies incluyen esferas, cilindros, conos, toros y el catenoide . Los elipsoides , hiperboloides y paraboloides generales no lo son. Supongamos que la curva está parametrizada por

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

con s extraído de un intervalo ( a , b ) . Si c1 nunca es cero, si _c1 ′ _y c2 ′ _nunca son ambos iguales a cero, y si c1 y _{c2 son ambos suaves, entonces la} superficie de revolución correspondiente

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

será una superficie regular en ℝ ³ . Una parametrización local f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S viene dada por

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

En relación con esta parametrización, los datos geométricos son: ^{[ 43 ]}

En el caso especial de que la curva original esté parametrizada por la longitud de arco, es decir ( c ₁ ′( s )) ² + ( c ₂ ′( s )) ² = 1 , se puede derivar para encontrar c ₁ ′( s ) c ₁ ′′( s ) + c ₂ ′( s ) c ₂ ′′( s ) = 0 . Al sustituir en la curvatura gaussiana, se obtiene la expresión simplificada

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

La simplicidad de esta fórmula hace particularmente fácil estudiar la clase de superficies con simetría rotacional y curvatura gaussiana constante. ^{[ 44 ]} Al reducirla al caso alternativo en el que c ₂ (s) = s , se pueden estudiar las superficies mínimas con simetría rotacional, con el resultado de que cualquier superficie de este tipo es parte de un plano o un catenoide escalado. ^{[ 45 ]}

Cada curva de t constante en S puede parametrizarse como una geodésica; una curva de s constante en S puede parametrizarse como una geodésica si y solo si c ₁ ′(s) es igual a cero. En general, las geodésicas en S se rigen por la relación de Clairaut .

Consideremos la superficie cuádrica definida por ^{[ 46 ].}

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

Esta superficie admite una parametrización

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

La curvatura gaussiana y la curvatura media vienen dadas por

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

Una superficie reglada es aquella que puede generarse mediante el movimiento de una línea recta en E ³ . ^{[ 47 ]} Eligiendo una directriz en la superficie, es decir, una curva suave de velocidad unitaria c ( t ) ortogonal a las líneas rectas, y luego eligiendo u ( t ) como vectores unitarios a lo largo de la curva en la dirección de las líneas, el vector de velocidad v = c _t y u satisfacen

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

La superficie consta de puntos

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

a medida que s y t varían.

Entonces, si

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

La curvatura gaussiana y la curvatura media vienen dadas por

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

La curvatura gaussiana de la superficie reglada se anula si y solo si u _t y v son proporcionales, ^{[ 48 ]} Esta condición es equivalente a que la superficie sea la envolvente de los planos a lo largo de la curva que contienen el vector tangente v y el vector ortogonal u , es decir, a que la superficie sea desarrollable a lo largo de la curva. ^{[ 49 ]} De forma más general, una superficie en E ³ tiene curvatura gaussiana nula cerca de un punto si y solo si es desarrollable cerca de ese punto. ^{[ 50 ]} (Una condición equivalente se da más adelante en términos de la métrica.)

En 1760, Lagrange extendió los resultados de Euler sobre el cálculo de variaciones que involucran integrales en una variable a dos variables. ^{[ 51 ]} Tenía en mente el siguiente problema:

Dada una curva cerrada en E ³ , encuentre una superficie que tenga la curva como límite con área mínima.

Dicha superficie se denomina superficie mínima .

En 1776, Jean Baptiste Meusnier demostró que la ecuación diferencial derivada por Lagrange era equivalente a la anulación de la curvatura media de la superficie:

Una superficie es mínima si y solo si su curvatura media es cero.

Las superficies mínimas tienen una interpretación sencilla en la vida real: son la forma que adopta una película de jabón si se sumerge un marco de alambre con forma de curva en una solución jabonosa y luego se retira con cuidado. La cuestión de si existe una superficie mínima con un límite dado se conoce como el problema de Plateau, en honor al físico belga Joseph Plateau, quien realizó experimentos con películas de jabón a mediados del siglo XIX. En 1930, Jesse Douglas y Tibor Radó dieron una respuesta afirmativa al problema de Plateau (Douglas recibió la Medalla Fields por este trabajo en 1936). ^{[ 52 ]}

Se conocen explícitamente muchos ejemplos de superficies mínimas, como el catenoide , el helicoide , la superficie de Scherk y la superficie de Enneper . Se ha investigado extensamente en esta área, resumida en Osserman (2002) . En particular , un resultado de Osserman muestra que si una superficie mínima no es plana, entonces su imagen bajo el mapa de Gauss es densa en S² ^.

Si una superficie tiene curvatura gaussiana constante, se denomina superficie de curvatura constante . ^{[ 53 ]}

• La esfera unitaria en E ³ tiene una curvatura gaussiana constante de +1.
• Tanto el plano euclidiano como el cilindro tienen una curvatura gaussiana constante de 0.
• Una pseudoesfera unitaria tiene una curvatura gaussiana constante de -1 (excepto en su ecuador, que es singular ). La pseudoesfera se puede obtener al rotar una tractriz alrededor de su asíntota. En 1868, Eugenio Beltrami demostró que la geometría de la pseudoesfera estaba directamente relacionada con la del plano hiperbólico , más abstracto , descubierto independientemente por Lobachevsky (1830) y Bolyai (1832). Ya en 1840, F. Minding, alumno de Gauss, había obtenido fórmulas trigonométricas para la pseudoesfera idénticas a las del plano hiperbólico. ^{[ 54 ]} La geometría intrínseca de esta superficie ahora se entiende mejor en términos de la métrica de Poincaré en el semiplano superior o el disco unitario , y ha sido descrita por otros modelos como el modelo de Klein o el modelo hiperboloide , obtenido al considerar el hiperboloide de dos hojas q ( x , y , z ) = −1 en el espacio de Minkowski tridimensional , donde q ( x , y , z ) = x ² + y ² – z ² . ^{[ 55 ]}

La esfera, el plano y el plano hiperbólico poseen grupos de simetrías de Lie transitivos . Este hecho teórico de grupos tiene consecuencias de gran alcance, aún más notables por el papel central que desempeñan estas superficies especiales en la geometría de superficies, debido al teorema de uniformización de Poincaré (véase más adelante).

Otros ejemplos de superficies con curvatura gaussiana 0 incluyen conos , superficies desarrollables tangentes y, en general, cualquier superficie desarrollable.

El diferencial dn del mapa de Gauss n puede utilizarse para definir un tipo de curvatura extrínseca, conocida como operador de forma ^{[ 56 ]} o mapa de Weingarten . Este operador apareció por primera vez implícitamente en el trabajo de Wilhelm Blaschke y posteriormente de forma explícita en un tratado de Burali-Forti y Burgati. ^{[ 57 ]} Dado que en cada punto x de la superficie, el espacio tangente es un espacio con producto interno , el operador de forma S _x puede definirse como un operador lineal en este espacio mediante la fórmula

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

para vectores tangentes v , w (el producto interno tiene sentido porque dn ( v ) y w ambos están en E ³ ). ^{[ c ]} El lado derecho es simétrico en v y w , por lo que el operador de forma es autoadjunto en el espacio tangente. Los autovalores de S _x son simplemente las curvaturas principales k ₁ y k ₂ en x . En particular, el determinante del operador de forma en un punto es la curvatura gaussiana, pero también contiene otra información, ya que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma. La curvatura media es un invariante extrínseco. En geometría intrínseca, un cilindro es desarrollable, lo que significa que cada pieza de él es intrínsecamente indistinguible de una pieza de un plano ya que su curvatura gaussiana se anula idénticamente. Sin embargo, su curvatura media no es cero; por lo tanto, extrínsecamente es diferente de un plano.

De forma equivalente, el operador de forma puede definirse como un operador lineal en espacios tangentes,${\displaystyle S_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{p}M}$. Si n es un campo normal unitario a M y v es un vector tangente entonces

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(no existe un acuerdo estándar sobre si usar + o − en la definición).

En general, los autovectores y autovalores del operador de forma en cada punto determinan las direcciones en las que se curva la superficie en dicho punto. Los autovalores corresponden a las curvaturas principales de la superficie y los autovectores son las direcciones principales correspondientes. Las direcciones principales especifican las direcciones que debe seguir una curva incrustada en la superficie para alcanzar la curvatura máxima y mínima, direcciones que vienen dadas por las curvaturas principales.

Dado un camino suave por partes${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$en el gráfico para${\displaystyle t}$en${\displaystyle [a,b]}$, su longitud está definida por

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

y energía por

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

La longitud es independiente de la parametrización de una trayectoria. Según las ecuaciones de Euler-Lagrange , si c ( t ) es una trayectoria que minimiza la longitud, parametrizada por la longitud de arco , debe satisfacer las ecuaciones de Euler.

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

donde los símbolos de Christoffel Γ ^k _ij vienen dados por

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

donde g ₁₁ = E , g ₁₂ = F , g ₂₂ = G y g ^ij es la matriz inversa de g _ij . Una trayectoria que satisface las ecuaciones de Euler se denomina geodésica . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, una trayectoria que minimiza la energía es simplemente una geodésica parametrizada por la longitud de arco; y, para cualquier geodésica, el parámetro t es proporcional a la longitud de arco. ^{[ 58 ]}

La curvatura geodésica k _g en un punto de una curva c ( t ) , parametrizada por la longitud de arco, en una superficie orientada se define como ^{[ 59 ].}

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

donde n ( t ) es la unidad normal "principal" a la curva en la superficie, construida al rotar el vector tangente unitario ċ ( t ) un ángulo de +90°.

• La curvatura geodésica en un punto es un invariante intrínseco que depende únicamente de la métrica cercana a dicho punto.
• Una curva de velocidad unitaria en una superficie es una geodésica si y solo si su curvatura geodésica se anula en todos los puntos de la curva.
• Una curva de velocidad unitaria c ( t ) en una superficie incrustada es una geodésica si y solo si su vector de aceleración c̈ ( t ) es normal a la superficie.

La curvatura geodésica mide de forma precisa hasta qué punto una curva en la superficie se aleja de ser una geodésica.

Cuando F = 0 en todo un diagrama de coordenadas, como con las coordenadas polares geodésicas que se analizan a continuación, las imágenes de las líneas paralelas a los ejes x e y son ortogonales y proporcionan coordenadas ortogonales . Si H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2} , entonces la curvatura gaussiana viene dada por ^{[ 60 ].}

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

Si además E = 1 , de modo que H = G ^{1 ⁄ 2} , entonces el ángulo φ en la intersección entre la geodésica ( x ( t ), y ( t )) y la línea y = constante viene dado por la ecuación

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

La derivada de φ viene dada por una fórmula clásica de derivada de Gauss: ^{[ 61 ]}

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias muestra que si f ( t , v ) es suave, entonces la ecuación diferencial dv / dt = f ( t , v ) con condición inicial v (0) = v ₀ tiene una solución única para | t | suficientemente pequeño y la solución depende suavemente de t y v ₀ . Esto implica que para vectores tangentes v suficientemente pequeños en un punto dado p = ( x ₀ , y ₀ ) , existe una geodésica c _v ( t ) definida en (−2, 2) con c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ ) y ċ _v (0) = v . Además, si | s | ≤ 1 , entonces c _sv = c _v ( st ) . El mapa exponencial se define por

exp _p ( v ) = c _v (1)

y da un difeomorfismo entre un disco ‖ v ‖ < δ y un entorno de p ; más generalmente, el mapa que envía ( p , v ) a exp _p ( v ) da un difeomorfismo local sobre un entorno de ( p , p ) . El mapa exponencial da coordenadas normales geodésicas cerca de p . ^{[ 64 ]}

Existe una técnica estándar (véase, por ejemplo, Berger (2004) ) para calcular el cambio de variables a coordenadas normales u , v en un punto como una expansión formal en serie de Taylor . Si las coordenadas x , y en (0,0) son localmente ortogonales, se escribe:

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) + …

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) +…

donde L , M son polinomios homogéneos cuadráticos y λ , μ cúbicos en u y v . Si u y v son fijos, x ( t ) = x ( tu , tv ) e y ( t ) = y ( tu , tv ) pueden considerarse como soluciones formales en serie de potencias de las ecuaciones de Euler: esto determina de forma única α , β , L , M , λ y μ .

En estas coordenadas, la matriz g ( x ) satisface g (0) = I y las líneas t ↦ tv son geodésicas que pasan por 0. Las ecuaciones de Euler implican la ecuación matricial.

g ( v ) v = v ,

un resultado clave, generalmente llamado lema de Gauss . Geométricamente establece que

Tomando coordenadas polares ( r , θ ) , se deduce que la métrica tiene la forma

ds ² = dr ² + GRAMO ( r , θ ) dθ ² .

En coordenadas geodésicas, es fácil comprobar que las geodésicas que pasan por cero minimizan la longitud. La topología en la variedad riemanniana viene dada entonces por una función de distancia d ( p , q ) , concretamente el ínfimo de las longitudes de los caminos suaves a trozos entre p y q . Esta distancia se realiza localmente mediante geodésicas, de modo que en coordenadas normales d (0, v ) = ‖ v ‖ . Si el radio δ se toma suficientemente pequeño, una ligera mejora del lema de Gauss muestra que la imagen U del disco ‖ v ‖ < δ bajo la aplicación exponencial es geodésicamente convexa , es decir, cualesquiera dos puntos en U están unidos por una única geodésica que se encuentra completamente dentro de U . ^{[ 65 ] [ 66 ]}

El Teorema Egregium de Gauss , el «Teorema Notable», demuestra que la curvatura gaussiana de una superficie puede calcularse únicamente en términos de la métrica y, por lo tanto, es un invariante intrínseco de la superficie, independiente de cualquier incrustación isométrica en E ³ e inalterable bajo transformaciones de coordenadas. En particular, las isometrías e isometrías locales de superficies preservan la curvatura gaussiana. ^{[ 67 ]}

Este teorema se puede expresar en términos del desarrollo en serie de potencias de la métrica, ds , que se da en coordenadas normales ( u , v ) como

ds ² = du ² + dv ² − K ( u dv – v du ) ² /12 +… .

Tomar un cambio de coordenadas de coordenadas normales en p a coordenadas normales en un punto cercano q , produce la ecuación de Sturm-Liouville satisfecha por H ( r , θ ) = G ( r , θ ) ^{1 ⁄ 2} , descubierta por Gauss y luego generalizada por Jacobi ,

H _rr = – KH .

El jacobiano de este cambio de coordenadas en q es igual a H _r . Esto proporciona otra forma de establecer la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana. Dado que H ( r , θ ) puede interpretarse como la longitud del elemento de línea en la dirección θ , la ecuación de Gauss-Jacobi muestra que la curvatura gaussiana mide la dispersión de las geodésicas en una superficie geométrica a medida que se alejan de un punto. ^{[ 68 ]}

En una superficie con métrica local

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

y operador de Laplace-Beltrami

${\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}$

donde H ² = EG − F ² , la curvatura gaussiana en un punto viene dada por la fórmula ^{[ 69 ]}

${\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}$

donde r denota la distancia geodésica desde el punto.

En coordenadas isotérmicas , consideradas por primera vez por Gauss, se requiere que la métrica tenga una forma especial.

${\displaystyle ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,}$

En este caso, el operador de Laplace-Beltrami viene dado por

${\displaystyle \Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

y φ satisface la ecuación de Liouville ^{[ 70 ]}

${\displaystyle \Delta \varphi =-2K.\,}$

Se sabe que existen coordenadas isotérmicas en la vecindad de cualquier punto de la superficie, aunque todas las demostraciones hasta la fecha se basan en resultados no triviales sobre ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 71 ]} Existe una demostración elemental para superficies mínimas. ^{[ 72 ]}

Gauss demostró que, si Δ es un triángulo geodésico en una superficie con ángulos α , β y γ en los vértices A , B y C , entonces

${\displaystyle \int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$

De hecho, tomando coordenadas geodésicas polares con origen A y AB , AC los radios en ángulos polares 0 y α :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}}$

donde la segunda igualdad se deduce de la ecuación de Gauss-Jacobi y la cuarta de la fórmula de la derivada de Gauss en las coordenadas ortogonales ( r , θ ) .

La fórmula de Gauss muestra que la curvatura en un punto se puede calcular como el límite del exceso angular α + β + γ − π sobre el área para triángulos geodésicos sucesivamente más pequeños cerca del punto. Cualitativamente, una superficie es positiva o negativamente curva según el signo del exceso angular para triángulos geodésicos arbitrariamente pequeños. ^{[ 50 ]}

Dado que toda variedad 2-dimensional compacta y orientada M puede ser triangulada por pequeños triángulos geodésicos, se deduce que

${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)}$

donde χ ( M ) denota la característica de Euler de la superficie.

De hecho, si hay F caras, E aristas y V vértices, entonces 3 F = 2 E y el lado izquierdo es igual a 2π V – π F = 2π( V – E + F ) = 2π χ ( M ) .

Este es el célebre teorema de Gauss-Bonnet : demuestra que la integral de la curvatura gaussiana es un invariante topológico de la variedad, concretamente la característica de Euler. Este teorema puede interpretarse de muchas maneras; quizás una de las más trascendentales ha sido como el teorema del índice para un operador diferencial elíptico en M , uno de los casos más simples del teorema del índice de Atiyah-Singer . Otro resultado relacionado, que puede demostrarse utilizando el teorema de Gauss-Bonnet, es el teorema del índice de Poincaré-Hopf para campos vectoriales en M que se anulan solo en un número finito de puntos: la suma de los índices en estos puntos es igual a la característica de Euler, donde el índice de un punto se define como sigue: en un círculo pequeño alrededor de cada cero aislado, el campo vectorial define una aplicación en el círculo unitario; el índice es simplemente el número de vueltas de esta aplicación. ^{[ 50 ] [ 73 ] [ 74 ]}

Si la curvatura gaussiana de una superficie M es positiva en todas partes, entonces la característica de Euler es positiva, por lo que M es homeomorfa (y por lo tanto difeomorfa) a S ² . Si además la superficie está isométricamente incrustada en E ³ , el mapa de Gauss proporciona un difeomorfismo explícito. Como observó Hadamard , en este caso la superficie es convexa ; este criterio de convexidad puede considerarse una generalización bidimensional del conocido criterio de la segunda derivada para la convexidad de curvas planas. Hilbert demostró que toda superficie cerrada isométricamente incrustada debe tener un punto de curvatura positiva. Por lo tanto, una 2-variedad riemanniana cerrada de curvatura no positiva nunca puede estar isométricamente incrustada en E ³ ; sin embargo, como demostró Adriano Garsia utilizando la ecuación de Beltrami para aplicaciones cuasiconformes , esto siempre es posible para alguna métrica conformemente equivalente . ^{[ 75 ]}

En el caso del plano euclidiano, el grupo de simetría es el grupo de movimiento euclidiano , el producto semidirecto del grupo bidimensional de traslaciones por el grupo de rotaciones. ^{[ 78 ]} Las geodésicas son líneas rectas y la geometría está codificada en las fórmulas elementales de la trigonometría , como la regla del coseno para un triángulo con lados a , b , c y ángulos α , β , γ :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}$

Los toros planos se pueden obtener tomando el cociente de R ² por un retículo , es decir, un subgrupo abeliano libre de rango 2. Estas superficies cerradas no tienen incrustaciones isométricas en E ^3. Sin embargo, sí admiten incrustaciones isométricas en E ⁴ ; en el caso más sencillo, esto se deduce del hecho de que el toro es un producto de dos círculos y cada círculo puede incrustarse isométricamente en E ^{2. [ 79 ]}

El grupo de isometrías de la esfera unitaria S ² en E ³ es el grupo ortogonal O(3) , con el grupo de rotación SO(3) como subgrupo de isometrías que preservan la orientación. Es el producto directo de SO(3) con el mapa antipodal , enviando x a – x ​​. ^{[ 80 ]} El grupo SO(3) actúa transitivamente sobre S ² . El subgrupo estabilizador del vector unitario (0,0,1) puede identificarse con SO(2) , de modo que S ² = SO(3)/SO(2) .

Las geodésicas entre dos puntos de la esfera son los arcos de círculo máximo con dichos extremos. Si los puntos no son antipodales, existe una única geodésica más corta entre ellos. Las geodésicas también pueden describirse mediante la teoría de grupos: cada geodésica que pasa por el Polo Norte (0,0,1) es la órbita del subgrupo de rotaciones alrededor de un eje que pasa por puntos antipodales en el ecuador.

Un triángulo esférico es un triángulo geodésico en la esfera. Se define por los puntos A , B , C en la esfera con lados BC , CA , AB formados por arcos de círculo máximo de longitud menor que π . Si las longitudes de los lados son a , b , c y los ángulos entre los lados α , β , γ , entonces la ley del coseno esférico establece que

${\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}$

El área del triángulo viene dada por

Área = α + β + γ − π .

Utilizando la proyección estereográfica desde el polo norte, la esfera puede identificarse con el plano complejo extendido C ∪ {∞} . El mapa explícito viene dado por

${\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}$

Bajo esta correspondencia, cada rotación de S ² corresponde a una transformación de Möbius en SU(2) , única salvo signo. ^{[ 81 ]} Con respecto a las coordenadas ( u , v ) en el plano complejo, la métrica esférica se convierte en ^{[ 82 ]}

${\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}$

La esfera unitaria es la única superficie cerrada orientable con curvatura constante +1. El cociente SO(3)/O(2) puede identificarse con el plano proyectivo real . Es no orientable y puede describirse como el cociente de S ² por la aplicación antipodal (multiplicación por −1). La esfera es simplemente conexa, mientras que el plano proyectivo real tiene grupo fundamental Z ₂ . Los subgrupos finitos de SO(3) , correspondientes a los subgrupos finitos de O(2) y los grupos de simetría de los sólidos platónicos , no actúan libremente sobre S ² , por lo que los cocientes correspondientes no son 2-variedades, sino solo orbifolds .

La geometría no euclidiana ^{[ 83 ]} se discutió por primera vez en las cartas de Gauss, quien realizó extensos cálculos a principios del siglo XIX que, aunque circularon de forma privada, decidió no publicar. En 1830, Lobachevsky e independientemente en 1832 Bolyai , hijo de uno de los corresponsales de Gauss, publicaron versiones sintéticas de esta nueva geometría, por las que fueron severamente criticadas. Sin embargo, no fue hasta 1868 que Beltrami, seguido por Klein en 1871 y Poincaré en 1882, proporcionó modelos analíticos concretos para lo que Klein denominó geometría hiperbólica . Los cuatro modelos de geometría hiperbólica bidimensional que surgieron fueron: